Fréchet-Ableitung

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Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} auf normierte Räume. Bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen ergibt sich aus diesem Differenzierbarkeitsbegriff der übliche Begriff der totalen Differenzierbarkeit .

Es seien ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|_{X})}${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|_{X})} und ${\displaystyle (Y,\|{\cdot }\|_{Y})}${\displaystyle (Y,\|{\cdot }\|_{Y})} zwei normierte Räume und ${\displaystyle U\subset X}${\displaystyle U\subset X} eine offene Teilmenge. Ein Operator ${\displaystyle A\colon U\to Y}${\displaystyle A\colon U\to Y} heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle ${\displaystyle \varphi \in U}${\displaystyle \varphi \in U}, wenn es einen beschränkten linearen Operator ${\displaystyle A'(\varphi )\colon X\to Y}${\displaystyle A'(\varphi )\colon X\to Y} derart gibt, dass

${\displaystyle \lim _{\|h\|_{X}\to 0}\;\;,円{\frac {1}{\|h\|_{X}}},円\left\|A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h\right\|_{Y}=0}${\displaystyle \lim _{\|h\|_{X}\to 0}\;\;,円{\frac {1}{\|h\|_{X}}},円\left\|A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h\right\|_{Y}=0}

gilt. Der Operator ${\displaystyle A'(\varphi )}${\displaystyle A'(\varphi )} heißt Fréchet-Ableitung von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} an der Stelle ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi }. Existiert die Fréchet-Ableitung für alle ${\displaystyle \varphi \in U}${\displaystyle \varphi \in U}, dann heißt die Abbildung ${\displaystyle A'\colon U\to L(X,Y)}${\displaystyle A'\colon U\to L(X,Y)} mit ${\displaystyle \varphi \mapsto A'(\varphi )}${\displaystyle \varphi \mapsto A'(\varphi )} die Fréchet-Ableitung von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} auf ${\displaystyle U}${\displaystyle U}. Mit ${\displaystyle L(X,Y)}${\displaystyle L(X,Y)} wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von ${\displaystyle X}${\displaystyle X} nach ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} bezeichnet.

Hinweis zur Notation: Im klassischen Fall für ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} wird meist der Repräsentant ${\displaystyle f'(x_{0})\in \mathbb {R} ^{n\times m}}${\displaystyle f'(x_{0})\in \mathbb {R} ^{n\times m}} des Ableitungsoperators Ableitung genannt. Hier wird aber der daraus resultierende lineare Operator ${\displaystyle x\mapsto f'(x_{0}),円x}${\displaystyle x\mapsto f'(x_{0}),円x} Ableitung genannt. Bspw. für eine lineare Funktion ${\displaystyle f(x)=C,円x}${\displaystyle f(x)=C,円x} ist der Ableitungsoperator ${\displaystyle x\mapsto f'(x_{0})x=C,円x=f(x)}${\displaystyle x\mapsto f'(x_{0})x=C,円x=f(x)}, aber es gilt trotzdem ${\displaystyle f'(x_{0})\neq f(x_{0})}${\displaystyle f'(x_{0})\neq f(x_{0})}.

Eine äquivalente Definition ist:

Zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}${\displaystyle \varepsilon >0} gibt es ein ${\displaystyle \delta >0}${\displaystyle \delta >0} so, dass für alle ${\displaystyle h\in X}${\displaystyle h\in X} mit ${\displaystyle \|h\|\leq \delta }${\displaystyle \|h\|\leq \delta } gilt

${\displaystyle \|A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h\|_{Y}\leq \varepsilon \|h\|_{X}}${\displaystyle \|A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h\|_{Y}\leq \varepsilon \|h\|_{X}}.

Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:

${\displaystyle A(\varphi +h)-A(\varphi )=A'(\varphi )h+o(\|h\|_{X})}${\displaystyle A(\varphi +h)-A(\varphi )=A'(\varphi )h+o(\|h\|_{X})} für ${\displaystyle h\to 0}${\displaystyle h\to 0}.

Für endlichdimensionale normierte Räume ${\displaystyle X,Y}${\displaystyle X,Y} sind alle linearen Operatoren ${\displaystyle A\colon X\to Y}${\displaystyle A\colon X\to Y} Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist der Ableitungsoperator der lineare Operator selbst: ${\displaystyle A'(\varphi )=A}${\displaystyle A'(\varphi )=A} für alle ${\displaystyle \varphi \in X}${\displaystyle \varphi \in X}, da sofort gilt: ${\displaystyle A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h=0}${\displaystyle A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h=0}.

Im unendlichdimensionalen Fall sind unter den linearen Operatoren genau die beschränkten (=stetigen) Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

Ist ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} definiert ist, und besitzt ${\displaystyle f}${\displaystyle f} stetige partielle Ableitungen, dann ist ${\displaystyle f}${\displaystyle f} auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle ${\displaystyle x}${\displaystyle x} wird durch den üblichen Gradienten von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} gegeben gemäß:

${\displaystyle f'(x)\colon h\mapsto {\mbox{grad}}f(x)\cdot h=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x),円h_{i}}${\displaystyle f'(x)\colon h\mapsto {\mbox{grad}}f(x)\cdot h=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x),円h_{i}}

Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

Sei ${\displaystyle J=[a,b]\subset \mathbb {R} }${\displaystyle J=[a,b]\subset \mathbb {R} }, ${\displaystyle k\colon J\times J\to \mathbb {R} }${\displaystyle k\colon J\times J\to \mathbb {R} } stetig und ${\displaystyle f\colon J\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }${\displaystyle f\colon J\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} } stetig und im zweiten Argument stetig differenzierbar. Der nichtlineare Integraloperator ${\displaystyle F\colon C(J)\to C(J)}${\displaystyle F\colon C(J)\to C(J)} definiert durch

${\displaystyle (Fx)(t)=\int _{a}^{b}k(t,s)f(s,x(s))\mathrm {d} s}${\displaystyle (Fx)(t)=\int _{a}^{b}k(t,s)f(s,x(s))\mathrm {d} s}

ist fréchet-differenzierbar. Seine Ableitung ${\displaystyle F^{\prime }}${\displaystyle F^{\prime }} lautet

${\displaystyle (F^{\prime }(x)h)(t)=\int _{a}^{b}k(t,s){\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)),円h(s)\mathrm {d} s.}${\displaystyle (F^{\prime }(x)h)(t)=\int _{a}^{b}k(t,s){\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)),円h(s)\mathrm {d} s.}

Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt nämlich

${\displaystyle f(s,x(s)+h(s))-f(s,x(s))={\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)+\rho (s)h(s)),円h(s)}${\displaystyle f(s,x(s)+h(s))-f(s,x(s))={\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)+\rho (s)h(s)),円h(s)}

mit ${\displaystyle 0<\rho (s)<1}${\displaystyle 0<\rho (s)<1} und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}}${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}} auf ${\displaystyle J\times \{z\in \mathbb {R} :|z|\leq \sup |x|+1\}}${\displaystyle J\times \{z\in \mathbb {R} :|z|\leq \sup |x|+1\}} gilt

${\displaystyle \sup _{s\in J}\left|{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)+\rho (s)h(s))-{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))\right|\leq \epsilon }${\displaystyle \sup _{s\in J}\left|{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)+\rho (s)h(s))-{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))\right|\leq \epsilon }

für ${\displaystyle \sup |h|\leq \delta }${\displaystyle \sup |h|\leq \delta }. Für ${\displaystyle \sup |h|\leq \delta }${\displaystyle \sup |h|\leq \delta } gilt also

${\displaystyle \sup \left|F(x+h)-F(x)-\int _{a}^{b}k(\cdot ,s){\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))h(s)\mathrm {d} s\right|\leq \epsilon ,円\sup |h|,円\max _{(t,s)\in J\times J}|k(t,s)|(b-a),}${\displaystyle \sup \left|F(x+h)-F(x)-\int _{a}^{b}k(\cdot ,s){\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))h(s)\mathrm {d} s\right|\leq \epsilon ,円\sup |h|,円\max _{(t,s)\in J\times J}|k(t,s)|(b-a),}

was die Darstellung der Ableitung beweist.

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die totale Ableitung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Folgende Gleichungen gelten, sofern sie im Sinne obiger Definition sinnvoll sind, insbesondere also die vorkommenden Abbildungen an den entsprechenden Stellen differenzierbar sind:

• ${\displaystyle (A+B)'(\varphi )=A'(\varphi )+B'(\varphi )}${\displaystyle (A+B)'(\varphi )=A'(\varphi )+B'(\varphi )}
• ${\displaystyle (\lambda A)'(\varphi )=\lambda A'(\varphi )}${\displaystyle (\lambda A)'(\varphi )=\lambda A'(\varphi )}.
• Kettenregel: ${\displaystyle (A\circ B)'(\varphi )=(A'\circ B)(\varphi ),円B'(\varphi )}${\displaystyle (A\circ B)'(\varphi )=(A'\circ B)(\varphi ),円B'(\varphi )}. Das Produkt ${\displaystyle (A'\circ B)(\varphi ),円B'(\varphi )}${\displaystyle (A'\circ B)(\varphi ),円B'(\varphi )} ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.
• Ist ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein stetiger, linearer Operator, so ist A überall differenzierbar und es gilt ${\displaystyle A'(\varphi )=A}${\displaystyle A'(\varphi )=A}. Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich daraus die Folgerung, dass man stetige, lineare Operatoren aus der Ableitung herausziehen darf: ${\displaystyle (A\circ B)'(\varphi )=A,円B'(\varphi )}${\displaystyle (A\circ B)'(\varphi )=A,円B'(\varphi )} und ${\displaystyle (B\circ A)'(\varphi )=B'(A(\varphi )),円A}${\displaystyle (B\circ A)'(\varphi )=B'(A(\varphi )),円A}.
• Produktregel: Ist ${\displaystyle A:X_{1}\times \ldots \times X_{n}\to Y}${\displaystyle A:X_{1}\times \ldots \times X_{n}\to Y} eine stetige, n-fach lineare Abbildung, so ist ${\displaystyle A'(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}):(h_{1},\ldots ,h_{n})\mapsto A(h_{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})+\ldots +A(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1},h_{n})}${\displaystyle A'(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}):(h_{1},\ldots ,h_{n})\mapsto A(h_{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})+\ldots +A(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1},h_{n})}

Sei ${\displaystyle A}${\displaystyle A} an der Stelle ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung ${\displaystyle h\in X}${\displaystyle h\in X} das Gâteaux-Differential ${\displaystyle \delta A(\varphi ,h)}${\displaystyle \delta A(\varphi ,h)} und es gilt:

${\displaystyle \delta A(\varphi ,h)=A'(\varphi )h}${\displaystyle \delta A(\varphi ,h)=A'(\varphi )h}.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} an der Stelle ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi }, die im Folgenden mit ${\displaystyle A'_{s}(\varphi )}${\displaystyle A'_{s}(\varphi )} bezeichnet wird, und es gilt:

${\displaystyle A'_{s}(\varphi )=A'(\varphi )}${\displaystyle A'_{s}(\varphi )=A'(\varphi )}.

Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht. Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:

Falls ${\displaystyle A}${\displaystyle A} in einer Umgebung ${\displaystyle U}${\displaystyle U} von ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt das Gâteaux-Differential in jedem Punkt der Umgebung stetig und linear ist, und die Abbildung

${\displaystyle A'_{s}(.)\colon U\to {\mathcal {L}}(X,Y)}${\displaystyle A'_{s}(.)\colon U\to {\mathcal {L}}(X,Y)} gegeben durch ${\displaystyle \psi \mapsto A'_{s}(\psi )}${\displaystyle \psi \mapsto A'_{s}(\psi )}

im Punkt ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } stetig ist bezüglich der Operatornorm auf ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}, so ist ${\displaystyle A}${\displaystyle A} im Punkt ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } Fréchet-differenzierbar.

Diese Bedingung ist nicht notwendig. Etwa existieren schon im Eindimensionalen total differenzierbare Funktionen, die nicht stetig differenzierbar sind.

Die Fréchet-Ableitung kann z. B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:

Es sei ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}} ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf ${\displaystyle \partial D}${\displaystyle \partial D} durch eine Quelle im Punkt ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}}${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}} gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle u}${\displaystyle u} in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}} die Laplace-Gleichung:

${\displaystyle \Delta u=0\quad {\mbox{in}},円,円\mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}}${\displaystyle \Delta u=0\quad {\mbox{in}},円,円\mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}}

und die Dirichlet-Randbedingung:

${\displaystyle u=-\Phi (\cdot ,z)\quad {\mbox{auf}},円,円\partial D.}${\displaystyle u=-\Phi (\cdot ,z)\quad {\mbox{auf}},円,円\partial D.}

Mit ${\displaystyle \Phi }${\displaystyle \Phi } bezeichnen wir die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt ${\displaystyle z}${\displaystyle z} beschreibt.

Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{2}} aus, welches ${\displaystyle D}${\displaystyle D} enthält. Auf dem Rand ${\displaystyle \partial B}${\displaystyle \partial B} von ${\displaystyle B}${\displaystyle B} messen wir die Werte der Lösung ${\displaystyle u}${\displaystyle u} des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur ${\displaystyle u|_{\partial B}}${\displaystyle u|_{\partial B}}. Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand ${\displaystyle \partial D}${\displaystyle \partial D} von ${\displaystyle D}${\displaystyle D} aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.

Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator ${\displaystyle F}${\displaystyle F} beschreiben, der den unbekannten Rand ${\displaystyle \partial D}${\displaystyle \partial D} auf die bekannte Spur ${\displaystyle u|_{\partial B}}${\displaystyle u|_{\partial B}} abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:

${\displaystyle F(\partial D)=u|_{\partial B}}${\displaystyle F(\partial D)=u|_{\partial B}}

Diese Gleichung kann z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete ${\displaystyle D}${\displaystyle D} ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:

${\displaystyle \displaystyle x(t)=r(t)(\cos(t),\sin(t))}${\displaystyle \displaystyle x(t)=r(t)(\cos(t),\sin(t))}

Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion ${\displaystyle r}${\displaystyle r}. Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:

${\displaystyle F(r)+F'(r,q)=u|_{\partial B}}${\displaystyle F(r)+F'(r,q)=u|_{\partial B}}

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \displaystyle F'}${\displaystyle \displaystyle F'} die Fréchet-Ableitung des Operators ${\displaystyle \displaystyle F}${\displaystyle \displaystyle F} (die Existenz der Fréchet-Ableitung für ${\displaystyle \displaystyle F}${\displaystyle \displaystyle F} kann gezeigt werden und ${\displaystyle \displaystyle F'}${\displaystyle \displaystyle F'} kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden). Diese Gleichung wird dann nach ${\displaystyle q}${\displaystyle q} aufgelöst, wobei wir mit ${\displaystyle r+q}${\displaystyle r+q} eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.

• Rainer Kress: Linear Integral Equations. Second Edition. Springer 1998, ISBN 0-387-98700-2.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. Teubner, Stuttgart/Leipzig, ISBN 3-519-42232-8.
• Henri Cartan: Differentialrechnung. Bibliographisches Institut AG, Zürich 1974, ISBN 3-411-01442-3.

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Kategorie:

• Funktionalanalysis