Epanechnikov-Kern

Der Epanechnikov-Kern (nach W. A. Jepanetschnikow) ist derjenige Kern, der für einen kompakten Träger folgende Eigenschaften erfüllt:

1. ${\displaystyle k(x)\geq 0}${\displaystyle k(x)\geq 0} für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }${\displaystyle x\in \mathbb {R} }
2. ${\displaystyle \int k(x),円{\mathrm {d} }x=1}${\displaystyle \int k(x),円{\mathrm {d} }x=1}
3. ${\displaystyle \int x^{2}k(x),円{\mathrm {d} }x=1}${\displaystyle \int x^{2}k(x),円{\mathrm {d} }x=1}
4. ${\displaystyle \int k^{2}(x),円{\mathrm {d} }x}${\displaystyle \int k^{2}(x),円{\mathrm {d} }x} wird minimiert.

Durch diese Eigenschaften minimiert der Epanechnikov-Kern unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehörigen Kerndichteschätzers. Es handelt sich hierbei um ein Polynom der Form ${\displaystyle a+bx^{2}}${\displaystyle a+bx^{2}}.

Wir wollen die numerischen Faktoren ${\displaystyle a,b}${\displaystyle a,b} des Kerns in Kontext setzen. Betrachte dazu zunächst die normierte Familie ${\displaystyle k_{n,d}(x)}${\displaystyle k_{n,d}(x)}, deren Terme im Interval ${\displaystyle [-d,d]}${\displaystyle [-d,d]} eine Hügelform annehmen und welche für große n gegen die rechteckige Verteilung der Höhe ${\displaystyle {\tfrac {1}{2d}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{2d}}} konvergiert:

${\displaystyle k_{n,d}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2d}}\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)\left(1-\left({\frac {x}{d}}\right)^{2n}\right)&,|x|\leq d\0円&,|x|>d\end{cases}}}${\displaystyle k_{n,d}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2d}}\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)\left(1-\left({\frac {x}{d}}\right)^{2n}\right)&,|x|\leq d\0円&,|x|>d\end{cases}}}

Für diese gilt

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}k_{n,d}(x),円{\mathrm {d} }x={\frac {d^{2n}}{4n+1}}.}${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}k_{n,d}(x),円{\mathrm {d} }x={\frac {d^{2n}}{4n+1}}.}

Der von Epanechnikov selbst angegebene Kern normiert dieses Integral für ${\displaystyle n=1}${\displaystyle n=1} auf Eins. Für ${\displaystyle \left({\tfrac {d}{\sqrt {4+1}}}\right)^{2}=1}${\displaystyle \left({\tfrac {d}{\sqrt {4+1}}}\right)^{2}=1} wählen wir also ${\displaystyle k_{E}:=k_{1,{\sqrt {5}}}}${\displaystyle k_{E}:=k_{1,{\sqrt {5}}}}^[1] :

${\displaystyle k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4{\sqrt {5}}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{5}}\right)&,|x|\leq {\sqrt {5}}\0円&,|x|>{\sqrt {5}}\end{cases}}}${\displaystyle k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4{\sqrt {5}}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{5}}\right)&,|x|\leq {\sqrt {5}}\0円&,|x|>{\sqrt {5}}\end{cases}}}

Mitunter wird auch der Kern mit ${\displaystyle d=1}${\displaystyle d=1} als Epanechnikov-Kern bezeichnet, der dementsprechend die Eigenschaft 3 nicht erfüllt:

${\displaystyle k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4}}(1-x^{2})&,|x|\leq 1\0円&,|x|>1\end{cases}}}${\displaystyle k_{E}(x)={\begin{cases}{\frac {3}{4}}(1-x^{2})&,|x|\leq 1\0円&,|x|>1\end{cases}}}

• Beweis der Eigenschaften des Epanechnikov-Kerns (Memento vom 21. Januar 2017 im Internet Archive )

1. ↑ V. A. Epanechnikov: Non-Parametric Estimation of a Multivariate Probability Density. In: Theory of Probability and its Applications, 1969, S. 156

• Stochastik