Ganzes Element

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.

Es sei ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein Ring und ${\displaystyle B}${\displaystyle B} eine ${\displaystyle A}${\displaystyle A}-Algebra. Dann heißt ein Element ${\displaystyle b\in B}${\displaystyle b\in B} ganz über ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, wenn es ein Polynom ${\displaystyle p\in A[X]\setminus \{0\}}${\displaystyle p\in A[X]\setminus \{0\}} mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass ${\displaystyle p(b)=0}${\displaystyle p(b)=0} gilt, also wenn es ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }${\displaystyle n\in \mathbb {N} } und Koeffizienten ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n-1}\in A}${\displaystyle a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n-1}\in A} gibt mit

${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\dots +a_{1}b+a_{0}=0}${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\dots +a_{1}b+a_{0}=0}.

Die Menge der über ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ganzen Elemente von ${\displaystyle B}${\displaystyle B} heißt der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} in ${\displaystyle B}${\displaystyle B}.

Falls der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} in ${\displaystyle B}${\displaystyle B} mit ${\displaystyle A}${\displaystyle A} übereinstimmt, heißt ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ganz abgeschlossen in ${\displaystyle B}${\displaystyle B}. Stimmt der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} in ${\displaystyle B}${\displaystyle B} jedoch mit ${\displaystyle B}${\displaystyle B} überein, ist also jedes Element von ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ganz über ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, so heißt ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ganz über ${\displaystyle A}${\displaystyle A}.

• Ist ${\displaystyle A\subseteq B}${\displaystyle A\subseteq B} eine Ringerweiterung, dann ist ${\displaystyle B}${\displaystyle B} insbesondere eine ${\displaystyle A}${\displaystyle A}-Algebra. Ist ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ganz über ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
• Ein Integritätsring, der ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist, wird als normaler Ring bezeichnet.
• Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkörper ${\displaystyle K}${\displaystyle K} wird als der Ganzheitsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} von ${\displaystyle K}${\displaystyle K} bezeichnet.
• Ist ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }${\displaystyle A=\mathbb {Z} } und ${\displaystyle K=\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {5}}{\big )}}${\displaystyle K=\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {5}}{\big )}}, so ist der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} in ${\displaystyle K}${\displaystyle K} gegeben als

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right].}${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right].}

Sei ${\displaystyle A\subseteq B}${\displaystyle A\subseteq B} eine Ringerweiterung, ${\displaystyle x\in B}${\displaystyle x\in B}. Dann sind äquivalent:^[1]

• ${\displaystyle x}${\displaystyle x} ist ganz über ${\displaystyle A}${\displaystyle A},
• ${\displaystyle A[x]}${\displaystyle A[x]} ist als ${\displaystyle A}${\displaystyle A}-Modul endlich erzeugt,
• es gibt einen Teilring ${\displaystyle C\subseteq B}${\displaystyle C\subseteq B}, sodass ${\displaystyle A[x]\subseteq C}${\displaystyle A[x]\subseteq C} und ${\displaystyle C}${\displaystyle C} als ${\displaystyle A}${\displaystyle A}-Modul endlich erzeugt ist.

• Der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} in ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ist eine ${\displaystyle A}${\displaystyle A}-Unteralgebra von ${\displaystyle B}${\displaystyle B}.

• Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C}${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C}, dass ${\displaystyle C}${\displaystyle C} genau dann ganz über ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ist, wenn ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ganz über ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und ${\displaystyle C}${\displaystyle C} ganz über ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ist.^[2]

• Eine ${\displaystyle A}${\displaystyle A}-Algebra ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.^[3]

• Sei ${\displaystyle A\subseteq B}${\displaystyle A\subseteq B} eine Ringerweiterung, ${\displaystyle C}${\displaystyle C} der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} in ${\displaystyle B}${\displaystyle B} und ${\displaystyle S\subseteq A}${\displaystyle S\subseteq A} eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch ${\displaystyle S^{-1}C}${\displaystyle S^{-1}C} der ganze Abschluss von ${\displaystyle S^{-1}A}${\displaystyle S^{-1}A} in ${\displaystyle S^{-1}B}${\displaystyle S^{-1}B}, wobei mit ${\displaystyle S^{-1}}${\displaystyle S^{-1}} die Lokalisierung nach der Menge ${\displaystyle S}${\displaystyle S} bezeichnet.^[4]

• Ganzabgeschlossenheit ist eine lokale Eigenschaft.

• Sei ${\displaystyle A\subseteq B}${\displaystyle A\subseteq B} eine ganze Ringerweiterung und ${\displaystyle B}${\displaystyle B} nullteilerfrei. Dann ist ${\displaystyle A}${\displaystyle A} genau dann ein Körper, wenn ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ein Körper ist.^[5]

• Ist ${\displaystyle A\subseteq B}${\displaystyle A\subseteq B} eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in ${\displaystyle B}${\displaystyle B} und darunterliegenden Primidealketten in ${\displaystyle A}${\displaystyle A}. Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.

• Falls ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein Unterring des Körpers ${\displaystyle K}${\displaystyle K} ist, dann ist der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} in ${\displaystyle K}${\displaystyle K} der Durchschnitt aller Bewertungsringe von ${\displaystyle K}${\displaystyle K} die ${\displaystyle A}${\displaystyle A} enthalten.^[6]

• M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 5, ISBN 0-201-00361-9

1. ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.1.
2. ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.4.
3. ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, S. 60
4. ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.6.
5. ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.7.
6. ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.22.

• Kommutative Algebra