Gâteaux-Differential

Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889–1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar, indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Räumen definiert. Gewöhnlich hat man für eine Funktion ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} ,\ G\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} ,\ G\subset \mathbb {R} ^{n}} offene Menge, die an der Stelle ${\displaystyle x_{0}\in G}${\displaystyle x_{0}\in G} differenzierbar ist, als Definition der partiellen Ableitung

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0,1},x_{0,2},\ldots ,x_{0,i}+h,\ldots ,x_{0,n})-f(x_{0})}{h}},\ \ (i={1,2,...,n})}${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0,1},x_{0,2},\ldots ,x_{0,i}+h,\ldots ,x_{0,n})-f(x_{0})}{h}},\ \ (i={1,2,...,n})}.

Insbesondere ergibt sich für ${\displaystyle n=1}${\displaystyle n=1} das bekannte Differential

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}.

Das Gâteaux-Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorräume.

Sei ${\displaystyle f\colon D\subset X\to Y}${\displaystyle f\colon D\subset X\to Y} mit ${\displaystyle D}${\displaystyle D} offen und ${\displaystyle X,Y}${\displaystyle X,Y} normierte Räume. Dann heißt ${\displaystyle f}${\displaystyle f} in ${\displaystyle x_{0}\in D}${\displaystyle x_{0}\in D} Gâteaux-differenzierbar, falls die weierstraßsche Zerlegungsformel gilt, also falls eine lineare Funktion ${\displaystyle A\in L(X,Y)}${\displaystyle A\in L(X,Y)} existiert, sodass

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}[f(x_{0}+th)-f(x_{0})-tAh]=0}${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}[f(x_{0}+th)-f(x_{0})-tAh]=0}

für alle ${\displaystyle h\in X}${\displaystyle h\in X} mit ${\displaystyle \lVert h\rVert =1}${\displaystyle \lVert h\rVert =1}. Dies ist äquivalent zu

${\displaystyle f(x_{0}+th)-f(x_{0})=tAh+o(|t|)}${\displaystyle f(x_{0}+th)-f(x_{0})=tAh+o(|t|)}.

Dann bezeichnet man ${\displaystyle A=:f'(x_{0})}${\displaystyle A=:f'(x_{0})} als die Gâteaux-Ableitung von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} im Punkt ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}}.

Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: Es sei wie üblich ${\displaystyle f\colon D(f)\to \mathbb {R} }${\displaystyle f\colon D(f)\to \mathbb {R} } ein in ${\displaystyle D(f)\subseteq \Omega }${\displaystyle D(f)\subseteq \Omega } definiertes Funktional; ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } sei ein linearer normierter Raum (das heißt ein Vektorraum, versehen mit einer Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}${\displaystyle \|\cdot \|}) oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen, über die man sich im konkreten Anwendungsfall nähere Gedanken machen muss; ferner sei ${\displaystyle x_{0}\in D(f)}${\displaystyle x_{0}\in D(f)} und ${\displaystyle v\in \Omega }${\displaystyle v\in \Omega }. Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} in Richtung ${\displaystyle v}${\displaystyle v}, falls es existiert, definiert durch die folgende Ableitung nach ${\displaystyle \varepsilon }${\displaystyle \varepsilon }:

${\displaystyle \delta f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}=\left.{\frac {\mathrm {d} f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)}{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}}${\displaystyle \delta f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}=\left.{\frac {\mathrm {d} f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)}{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}}

oder auch für ${\displaystyle x_{1}\in D(f)}${\displaystyle x_{1}\in D(f)} durch

${\displaystyle \delta f(x_{0},x_{1}-x_{0})=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot (x_{1}-x_{0}))-f(x_{0})}{\varepsilon }},円.,円}${\displaystyle \delta f(x_{0},x_{1}-x_{0})=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot (x_{1}-x_{0}))-f(x_{0})}{\varepsilon }},円.,円}

Man beachte dabei ${\displaystyle x_{0}\in D(f)}${\displaystyle x_{0}\in D(f)}, ${\displaystyle v\in \Omega }${\displaystyle v\in \Omega } und ebenfalls ${\displaystyle x_{1}-x_{0}}${\displaystyle x_{1}-x_{0}} darin, aber ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }.

Die Gâteaux-Ableitung nach ${\displaystyle \varepsilon }${\displaystyle \varepsilon } ist bezüglich der Größe ${\displaystyle h:=x_{1}-x_{0}}${\displaystyle h:=x_{1}-x_{0}} ein Funktional, das auch als 1. Variation von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} bezeichnet wird.

Eine andere Möglichkeit ist, anstelle normierter Vektorräume allgemeinere topologische Vektorräume mit entsprechendem Konvergenzbegriff zu benutzen. Vor allem in Physikbüchern werden Funktionale üblicherweise mit dem Buchstaben ${\displaystyle I}${\displaystyle I} bezeichnet, und statt der Größe ${\displaystyle h:=x_{1}-x_{0}}${\displaystyle h:=x_{1}-x_{0}} schreibt man meist ${\displaystyle \delta q(x)}${\displaystyle \delta q(x)}, mit distributionswertigen Größen. Statt der Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {dI(x+\varepsilon \cdot h)}{d\varepsilon }}_{,円|\varepsilon =0}}${\displaystyle {\tfrac {dI(x+\varepsilon \cdot h)}{d\varepsilon }}_{,円|\varepsilon =0}} führt man in einem Zusatzschritt die Variationsableitung ein, die eng mit der Gâteaux-Ableitung zusammenhängt.

Für

${\displaystyle f(\varepsilon ):=\int ,円{\rm {d}}t,円{\mathcal {L}}\left(t,q(t)+\varepsilon \cdot \delta q(t),{\dot {q}}(t)+\varepsilon \cdot {\frac {{\rm {d}}(\delta q(t))}{{\rm {d}}t}}\right)}${\displaystyle f(\varepsilon ):=\int ,円{\rm {d}}t,円{\mathcal {L}}\left(t,q(t)+\varepsilon \cdot \delta q(t),{\dot {q}}(t)+\varepsilon \cdot {\frac {{\rm {d}}(\delta q(t))}{{\rm {d}}t}}\right)}

erhält man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form ${\displaystyle \textstyle {\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}\varepsilon }}(\varepsilon \to 0),円=,円\int ,円{\rm {d}}t,円{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta q(t)}}\cdot \delta q(t)}${\displaystyle \textstyle {\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}\varepsilon }}(\varepsilon \to 0),円=,円\int ,円{\rm {d}}t,円{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta q(t)}}\cdot \delta q(t)} mit der Variationsableitung

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta q(t)}}\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q(t)}}-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}(t)}},円.}${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta q(t)}}\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q(t)}}-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}(t)}},円.}

(Die Variationsableitung "an der Stelle q(t)" bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}}${\displaystyle {\tfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}} einer Funktion von n Variablen, also zum Beispiel für den fiktiven Fall ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(x_{1},...,x_{n})}${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(x_{1},...,x_{n})}. So ähnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen, so hat auch hier ${\displaystyle \delta f}${\displaystyle \delta f}, das totale Differential des Funktionals, invariante Bedeutung. Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange-Formalismus.)

Im Folgenden wird wegen der Einfachheit auf die Kennung der Vektoren durch „fett geschriebene" Buchstaben verzichtet.

${\displaystyle \delta ^{2}f(x_{0},v)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)}{\mathrm {d} \varepsilon ^{2}}}\right|_{\varepsilon =0}}${\displaystyle \delta ^{2}f(x_{0},v)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)}{\mathrm {d} \varepsilon ^{2}}}\right|_{\varepsilon =0}}

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential durch

${\displaystyle \delta _{+}f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}}${\displaystyle \delta _{+}f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}}

beziehungsweise durch

${\displaystyle \delta _{-}f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}}${\displaystyle \delta _{-}f(x_{0},v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon \cdot v)-f(x_{0})}{\varepsilon }}}

definiert. Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} genannt. Für die zum Vektor ${\displaystyle v}${\displaystyle v} gehörende Richtung verallgemeinert nämlich bei „kontinuierlichen Variablen" das einseitige Gâteaux-Differential (genauer: die zugehörige Variationsableitung) gerade die Richtungsableitung von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} in Richtung ${\displaystyle v}${\displaystyle v} an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}}.

Ist ${\displaystyle \delta f(x_{0},v)}${\displaystyle \delta f(x_{0},v)} ein in ${\displaystyle v}${\displaystyle v} stetiges lineares Funktional (d. h. die Funktion vermittelt durch ${\displaystyle v\mapsto \delta f(x_{0},v)}${\displaystyle v\mapsto \delta f(x_{0},v)} ist homogen, additiv und stetig im Argument ${\displaystyle v}${\displaystyle v}), dann heißt ${\displaystyle f'(x_{0})}${\displaystyle f'(x_{0})} Gâteaux-Ableitung an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} und ${\displaystyle f}${\displaystyle f} Gâteaux-differenzierbar in ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}}.

• Das Gâteaux-Differential ist homogen, das bedeutet
  
  ${\displaystyle \delta f(x_{0},k\cdot v)=k\cdot \delta f(x_{0},v)}${\displaystyle \delta f(x_{0},k\cdot v)=k\cdot \delta f(x_{0},v)}
  
  für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }${\displaystyle k\in \mathbb {R} }. Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.

• Das Gâteaux-Differential ist eine lineare Operation, es gilt also
  
  ${\displaystyle \delta (f_{1}+f_{2})(x_{0},v)=\delta f_{1}(x_{0},v)+\delta f_{2}(x_{0},v).}${\displaystyle \delta (f_{1}+f_{2})(x_{0},v)=\delta f_{1}(x_{0},v)+\delta f_{2}(x_{0},v).}
  
  und
  
  ${\displaystyle k\cdot \delta f(x_{0},v)=\delta (k\cdot f)(x_{0},v).}${\displaystyle k\cdot \delta f(x_{0},v)=\delta (k\cdot f)(x_{0},v).}
  
  für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }${\displaystyle k\in \mathbb {R} }

1. ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=1}${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=1}, falls ${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{2}}${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{2}}, ${\displaystyle x_{1}\neq 0}${\displaystyle x_{1}\neq 0} bzw. ${\displaystyle 0}${\displaystyle 0} sonst ${\displaystyle \delta f((0,0),v)=\lim _{t\to 0}{\frac {0-0}{t}}=0}${\displaystyle \delta f((0,0),v)=\lim _{t\to 0}{\frac {0-0}{t}}=0}.
2. ${\displaystyle f(x)=|x|,\ x\in \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f(x)=|x|,\ x\in \mathbb {R} ^{n}} ${\displaystyle \delta _{+}f(0,v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {|0+\varepsilon \cdot v|-0}{\varepsilon }}=|v|}${\displaystyle \delta _{+}f(0,v)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {|0+\varepsilon \cdot v|-0}{\varepsilon }}=|v|}
3. ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}\left(1+{\frac {1}{x_{2}}}\right)}${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}\left(1+{\frac {1}{x_{2}}}\right)} für ${\displaystyle x_{2}\neq 0}${\displaystyle x_{2}\neq 0} und ${\displaystyle -{\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}}${\displaystyle -{\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}} für ${\displaystyle x_{2}=0}${\displaystyle x_{2}=0}, ${\displaystyle \nabla f(x_{1},x_{2})=\left(2\cdot x_{1}\cdot \left(1+{\frac {1}{x_{2}}}\right),-{\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}\right)^{T}}${\displaystyle \nabla f(x_{1},x_{2})=\left(2\cdot x_{1}\cdot \left(1+{\frac {1}{x_{2}}}\right),-{\frac {x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}\right)^{T}}

${\displaystyle \delta f((0,0),v)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {(\varepsilon \cdot v_{1})^{2}\cdot \left(1+{\frac {1}{\varepsilon \cdot v_{2}}}\right)}{\varepsilon }}={\frac {v_{1}^{2}}{v_{2}}}}${\displaystyle \delta f((0,0),v)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {(\varepsilon \cdot v_{1})^{2}\cdot \left(1+{\frac {1}{\varepsilon \cdot v_{2}}}\right)}{\varepsilon }}={\frac {v_{1}^{2}}{v_{2}}}} (wobei ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2})^{T}}${\displaystyle v=(v_{1},v_{2})^{T}})

Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,\ X\subset D(f)\subset \Omega }${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,\ X\subset D(f)\subset \Omega } offen, ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } linearer normierter Raum, ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {int} (X)}${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {int} (X)} (das Innere der Menge ${\displaystyle X}${\displaystyle X}), ${\displaystyle \operatorname {int} (X)\neq \emptyset }${\displaystyle \operatorname {int} (X)\neq \emptyset } und ${\displaystyle B_{\varepsilon }(x_{0})}${\displaystyle B_{\varepsilon }(x_{0})} der offene Ball um ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} mit Radius ${\displaystyle \varepsilon }${\displaystyle \varepsilon }. Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} ein lokales Minimum von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} auf ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, dann ist ${\displaystyle \delta _{+}f(x_{0},v)\geq 0\ \forall v\in \Omega }${\displaystyle \delta _{+}f(x_{0},v)\geq 0\ \forall v\in \Omega }, falls das einseitige Gâteaux-Differential in ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung: ${\displaystyle f}${\displaystyle f} besitze in ${\displaystyle B_{\varepsilon }(x_{0})}${\displaystyle B_{\varepsilon }(x_{0})} eine 2. Variation ${\displaystyle \forall v\in \Omega }${\displaystyle \forall v\in \Omega } und ${\displaystyle \forall x\in B_{\varepsilon }(x_{0})}${\displaystyle \forall x\in B_{\varepsilon }(x_{0})}. Falls gilt ${\displaystyle \delta f(x_{0},v)=0\ \forall v\in \Omega }${\displaystyle \delta f(x_{0},v)=0\ \forall v\in \Omega } und für ein ${\displaystyle c>0}${\displaystyle c>0} ${\displaystyle \delta ^{2}f(x_{0},v)\geq c\cdot \|v\|^{2}\ \forall v\in \Omega }${\displaystyle \delta ^{2}f(x_{0},v)\geq c\cdot \|v\|^{2}\ \forall v\in \Omega } und ${\displaystyle \forall x\in B_{\varepsilon }(x_{0})}${\displaystyle \forall x\in B_{\varepsilon }(x_{0})}, dann ist ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} strenge lokale Minimalstelle von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} auf ${\displaystyle \operatorname {int} (X)}${\displaystyle \operatorname {int} (X)}.

• Fréchet-Ableitung

• Variationsrechnung
• Differentialoperator

• Wikipedia:Belege fehlen