Friedrichssche Erweiterung

Die Friedrichssche Erweiterung (nach Kurt Friedrichs) ist eine mathematische Konstruktion, nach der bestimmte dicht-definierte lineare Operatoren in Hilberträumen zu selbstadjungierten Operatoren erweitert werden können.

Wir betrachten einen linearen Operator ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, der auf einem dichten Teilraum eines Hilbertraums ${\displaystyle H}${\displaystyle H} definiert ist. Dieser Teilraum heißt der Definitionsbereich von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und wird mit ${\displaystyle D(A)}${\displaystyle D(A)} bezeichnet. Unter bestimmten Umständen, um die es in diesem Artikel geht, kann man den Operator ${\displaystyle A}${\displaystyle A} zu einem auf einem ${\displaystyle D(A)}${\displaystyle D(A)} umfassenden Teilraum erweitern, so dass der erweiterte Operator selbstadjungiert ist.

Ein dicht-definierter Operator ${\displaystyle A}${\displaystyle A} heißt halb-beschränkt, falls es eine reelle Zahl ${\displaystyle c}${\displaystyle c} gibt, so dass ${\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}}${\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}} für alle ${\displaystyle \xi \in D(A)}${\displaystyle \xi \in D(A)}. Offenbar sind positive Operatoren halb-beschränkt und halb-beschränkte Operatoren sind symmetrisch, denn nach Definition sind alle ${\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle }${\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle } reell.

In der Quantenmechanik auftretende Operatoren sind häufig halb-beschränkt, das ${\displaystyle c}${\displaystyle c} steht dann etwa für eine untere Energie-Schranke. Es stellt sich dann in natürlicher Weise die Frage, ob ein solcher Operator eine selbstadjungierte Erweiterung hat, diese ist dann eine quantenmechanische Observable.

Der Begriff des halb-beschränkten Operators wurde zuerst von Aurel Wintner eingeführt. Später hat Kurt Friedrichs die Theorie der halb-beschränkten Operatoren weiterentwickelt.^[1]

Sei ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein halb-beschränkter Operator mit ${\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}}${\displaystyle \langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}} für alle ${\displaystyle \xi \in D(A)}${\displaystyle \xi \in D(A)} und ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } sei eine reelle Zahl mit ${\displaystyle \lambda +c>0}${\displaystyle \lambda +c>0}. Sei

${\displaystyle [\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\langle A\xi ,\eta \rangle +\lambda \langle \xi ,\eta \rangle }${\displaystyle [\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\langle A\xi ,\eta \rangle +\lambda \langle \xi ,\eta \rangle } für ${\displaystyle \xi ,\eta \in D(A)}${\displaystyle \xi ,\eta \in D(A)}.

Dann ist ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }}${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }} eine positiv definite Form auf ${\displaystyle D(A)}${\displaystyle D(A)} und man kann daher die Norm ${\displaystyle \|\xi \|_{\lambda }:={\sqrt {[\xi ,\xi ]_{\lambda }}}}${\displaystyle \|\xi \|_{\lambda }:={\sqrt {[\xi ,\xi ]_{\lambda }}}} auf ${\displaystyle D(A)}${\displaystyle D(A)} definieren. ${\displaystyle D(A)}${\displaystyle D(A)} ist mit dieser Norm in der Regel kein vollständiger Raum; das führt zu folgender Konstruktion.

${\displaystyle H_{\lambda }:=\{\xi \in H;{\rm {Es,円gibt,円eine,円Folge}},円(\xi _{n})_{n},円{\rm {in}},円D(A),円{\rm {mit}}\|\xi _{n}-\xi \|{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0,円{\rm {und}},円\|\xi _{n}-\xi _{m}\|_{\lambda }{\stackrel {n,m\to \infty }{\longrightarrow }}0\}}${\displaystyle H_{\lambda }:=\{\xi \in H;{\rm {Es,円gibt,円eine,円Folge}},円(\xi _{n})_{n},円{\rm {in}},円D(A),円{\rm {mit}}\|\xi _{n}-\xi \|{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0,円{\rm {und}},円\|\xi _{n}-\xi _{m}\|_{\lambda }{\stackrel {n,m\to \infty }{\longrightarrow }}0\}}.

Beachte, dass sich die erste Grenzwert-Bedingung auf die Hilbertraum-Norm auf ${\displaystyle H}${\displaystyle H} bezieht. Eine Folge ${\displaystyle (\xi _{n})_{n}}${\displaystyle (\xi _{n})_{n}} in der Definition von ${\displaystyle H_{\lambda }}${\displaystyle H_{\lambda }} heißt eine approximierende Folge für ${\displaystyle \xi \in H_{\lambda }}${\displaystyle \xi \in H_{\lambda }}. Offenbar ist ${\displaystyle D(A)\subset H_{\lambda }}${\displaystyle D(A)\subset H_{\lambda }}, denn für ${\displaystyle \xi \in D(A)}${\displaystyle \xi \in D(A)} kann man als approximierende Folge die konstante Folge ${\displaystyle \xi _{n}=\xi }${\displaystyle \xi _{n}=\xi } wählen. Man kann nun folgende Aussagen beweisen:

• Sind ${\displaystyle \xi ,\eta \in H_{\lambda }}${\displaystyle \xi ,\eta \in H_{\lambda }} mit approximierenden Folgen ${\displaystyle (\xi _{n})_{n}}${\displaystyle (\xi _{n})_{n}} und ${\displaystyle (\eta _{n})_{n}}${\displaystyle (\eta _{n})_{n}}, so existiert der Limes ${\displaystyle [\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\lim _{n\to \infty }[\xi _{n},\eta _{n}]_{\lambda }}${\displaystyle [\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\lim _{n\to \infty }[\xi _{n},\eta _{n}]_{\lambda }} und setzt die auf ${\displaystyle D(A)}${\displaystyle D(A)} definierte Form fort.
• ${\displaystyle H_{\lambda }}${\displaystyle H_{\lambda }} ist mit der positiv definiten Form ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }}${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }} ein Hilbertraum.
• Ist auch ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } eine reelle Zahl mit ${\displaystyle \mu +c>0}${\displaystyle \mu +c>0}, so ist ${\displaystyle H_{\lambda }=H_{\mu }\subset H}${\displaystyle H_{\lambda }=H_{\mu }\subset H} als Mengen, die durch ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }}${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\lambda }} bzw. ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\mu }}${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\mu }} definierten Normen sind äquivalent.

Der Raum ${\displaystyle H_{\lambda }}${\displaystyle H_{\lambda }} hängt also nur von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und nicht vom speziellen ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } ab; er wird daher mit ${\displaystyle H_{A}}${\displaystyle H_{A}} bezeichnet und heißt der energetische Raum von ${\displaystyle A}${\displaystyle A}.

Sei ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein halb-beschränkter Operator. Dann ist ${\displaystyle A}${\displaystyle A} symmetrisch, das heißt, es gilt ${\displaystyle A\subset A^{*}}${\displaystyle A\subset A^{*}}, wobei ${\displaystyle A^{*}}${\displaystyle A^{*}} der adjungierte Operator ist. Definiert man

${\displaystyle A_{F}\xi :=A^{*}\xi }${\displaystyle A_{F}\xi :=A^{*}\xi } für ${\displaystyle \xi \in D(A_{F}):=H_{A}\cap D(A^{*})}${\displaystyle \xi \in D(A_{F}):=H_{A}\cap D(A^{*})},

so ist ${\displaystyle A_{F}}${\displaystyle A_{F}} ein selbstadjungierter Operator, der ${\displaystyle A}${\displaystyle A} erweitert. ${\displaystyle A_{F}}${\displaystyle A_{F}} heißt die Friedrichssche Erweiterung von ${\displaystyle A}${\displaystyle A}.

Man beachte, dass im Allgemeinen weder ${\displaystyle A}${\displaystyle A} noch ${\displaystyle A^{*}}${\displaystyle A^{*}} selbstadjungiert ist. Erst durch obige geschickte Wahl des Definitionsbereichs erhält man einen zwischen ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und ${\displaystyle A^{*}}${\displaystyle A^{*}} gelegenen selbstadjungierten Operator, der die Einschränkung von ${\displaystyle A^{*}}${\displaystyle A^{*}} auf diesem Teilraum ist. Es ist daher ${\displaystyle A\subset A_{F}\subset A^{*}}${\displaystyle A\subset A_{F}\subset A^{*}}

• Hans Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, 1980.

1. ↑ Franz Rellich: @1 @2 Vorlage:Toter Link/imu2.zib.de Halbbeschränkte Differentialoperatoren höherer Ordnung (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im Januar 2021. Suche in Webarchiven) (PDF; 702 kB), 1954, abgerufen am 17. Juni 2011

• Funktionalanalysis

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