Diskussion:Schwarzschild-Metrik

"r" wurde hier, wie auch in den Arbeiten von Karl Schwarzschild als radiale Komponente der Polarkoordinaten in einem Basisraum definiert. (Jedem Punkt im Basisraum wird stetig differenzierbar ein metrischer Tensor zugeordnet) Schwarzschild hat dann das Symbol "R" eingeführt und über die tangentiale Komponente des metrischen Tensors definiert: R2(r)=g_ΩΩ(r). Schwarzschild hat dann gezeigt, dass die äußere Metrik die Bedingung R3=r3+ρ erfüllen muss. Dabei ist ρ eine Integrationskonstante, die so zu wählen ist, dass der Übergang zu einer inneren Metrik stetig verläuft. Für den Grenzfall eines singulären Massepunktes geht ρ gegen R_s3. R<R_s liegt außerhalb des Gültigkeitsbereichs der äußeren Metrik.

Innerhalb des Gültigkeitsbereiches eignet sich R gut als alternative Radialvariable. Da die Ignoranz der Gültigkeitsbedingung aber offensichtlich zu fatalen Missverständnissen geführt hat, sollte im Hauptartikel unbedingt auf den Zusammenhang von R und r hingewiesen werden. --Michael Müller Wied (Diskussion) 22:04, 26. Nov. 2022 (CET) Beantworten

In Einsteins Gravitationstheorie wird das Gravitationsfeld durch eine stetig differenzierbare Funktion repräsentiert, die jedem Punkt (x⁰,x¹,x²,x³) eines Basisminkowskiraums einen metrischen Tensor zuordnet.

Karl Schwarzschild hat die Aufgabe gestellt, eine Metrik zu finden, die den einsteinschen Feldgleichungen im Vakuum um eine statische kugelsymmetrische Masseverteilung genügt.

Eine derartige Metrik kann allgemein durch ein Linienelement der folgenden Form dargestellt werden:

ds2 = -g_tt(r) dt2 + g_rr(r) dr2 + g_ΩΩ(r) dΩ2

Dazu werden übliche Kugelkoordinaten benutzt: t=x⁰, r2=(x¹)2 + (x²)2 + (x³)2, ... dΩ2 = dθ2+sin(θ)2dΦ2

Schwarzschild hat die Funktion R(r):=( g_ΩΩ(r) )^1/2 definiert, die man auch als Tangentialradius bezeichnen könnte. Die allgemeine Lösung stellt sich damit folgendermaßen dar:

ds2 = -(1-R_s/R) dt2 + (1-R_s/R)^-1 dR2 + R2 dΩ2,   mit R=( r3+ρ )^1/3

Dabei ist ρ eine Integrationskonstante, die so zu wählen ist, dass der Übergang zu einer inneren Metrik bei r=r_a stetig verläuft.

Der sogenannte Tangentialradius R eignet sich auch als alternative Radialvariable der Metrik.

Durch die Koordinatentransformation r -> R(r) wird der radiale Definitionsbereich von [r_a,∞[ auf [R(r_a),∞[ abgebildet. Für den Grenzfall eines singulären Massepunktes geht r_a gegen 0 und ρ gegen R_s3. Der Punkt r=0 muss aus dem Definitionsbereich der Metrik ausgeschlossen werden. Für alle andren Punkte des Basisraums gilt R(r) > R_s.

Die Menge der Punkte (auch Ereignisse genannt), die die Bedingung R(r) < Rs erfüllen, ist also leer. --Michael Müller Wied (Diskussion) 15:45, 29. Nov. 2022 (CET) Beantworten