Grothendiecks Spursatz

Der Spursatz von Grothendieck ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis über die Spur und die Determinante einer bestimmten Klasse nuklearer Operatoren auf Banach-Räumen, der ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}-nuklearen Operatoren. Er ist eine Erweiterung des Satzes von Lidskii.^[1] Der Satz wurde von Alexander Grothendieck bewiesen.

Ein Banach-Raum ${\displaystyle B}${\displaystyle B} hat die Approximationseigenschaft, falls für jedes kompakte ${\displaystyle K\subset B}${\displaystyle K\subset B} und jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}${\displaystyle \varepsilon >0} ein Operator ${\displaystyle T}${\displaystyle T} endlichen Ranges existiert, sodass für alle ${\displaystyle x\in K}${\displaystyle x\in K}

${\displaystyle \|x-Tx\|<\varepsilon .}${\displaystyle \|x-Tx\|<\varepsilon .}

Sei ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein nuklearer Operator auf einem Banach-Raum ${\displaystyle B}${\displaystyle B} mit Approximationseigenschaft, dann ist ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}-Nuklearer Operator, falls er eine Zerlegung der Form

${\displaystyle A=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}\otimes f_{k}}${\displaystyle A=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}\otimes f_{k}}

besitzt, wobei ${\displaystyle \varphi _{k}\in B}${\displaystyle \varphi _{k}\in B} und ${\displaystyle f_{k}\in B'}${\displaystyle f_{k}\in B'} und

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\|\varphi _{k}\|^{2/3}\|f_{k}\|^{2/3}<\infty .}${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\|\varphi _{k}\|^{2/3}\|f_{k}\|^{2/3}<\infty .}

Seien ${\displaystyle \lambda _{j}(A)}${\displaystyle \lambda _{j}(A)} die Eigenwerte von einem ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}-nuklearen Operator ${\displaystyle A}${\displaystyle A} mit ihren Vielfachheiten gezählt. Dann ist

${\displaystyle \sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|<\infty }${\displaystyle \sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|<\infty }

und es gilt

${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|}${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|}

${\displaystyle \operatorname {det} (I+A)=\prod \limits _{j}(1+\lambda _{j}(A)),}${\displaystyle \operatorname {det} (I+A)=\prod \limits _{j}(1+\lambda _{j}(A)),}

wobei wir die Spur und die Fredholm-Determinante als Grenzwert definieren:

${\displaystyle \operatorname {tr} A:=\lim \limits _{n\to \infty }\operatorname {tr} (K_{n})}${\displaystyle \operatorname {tr} A:=\lim \limits _{n\to \infty }\operatorname {tr} (K_{n})}

${\displaystyle \operatorname {det} (I+A):=\lim \limits _{n\to \infty }\det(I+K_{n})}${\displaystyle \operatorname {det} (I+A):=\lim \limits _{n\to \infty }\det(I+K_{n})}

mit ${\displaystyle \|K_{n}-A\|\to 0.}${\displaystyle \|K_{n}-A\|\to 0.}

1. ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik: Traces and Determinants of Linear Operators. In: Operator Theory Advances and Applications. Birkhäuser, Basel 1991, ISBN 978-3-7643-6177-8. 

• Funktionalanalysis