Faktorregel

Die Faktorregel^{[1] [2]} ist in der Analysis eine der Grundregeln der Differentialrechnung und besagt, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren erhalten bleibt. Sie folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.

Ist die Funktion ${\displaystyle u}${\displaystyle u} an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} differenzierbar und ${\displaystyle k}${\displaystyle k} eine reelle Zahl, so ist auch die Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} mit

${\displaystyle f(x)=k\cdot u(x)}${\displaystyle f(x)=k\cdot u(x)}

an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} differenzierbar, und es gilt

${\displaystyle f'(x_{0})=k\cdot u'(x_{0}),円.}${\displaystyle f'(x_{0})=k\cdot u'(x_{0}),円.}

Die Funktion ${\displaystyle \ u(x)=x^{2}}${\displaystyle \ u(x)=x^{2}} hat die Ableitungsfunktion ${\displaystyle \ u'(x)=2x}${\displaystyle \ u'(x)=2x}.

Dann folgt aus der Faktorregel, dass die Funktion ${\displaystyle \ f(x)=5\cdot u(x)=5\cdot x^{2}}${\displaystyle \ f(x)=5\cdot u(x)=5\cdot x^{2}} die Ableitungsfunktion ${\displaystyle f'(x)=5\cdot u'(x)=5\cdot 2x=10x}${\displaystyle f'(x)=5\cdot u'(x)=5\cdot 2x=10x} besitzt.

Ist ${\displaystyle u(x)}${\displaystyle u(x)} bei ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} differenzierbar, so konvergiert ${\textstyle {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}${\textstyle {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}} für ${\displaystyle x\to x_{0}}${\displaystyle x\to x_{0}} gegen ${\displaystyle u'(x_{0})}${\displaystyle u'(x_{0})}. Nach den Grenzwertsätzen konvergiert dann aber auch ${\textstyle k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}${\textstyle k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}} für ${\displaystyle x\to x_{0}}${\displaystyle x\to x_{0}}, und zwar gegen ${\displaystyle k\cdot u'(x_{0})}${\displaystyle k\cdot u'(x_{0})}. Damit folgt

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {k\cdot u(x)-k\cdot u(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}=k\cdot u'(x_{0}).}${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {k\cdot u(x)-k\cdot u(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}=k\cdot u'(x_{0}).}

1. ↑ Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. 14. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-05619-3, S. 331. 
2. ↑ Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 394. 

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