Fréchet-Metrik

Fréchet-Metrik (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her.

Sei ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ein beliebiger reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Fréchet-Metrik ist eine Funktion ${\displaystyle \varrho \colon V\to \mathbb {R} }${\displaystyle \varrho \colon V\to \mathbb {R} }, die für ${\displaystyle x,y\in V}${\displaystyle x,y\in V} folgende Bedingungen erfüllt:

1. ${\displaystyle \varrho (x)=\varrho (-x)}${\displaystyle \varrho (x)=\varrho (-x)}
2. ${\displaystyle \varrho (x)\geq 0}${\displaystyle \varrho (x)\geq 0}, wobei ${\displaystyle \varrho (x)=0\iff x=0}${\displaystyle \varrho (x)=0\iff x=0}
3. ${\displaystyle \varrho (x+y)\leq \varrho (x)+\varrho (y)}${\displaystyle \varrho (x+y)\leq \varrho (x)+\varrho (y)}

Das heißt, ${\displaystyle \varrho }${\displaystyle \varrho } ist symmetrisch, nichtnegativ und erfüllt die Dreiecksungleichung.

• Jede Norm ${\displaystyle x\mapsto \|x\|}${\displaystyle x\mapsto \|x\|} auf ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ist eine Fréchet-Metrik, denn ${\displaystyle \|\cdot \|}${\displaystyle \|\cdot \|} erfüllt offensichtlich die Bedingungen (2) und (3). Die Gültigkeit von (1) folgt aus der Homogenität von Normen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist für ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} die Fréchet-Metrik
  ${\displaystyle \varrho (x):={\frac {|x|}{1+|x|}}}${\displaystyle \varrho (x):={\frac {|x|}{1+|x|}}}
  keine Norm, da sie nicht homogen ist.
• Ist ${\displaystyle (p_{k})_{k\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (p_{k})_{k\in \mathbb {N} }} eine abzählbare Familie von Halbnormen auf dem Vektorraum ${\displaystyle V}${\displaystyle V} mit der Eigenschaft
  ${\displaystyle p_{k}(x)=0,円}${\displaystyle p_{k}(x)=0,円} für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} \Longrightarrow x=0,}${\displaystyle k\in \mathbb {N} \Longrightarrow x=0,}
  dann wird durch
  ${\displaystyle \varrho (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {p_{k}(x)}{1+p_{k}(x)}}}${\displaystyle \varrho (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {p_{k}(x)}{1+p_{k}(x)}}}
  eine Fréchet-Metrik definiert, die dieselbe Topologie erzeugt wie die Familie von Halbnormen.
• Die ${\displaystyle L^{p}}${\displaystyle L^{p}}-Räume für ${\displaystyle 0<p<1}${\displaystyle 0<p<1} ausgestattet mit der Fréchet-Metrik
  ${\displaystyle \varrho _{p}(f):=\int _{\Omega }\left\|f(x)\right\|^{p},円\mathrm {d} \mu (x)}${\displaystyle \varrho _{p}(f):=\int _{\Omega }\left\|f(x)\right\|^{p},円\mathrm {d} \mu (x)}
  sind Beispiele für im Allgemeinen nicht lokalkonvexe Räume.^[1]

• Durch eine Fréchet-Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermöge ${\displaystyle d(x,y):=\varrho (x-y)}${\displaystyle d(x,y):=\varrho (x-y)}. Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist, folgt direkt aus der Definition der Fréchet-Metrik.
• Umgekehrt gilt: Jede Metrik ${\displaystyle d}${\displaystyle d} auf einem Vektorraum, die translationsinvariant ist, d. h. ${\displaystyle d(x+c,y+c)=d(x,y)}${\displaystyle d(x+c,y+c)=d(x,y)}, entsteht durch genau eine solche Fréchet-Metrik.
• Ein (Hausdorffscher) topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist.
• Wenn ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Fréchet-Metrik die zusätzlichen Eigenschaften hat, dass er vollständig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist, dann handelt es sich um einen Fréchet-Raum.

• H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Aufl., Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43947-1.

1. ↑ H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11, S. 140. 

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