Faxén-Integral

In der Mathematik ist das Faxén-Integral (auch Faxén-Funktion) folgendes Integral^[1]

${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-t+xt^{\alpha })t^{\beta -1}\mathrm {d} t,\qquad (0\leq \operatorname {Re} (\alpha )<1,\;\operatorname {Re} (\beta )>0).}${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-t+xt^{\alpha })t^{\beta -1}\mathrm {d} t,\qquad (0\leq \operatorname {Re} (\alpha )<1,\;\operatorname {Re} (\beta )>0).}

Das Integral ist nach dem schwedischen Physiker Olov Hilding Faxén benannt, der es 1921 in seiner Doktorarbeit publizierte.^[2]

Allgemeiner definiert man das ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionale Faxén-Integral als^[3]

${\displaystyle I_{n}(x)=\lambda _{n}\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }t_{1}^{\beta _{1}-1}\cdots t_{n}^{\beta _{n}-1}e^{-f(t_{1},\dots ,t_{n};x)}\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n},}${\displaystyle I_{n}(x)=\lambda _{n}\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }t_{1}^{\beta _{1}-1}\cdots t_{n}^{\beta _{n}-1}e^{-f(t_{1},\dots ,t_{n};x)}\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n},}

mit

${\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n};x):=\sum \limits _{j=1}^{n}t_{j}^{\mu _{j}}-xt_{1}^{\alpha _{1}}\cdots t_{n}^{\alpha _{n}}\quad }${\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n};x):=\sum \limits _{j=1}^{n}t_{j}^{\mu _{j}}-xt_{1}^{\alpha _{1}}\cdots t_{n}^{\alpha _{n}}\quad } und ${\displaystyle \quad \lambda _{n}:=\prod \limits _{j=1}^{n}\mu _{j}}${\displaystyle \quad \lambda _{n}:=\prod \limits _{j=1}^{n}\mu _{j}}

für ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }${\displaystyle x\in \mathbb {C} } und

${\displaystyle (0<\alpha _{i}<\mu _{i},\;\operatorname {Re} (\beta _{i})>0,\;i=1,\dots ,n).}${\displaystyle (0<\alpha _{i}<\mu _{i},\;\operatorname {Re} (\beta _{i})>0,\;i=1,\dots ,n).}

Der Parameter ${\displaystyle \lambda _{n}}${\displaystyle \lambda _{n}} wurde nur aus rechnerischen Gründen eingeführt, man kann auch auf ihn verzichten.

Es gilt folgende Beziehung zur Gammafunktion

• ${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;0)=\Gamma (\beta ),}${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;0)=\Gamma (\beta ),}
• ${\displaystyle \operatorname {Fi} (0,\beta ;x)=e^{x}\Gamma (\beta ).}${\displaystyle \operatorname {Fi} (0,\beta ;x)=e^{x}\Gamma (\beta ).}

Für ${\displaystyle \alpha =\beta ={\tfrac {1}{3}}}${\displaystyle \alpha =\beta ={\tfrac {1}{3}}} erhält man folgende Beziehung zur Scorer-Funktion

${\displaystyle \operatorname {Fi} ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}};x)=3^{2/3}\pi \operatorname {Hi} (3^{-1/3}x).}${\displaystyle \operatorname {Fi} ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}};x)=3^{2/3}\pi \operatorname {Hi} (3^{-1/3}x).}

Für ${\displaystyle x\to \infty }${\displaystyle x\to \infty } haben wir folgende Entwicklungen^[4]

• ${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;-x)\sim {\frac {\Gamma (\beta /\alpha )}{\alpha y^{\beta /\alpha }}},}${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;-x)\sim {\frac {\Gamma (\beta /\alpha )}{\alpha y^{\beta /\alpha }}},}
• ${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;x)\sim \left({\frac {2\pi }{1-\alpha }}\right)^{1/2}(\alpha x)^{(2\beta -1)/(2-2\alpha )}\exp \left((1-\alpha )(\alpha ^{\alpha }y)^{1/(1-\alpha )}\right).}${\displaystyle \operatorname {Fi} (\alpha ,\beta ;x)\sim \left({\frac {2\pi }{1-\alpha }}\right)^{1/2}(\alpha x)^{(2\beta -1)/(2-2\alpha )}\exp \left((1-\alpha )(\alpha ^{\alpha }y)^{1/(1-\alpha )}\right).}

1. ↑ Frank W. J. Olver: Asymptotics and Special Functions. Hrsg.: A K Peters/CRC Press. 1997, S. 332, doi:10.1201/9781439864548 . 
2. ↑ Hilding Faxén: Einwirkung der Gefässwände auf den Widerstand gegen die Bewegung einer kleinen Kugel in einer zähen Flüssigkeit. Hrsg.: Universität Uppsala. 1921 (kb.se – Doktorarbeit). 
3. ↑ Richard Bruce Paris: Asymptotic expansion of n-dimensional Faxén-type integrals. In: A K Peters/CRC Press (Hrsg.): European Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 3, Nr. 6, 2010, S. 1006–1031 (ejpam.com). 
4. ↑ D. Kaminski und Richard B. Paris: Asymptotics via iterated Mellin–Barnes integrals: Application to the generalised Faxén integral. In: Methods and applications of analysis. Band 4, 1997, S. 311–325 (intlpress.com). 

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