Gabor-Transformation

Die Gabor-Transformation (nach Dennis Gábor) ist eine spezielle (und in bestimmter Weise optimale) gefensterte Fourier-Transformation. Sie ist eng verwandt mit der Wavelet-Theorie und wird in vielen Bereichen der digitalen Signal- und Bildverarbeitung eingesetzt. Sie ist ein Spezialfall der Kurzzeit-Fourier-Transformation.

Jede lokale Veränderung eines Signals ${\displaystyle f}${\displaystyle f} bewirkt eine Änderung der Fourier-Transformierten (FT) von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} über der gesamten Frequenzachse. So überdeckt zum Beispiel der Graph der FT der Delta-Distribution (Dirac-Funktion) den gesamten Frequenzbereich. Die FT enthält daher keine lokalen Informationen des Signals ${\displaystyle f}${\displaystyle f}. Dies bedeutet andererseits, dass die Information des Frequenzspektrums den Zeitpunkt, in dem die Frequenz auftritt, nicht unmittelbar angibt. Eine Möglichkeit der Lokalisierung in der Zeit bietet die Kurzzeit-Fourier-Transformation (englisch short-time Fourier transform, kurz STFT), mit der der momentane Frequenzinhalt in einem Fenster ${\displaystyle g}${\displaystyle g} um den Punkt ${\displaystyle \tau }${\displaystyle \tau } beschrieben werden kann. Dabei wird für ${\displaystyle g}${\displaystyle g} üblicherweise eine schnell auf 0 abfallende Funktion gewählt, damit sie als Fenster wirkt.

${\displaystyle F^{\mathrm {Fen} }(\omega ,\tau )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)g(t-\tau )e^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t}${\displaystyle F^{\mathrm {Fen} }(\omega ,\tau )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)g(t-\tau )e^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t}

Die Fourier-Transformierte mit Fenster ist somit von zwei Parametern abhängig, der Frequenz ${\displaystyle \omega }${\displaystyle \omega } und dem Zentrum der Lokalisierung ${\displaystyle \tau }${\displaystyle \tau }. Man spricht deshalb auch von einer Darstellung im Zeit-/Frequenzbereich.

Die STFT mit einer Gauß-Funktion ${\displaystyle g_{\sigma }(t)}${\displaystyle g_{\sigma }(t)} als Fensterfunktion wurde von Dennis Gábor 1946 verwendet:

${\displaystyle g_{\sigma }(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}${\displaystyle g_{\sigma }(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}

Diese spezielle STFT heißt Gabor-Transformation. Bezeichnet man das Ergebnis der Gabortransformation von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} mit ${\displaystyle G_{f}}${\displaystyle G_{f}} so ergibt wegen der Symmetrie von ${\displaystyle g_{\sigma }}${\displaystyle g_{\sigma }}

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{f}(\omega ,\tau )&=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)g_{\sigma }(t-\tau )e^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t\\&=e^{-\mathrm {i} \omega \tau }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)g_{\sigma }(\tau -t)e^{\mathrm {i} \omega (\tau -t)}\mathrm {d} t\\&=e^{-\mathrm {i} \omega \tau }(f(\tau )\ast (g_{\sigma }(\tau )e^{\mathrm {i} \omega \tau }))\\&=e^{-\mathrm {i} \omega \tau }(f(\tau )\ast h(\tau ))\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}G_{f}(\omega ,\tau )&=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)g_{\sigma }(t-\tau )e^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t\\&=e^{-\mathrm {i} \omega \tau }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)g_{\sigma }(\tau -t)e^{\mathrm {i} \omega (\tau -t)}\mathrm {d} t\\&=e^{-\mathrm {i} \omega \tau }(f(\tau )\ast (g_{\sigma }(\tau )e^{\mathrm {i} \omega \tau }))\\&=e^{-\mathrm {i} \omega \tau }(f(\tau )\ast h(\tau ))\end{aligned}}}

Im Zeitbereich stellt die Gaborfilterung daher bis auf den Faktor ${\displaystyle e^{-\mathrm {i} \omega \tau }}${\displaystyle e^{-\mathrm {i} \omega \tau }} eine Faltung dar. Dieser Faktor bewirkt jedoch lediglich eine Phasenverschiebung und kann daher bei Anwendungen, die nur die Amplitude des Ergebnisses berücksichtigen, vernachlässigt werden (Siehe Gabor-Filter).

Da die Fouriertransformierte einer Gauß-Funktion wieder eine Gauß-Funktion ergibt, stellt das Ergebnis der Gabortransformation sowohl im Zeit- als auch im Frequenzraum lokale Information dar. Das Filter kann jede beliebige elliptische Region des Zeit- oder des Frequenzraums überdecken. Ferner erzielt die Gabortransformation – unabhängig von der Anordnung – maximale gleichzeitige Auflösung im Zeit- und Frequenzraum, das heißt die Gauß-Funktion erreicht als (einzige) Fensterfunktion das Minimum der Unschärferelation ${\displaystyle \sigma _{g}^{2}\cdot \sigma _{G}^{2}\geq {\tfrac {\pi }{2}}}${\displaystyle \sigma _{g}^{2}\cdot \sigma _{G}^{2}\geq {\tfrac {\pi }{2}}}, wobei ${\displaystyle \sigma _{g}^{2}}${\displaystyle \sigma _{g}^{2}} die Varianz der Fensterfunktion im Zeitbereich (Zeitunschärfe) und ${\displaystyle \sigma _{G}^{2}}${\displaystyle \sigma _{G}^{2}} entsprechend die im Frequenzraum (Frequenzunschärfe) angibt. Daraus ergibt sich direkt der reziproke Zusammenhang zwischen den Unschärfen und damit ein wichtiger trade-off. Das heißt, um die Auflösung im Zeitbereich zu verdoppeln, muss eine halbierte Auflösung im Frequenzraum in Kauf genommen werden, und umgekehrt.

• Laplace-Transformation
• Diskrete Fourier-Transformation
• Diskrete Kosinustransformation
• Wavelet-Transformation
• Gabor-Filter

• Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Gabor Analysis and Algorithms", Birkhäuser, 1998; ISBN 0817639594
• Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Advances in Gabor Analysis", Birkhäuser, 2003; ISBN 0817642390
• Karlheinz Gröchenig: „Foundations of Time-Frequency Analysis", Birkhäuser, 2001; ISBN 0817640223

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