Diskussion:Helly-Eigenschaft

In den Artikel muss unbedingt ein graphisches Beispiel, ich bspw. verstehe das gerade nicht auf Anhieb, obwohl's mich interessiert und mir die Graphentheorie an sich erst mal nicht unbekannt ist. --84.147.79.251 18:20, 25. Jun. 2011 (CEST) Beantworten

Ich schlage folgendes Beispiel für den Abschnitt „Gegenbeispiel" vor, das viel konkreter ist als das derzeitige:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&A&{}={}&\left\{1,2\right\}{\text{,}}\\&B&{}={}&\left\{2,3\right\}{\text{,}}\\&C&{}={}&\left\{1,3\right\}\end{alignedat}}}${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&A&{}={}&\left\{1,2\right\}{\text{,}}\\&B&{}={}&\left\{2,3\right\}{\text{,}}\\&C&{}={}&\left\{1,3\right\}\end{alignedat}}}

(natürlich mit Grundmenge ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}} und ${\displaystyle \left(A,B,C\right)}${\displaystyle \left(A,B,C\right)} als Familie ${\displaystyle F}${\displaystyle F}). Man beachte:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&A\cap B&{}={}&\left\{1,2\right\}\cap \left\{2,3\right\}&{}={}&\left\{2\right\}{\text{,}}\\&B\cap C&{}={}&\left\{2,3\right\}\cap \left\{1,3\right\}&{}={}&\left\{3\right\}{\text{,}}\\&A\cap C&{}={}&\left\{1,2\right\}\cap \left\{1,3\right\}&{}={}&\left\{1\right\}{\text{,}}\end{alignedat}}}${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&A\cap B&{}={}&\left\{1,2\right\}\cap \left\{2,3\right\}&{}={}&\left\{2\right\}{\text{,}}\\&B\cap C&{}={}&\left\{2,3\right\}\cap \left\{1,3\right\}&{}={}&\left\{3\right\}{\text{,}}\\&A\cap C&{}={}&\left\{1,2\right\}\cap \left\{1,3\right\}&{}={}&\left\{1\right\}{\text{,}}\end{alignedat}}}

aber

${\displaystyle \bigcap \limits _{S\in F}S=A\cap B\cap C=\left\{1,2\right\}\cap \left\{2,3\right\}\cap \cap \left\{1,3\right\}=\left\{\right\}{\text{.}}}${\displaystyle \bigcap \limits _{S\in F}S=A\cap B\cap C=\left\{1,2\right\}\cap \left\{2,3\right\}\cap \cap \left\{1,3\right\}=\left\{\right\}{\text{.}}}

Also hat ${\displaystyle F}${\displaystyle F} nicht die Helly-Eigenschaft (mit ${\displaystyle F}${\displaystyle F} als trivialer Unterfamilie).

Anschaulich handelt es sich bei ${\displaystyle \left(\left\{1,2,3\right\},\left\{A,B,C\right\}\right)}${\displaystyle \left(\left\{1,2,3\right\},\left\{A,B,C\right\}\right)} natürlich um einen Dreiecksgraphen und der leere Durchschnitt ist das „Loch" in der Mitte. --77.188.35.195 22:43, 7. Sep. 2016 (CEST) Beantworten