Algebra über einem kommutativen Ring

Als Algebra über einem kommutativen Ring oder ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra (wobei ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Sei ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ein kommutativer Ring, ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Modul und

${\displaystyle ,円\cdot ,円\colon A\times A\to A}${\displaystyle ,円\cdot ,円\colon A\times A\to A}

eine zweistellige Verknüpfung auf ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, genannt „Multiplikation".

Das Paar ${\displaystyle (A,\cdot )}${\displaystyle (A,\cdot )} heißt „${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra", wenn die Multiplikation ${\displaystyle \cdot }${\displaystyle \cdot } bilinear ist, d. h. für alle Algebraelemente ${\displaystyle x,y,z\in A}${\displaystyle x,y,z\in A} und jedes Ringelement ${\displaystyle \lambda \in R}${\displaystyle \lambda \in R} gilt:

• ${\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z,}${\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z,}
• ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z,}${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z,}
• ${\displaystyle \lambda (x\cdot y)=(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y).}${\displaystyle \lambda (x\cdot y)=(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y).}

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines neutralen Elementes der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt. Wird Assoziativität hinzugefügt, handelt es sich um eine assoziative Algebra.

Ein ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } von ${\displaystyle (A,\cdot )}${\displaystyle (A,\cdot )} nach ${\displaystyle (B,\cdot )}${\displaystyle (B,\cdot )} ist ein R-Modulhomomorphismus von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} nach ${\displaystyle B}${\displaystyle B}, für den zusätzlich gilt, dass ${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)}${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)} für alle ${\displaystyle a,b\in A}${\displaystyle a,b\in A} ist.

Sei ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ein kommutativer Ring. Unter einer ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra versteht man einen Ring ${\displaystyle A}${\displaystyle A} zusammen mit einem Ringhomomorphismus ${\displaystyle \varphi :R\to A}${\displaystyle \varphi :R\to A} derart, dass alle Elemente von ${\displaystyle \varphi (R)}${\displaystyle \varphi (R)} mit den Elementen aus ${\displaystyle A}${\displaystyle A} vertauschbar sind: ${\displaystyle \forall r\in R,a\in A:\varphi (r)a=a\varphi (r)}${\displaystyle \forall r\in R,a\in A:\varphi (r)a=a\varphi (r)}

Eine Algebra ${\displaystyle (A,\varphi )}${\displaystyle (A,\varphi )} bezeichnet man in der Regel einfach mit ${\displaystyle A}${\displaystyle A}. Man unterdrückt also den sogenannten Strukturhomomorphismus ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } in der Notation. Hierbei wird dann ${\displaystyle r\cdot a}${\displaystyle r\cdot a} statt ${\displaystyle \varphi (r)a}${\displaystyle \varphi (r)a} geschrieben, sodass der Strukturhomomorphismus durch ${\displaystyle \varphi :R\to A}${\displaystyle \varphi :R\to A}, ${\displaystyle r\mapsto r\cdot 1_{A}}${\displaystyle r\mapsto r\cdot 1_{A}} gegeben ist. Sofern dieser jedoch nicht injektiv ist, ist es nicht möglich, die Elemente ${\displaystyle r\in R}${\displaystyle r\in R} mit ihren Bildern ${\displaystyle r\cdot 1_{A}\in A}${\displaystyle r\cdot 1_{A}\in A} zu „identifizieren".

• Jede so definierte ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra kann als ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra gemäß der allgemeinen Definition aufgefasst werden, indem man die Skalarmultiplikation als ${\displaystyle \lambda a:=\alpha (\lambda )\cdot a}${\displaystyle \lambda a:=\alpha (\lambda )\cdot a} setzt. Dagegen lässt sich nicht jede ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra gemäß der allgemeinen Definition auf eine gemäß der speziellen zurückführen.
• Ferner kann jede so definierte ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra auch als ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Bimodul aufgefasst werden vermöge ${\displaystyle r\cdot a\cdot r':=\alpha (r)\cdot a\cdot \alpha (r')}${\displaystyle r\cdot a\cdot r':=\alpha (r)\cdot a\cdot \alpha (r')}.

• Eine ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra heißt endlich, wenn sie aufgefasst als ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Modul endlich erzeugt ist. Es sei darauf hingewiesen, dass dies – im Gegensatz zur Verwendung des Wortes „endlich" für Mengen oder auch für Gruppen oder Körper – nicht bedeutet, dass die zugrundeliegende Menge endlich ist.
• Eine ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra ${\displaystyle A}${\displaystyle A} heißt endlich erzeugt, wenn es für ein ${\displaystyle n\geq 0}${\displaystyle n\geq 0} einen surjektiven Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A}${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A} gibt.

Zu dieser speziellen Definition einer R-Algebra definiert man einen ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } von ${\displaystyle (A,\alpha )}${\displaystyle (A,\alpha )} nach ${\displaystyle (B,\beta )}${\displaystyle (B,\beta )} als einen Ringhomomorphismus von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} nach ${\displaystyle B}${\displaystyle B}, für den zusätzlich gilt, dass ${\displaystyle \varphi \circ \alpha =\beta }${\displaystyle \varphi \circ \alpha =\beta } ist.

• Jeder Ring ist eine ${\displaystyle \mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} }-Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} } der ganzen Zahlen.
• Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.
• Für einen kommutativen Ring ${\displaystyle R}${\displaystyle R}, der nicht der Nullring ist, ist der Polynomring ${\displaystyle R[X]}${\displaystyle R[X]} eine endlich erzeugte, aber keine endliche ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra.

• Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 211). 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X. 
• Michael Francis Atiyah, Ian Macdonald: Introduction to Commutative Algebra (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Westview Press, University of Oxford 1969, ISBN 978-0-201-40751-8. 
• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 6. Auflage. Springer, 2021, ISBN 978-3-662-62615-3.

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