Flacher Zusammenhang

In der Mathematik sind flache Zusammenhänge in Geometrie und Eichtheorie von Bedeutung.

Sei ${\displaystyle G}${\displaystyle G} eine Lie-Gruppe und ${\displaystyle \pi :E\rightarrow M}${\displaystyle \pi :E\rightarrow M} ein ${\displaystyle G}${\displaystyle G}-Prinzipalbündel.

Ein flacher Zusammenhang ist ein Zusammenhang ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})}${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})}, dessen Krümmungsform verschwindet: ${\displaystyle \textstyle \Omega :=d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0}${\displaystyle \textstyle \Omega :=d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0}.

Aus dem Satz von Ambrose-Singer folgt, dass ein ${\displaystyle G}${\displaystyle G}-Prinzipalbündel mit einem flachen Zusammenhang ein flaches Bündel der Form

${\displaystyle E_{\rho }:={\widetilde {M}}\times G/\sim }${\displaystyle E_{\rho }:={\widetilde {M}}\times G/\sim }

mit ${\displaystyle (\gamma x,g)\sim (x,\rho (\gamma )g)}${\displaystyle (\gamma x,g)\sim (x,\rho (\gamma )g)} für eine (vom flachen Zusammenhang abhängende) Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to G}${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to G} ist. ${\displaystyle \rho }${\displaystyle \rho } heißt die Holonomie-Darstellung des flachen Zusammenhangs.

Der Raum aller Zusammenhänge eines gegebenen Prinzipalbündels ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\Omega ^{1}(M,{\mathfrak {g}})}${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\Omega ^{1}(M,{\mathfrak {g}})} mit der ${\displaystyle C^{\infty }}${\displaystyle C^{\infty }}-Topologie. Der Unterraum der flachen Zusammenhänge wird mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{F}}${\displaystyle {\mathcal {A}}_{F}} bezeichnet. Die Eichgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}=C^{\infty }(M,G)}${\displaystyle {\mathcal {G}}=C^{\infty }(M,G)} wirkt auf ${\displaystyle {\mathcal {A}}}${\displaystyle {\mathcal {A}}} durch ${\displaystyle g\omega =g^{-1}\omega g+g^{-1}dg}${\displaystyle g\omega =g^{-1}\omega g+g^{-1}dg}, sie bildet ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{F}}${\displaystyle {\mathcal {A}}_{F}} in sich ab.

Falls das Bündel (topologisch) trivialisierbar ist, vermittelt die Holonomie-Darstellung eine Bijektion zwischen

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{F}/{\mathcal {G}}}${\displaystyle {\mathcal {A}}_{F}/{\mathcal {G}}}

und einer Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät

${\displaystyle Hom(\pi _{1}M,G)/conjugation}${\displaystyle Hom(\pi _{1}M,G)/conjugation}.

Der Modulraum flacher Zusammenhänge ist

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {A}}_{F}/{\mathcal {G}}}${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {A}}_{F}/{\mathcal {G}}}.

Sein Tangentialraum in einem flachen Zusammenhang ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}} ist

${\displaystyle T_{A}{\mathcal {M}}=H^{1}(M,d_{A})}${\displaystyle T_{A}{\mathcal {M}}=H^{1}(M,d_{A})}

mit

${\displaystyle d_{A}a=da+\left[A,a\right]}${\displaystyle d_{A}a=da+\left[A,a\right]}

für ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}},a\in \Omega ^{*}(M,{\mathfrak {g}})}${\displaystyle A\in {\mathcal {M}},a\in \Omega ^{*}(M,{\mathfrak {g}})}.

Der Satz von Narasimhan-Seshadri identifiziert den Modulraum flacher Zusammenhänge über einer kompakten Riemannschen Fläche ${\displaystyle \Sigma }${\displaystyle \Sigma } mit einer komplexen Mannigfaltigkeit, nämlich der Mannigfaltigkeit der stabilen Vektorbündel über ${\displaystyle \Sigma }${\displaystyle \Sigma }.^{[1] [2]}

1. ↑ Narasimhan, Seshadri: Stable and Unitary Vector Bundles on a Compact Riemann Surface
2. ↑ Donaldson: A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri (Memento vom 1. Februar 2017 im Internet Archive )

• Flat connections on oriented 2-manifolds

• Differentialgeometrie