Eulersche Reihentransformation

Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus einer konvergenten Zahlenreihe eine andere Zahlenreihe mit identischer Reihensumme. Das einfache Verfahren wurde zuerst von Nicolas Fatio auf die Leibniz-Reihe angewandt und von Leonhard Euler auf beliebige Reihen verallgemeinert. In manchen Fällen konvergiert die transformierte Reihe schneller als die ursprüngliche Reihe. Dies ermöglicht eine bessere numerische Berechnung der ursprünglichen Reihe (Konvergenzbeschleunigung). In einigen Fällen eröffnet sich damit auch die Möglichkeit für eine Auswertung der Reihensumme mittels Mathematischer Konstanten. Im Fall der Divergenz der ursprünglichen Reihe kann eine Reihentransformation auch ein Limitierungsverfahren liefern, indem die transformierte Reihe gegen einen Wert konvergiert.

Reihe ${\displaystyle S}${\displaystyle S} und transformierte Reihe ${\displaystyle S^{\prime }}${\displaystyle S^{\prime }} sind gegeben durch

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\\S^{\prime }&={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\Delta ^{n}a_{0}={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{k}\right).\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\\S^{\prime }&={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\Delta ^{n}a_{0}={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{k}\right).\end{aligned}}}

Hierbei ist der Operator ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } definiert durch ${\displaystyle \Delta a_{n}=a_{n}+a_{n+1}}${\displaystyle \Delta a_{n}=a_{n}+a_{n+1}}. Im Fall einer alternierenden Reihe erzeugt ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } Differenzen von Absolutbeträgen von Reihentermen. Die Terme von ${\displaystyle S^{\prime }}${\displaystyle S^{\prime }} sind bis auf eine Zweierpotenz und Vorzeichen die Binomialtransformierten von ${\displaystyle S}${\displaystyle S}.

Dass die Euler-Transformierte dieselbe Reihensumme ergibt, lässt sich mit Hilfe von

${\displaystyle y^{k+1}\sum _{n=k}^{\infty }{n \choose k}{\frac {1}{(1+y)^{n+1}}}=1}${\displaystyle y^{k+1}\sum _{n=k}^{\infty }{n \choose k}{\frac {1}{(1+y)^{n+1}}}=1}

verifizieren (y=1).

Die Idee der eulerschen Reihentransformation (Nikolaus Fatio) besteht darin, aus der ursprünglichen Reihe ${\displaystyle S=a_{0}/2+S_{1}}${\displaystyle S=a_{0}/2+S_{1}} durch Zusammenfassung aufeinanderfolgender Reihenterme zunächst eine neue Reihe

${\displaystyle S_{1}={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+a_{n+1}\right)={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\Delta a_{n}}${\displaystyle S_{1}={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+a_{n+1}\right)={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\Delta a_{n}}

zu generieren. Für eine alternierende Reihe mit streng monoton fallenden Absolutbeträgen ist ${\displaystyle S_{1}}${\displaystyle S_{1}} ebenfalls alternierend. Die eulersche Reihentransformation ergibt sich dann durch wiederholte Anwendung des Verfahrens auf die jeweils im vorherigen Schritt erzeugte Reihe.

Leonhard Euler gelangt auf einem anderen Weg zum Ziel. Er definiert (sinngemäß) eine Funktion

${\displaystyle S\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+1},}${\displaystyle S\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+1},}

setzt ${\displaystyle x=-y/\left(1+y\right)}${\displaystyle x=-y/\left(1+y\right)}, entwickelt nach ${\displaystyle y}${\displaystyle y} und setzt ${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{2}}}${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{2}}}, d. h. ${\displaystyle x=1}${\displaystyle x=1}.

Ein Vergleich mit anderen Reihentransformationen ist möglich, wenn man die Partialsummen ${\displaystyle s_{N}^{\prime }}${\displaystyle s_{N}^{\prime }} von ${\displaystyle S'}${\displaystyle S'} durch die Partialsummen ${\displaystyle s_{0}=a_{0}}${\displaystyle s_{0}=a_{0}}, ${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}+a_{n}}${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}+a_{n}} von ${\displaystyle S}${\displaystyle S} ausdrückt,

${\displaystyle s_{N}^{\prime }=2^{-\left(N+1\right)}\sum _{n=0}^{N}{\binom {N+1}{n+1}}s_{n}.}${\displaystyle s_{N}^{\prime }=2^{-\left(N+1\right)}\sum _{n=0}^{N}{\binom {N+1}{n+1}}s_{n}.}

Der Binomialkoeffizient approximiert bei großem ${\displaystyle N}${\displaystyle N} als Funktion von ${\displaystyle n}${\displaystyle n} eine Gaußkurve mit Mittelwert ${\displaystyle \left(N-1\right)/2}${\displaystyle \left(N-1\right)/2} und Standardabweichung ${\displaystyle {\sqrt {N+1}}/2}${\displaystyle {\sqrt {N+1}}/2}. Die Partialsumme ${\displaystyle s_{N}^{\prime }}${\displaystyle s_{N}^{\prime }} ist daher (asymptotisch) ein mit einer Gaußkurve gewichtetes Mittel von Partialsummen von ${\displaystyle S}${\displaystyle S}.

Das Cesàro-Mittel einer Reihe ist dagegen das arithmetische Mittel der Partialsummen ${\displaystyle s_{n}}${\displaystyle s_{n}}.

Bereits James Stirling hat 1730 in seinem Methodus differentialis Reihentransformationen an Beispielen angegeben.

• Die Reihe

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}={\tfrac {2}{3}}}${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}={\tfrac {2}{3}}}

liefert die schneller konvergente Reihe

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{k}}}={\tfrac {2}{3}}.}${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{k}}}={\tfrac {2}{3}}.}

• Die Eulersche Reihentransformation liefert jedoch nicht in allen Fällen eine schneller konvergente Reihe. Im Beispiel

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}={\tfrac {4}{5}}}${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}={\tfrac {4}{5}}}

ergibt sich die langsamer konvergente Reihe

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\tfrac {3}{8}}\right)^{k}={\tfrac {4}{5}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\tfrac {3}{8}}\right)^{k}={\tfrac {4}{5}}}

• Im Fall einer divergenten Reihe kann die Eulersche Reihentransformation ein Limitierungsverfahren darstellen. Im Beispiel

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}=1-1+1-\dots }${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}=1-1+1-\dots }

ergibt sich die konvergente Reihe

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+0+0+0+\dots }${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+0+0+0+\dots }

Man sagt dann, dass die Reihe E-limitierbar ist.

• Eine weniger triviale Anwendung ist die in ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} } konvergente Reihe für die dirichletsche η-Funktion.

Neben der Eulerschen Reihentransformation gibt es:

• Markoffsche Reihentransformation
• Kummersche Reihentransformation

• James Stirling: Methodus Differentialis: sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum , G. Strahan, Londini (London) 1730 (lateinisch; Gallica)
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer, Berlin, 1931
• Karl Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik. Oldenbourg, München u. a. 1967, S. 226.
• L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1994, ISBN 0201558025, S. 199.
• Friedrich Lösch: Eine Verallgemeinerung der Eulerschen Reihentransformation mit funktionentheoretischen Anwendungen. Springer, Berlin 1929, Dissertation

• Analysis
• Folgen und Reihen
• Numerische Mathematik
• Leonhard Euler als Namensgeber