Diskussion:Euklidischer Abstand

!Der (neue) Benutzer Benutzer:Gadelor hat ohne Diskussion ein originales Einstein-Zitat als "Unsinn" gelöscht.

Bin ich hier im Kindergarten?? 1. Unrichtig, wie leicht nachprüfbar, 2. anonym. -- Gadelor 13:00, 30. Jun 2005 (CEST)

Hallo zusammen,

wie mir aufgefallen ist scheint die Darstellung der euklidischen Abstandes formal nicht ganz richtig zu sein. Zum einen werden Punkte grundsätzlich mit Großbuchstaben bezeichnet. Folglisch müsste die Angabe der Punktkoordinaten erstmal wie folgt aussehen:

${\displaystyle X=(x_{1},...,x_{n})}${\displaystyle X=(x_{1},...,x_{n})} und ${\displaystyle Y=(y_{1},...,y_{n})}${\displaystyle Y=(y_{1},...,y_{n})}

Der Abstand zweier Punkte ist dann der Betrag des Vektors, der durch diese beiden Punkte (X,Y) bzw. deren Vektoren aufgespannt wird. Dies bedeutet:

${\displaystyle d(X,Y)=|{\overrightarrow {YX}}|}${\displaystyle d(X,Y)=|{\overrightarrow {YX}}|}

Ein Vektor seinerseits wird als Differenz zweier Ortsvektoren dargestellt.

Daraus folgt für den Abstand:

${\displaystyle d(X,Y)=|{\overrightarrow {YX}}|=|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}${\displaystyle d(X,Y)=|{\overrightarrow {YX}}|=|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}

Richtet man sich nach dieser, auf der Vektroschreibweise basierenden Darstellung, dann ist auch die Definition des euklidischen Abstandes nach

${\displaystyle d(X,Y)=|{\overrightarrow {YX}}|=|{\vec {x}}-{\vec {y}}|={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}${\displaystyle d(X,Y)=|{\overrightarrow {YX}}|=|{\vec {x}}-{\vec {y}}|={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}

richtig.

Meiner Meinung nach wäre es also richtig den Artikel an diese Vektorschreibweise anzupassen, da sonst die momentane Definition sehr verwirrend sein kann, weil hier nicht zwischen Punkten und Vektoren unterschieden wird.

Was ist eure Meinungs dazu?

Mit unfreundlichen Grüßen

-- Inoad 20:54, 5. Dez 2005 (CET)

Die Darstellung ${\displaystyle |{\overrightarrow {YX}}|}${\displaystyle |{\overrightarrow {YX}}|} habe ich ja noch nie gesehen. Finde ich auch nicht so sonderlich einleuchtend. --Christian1985 14:36, 1. Nov. 2008 (CET) Beantworten

Die Darstellung habe ich schonmal gesehen. Meinetwegen darf das da rein, macht ja auch nichts unverständlich. Was aber IMHO falsch ist ist dieses hier: ${\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {y}}|}${\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {y}}|}. Selbst mit gutem Willen lese ich da nur seltsamste Bedeutungen heraus. --unpaid lamer (nicht signierter Beitrag von 78.55.176.131 (Diskussion | Beiträge) 20:46, 26. Jan. 2010 (CET)) Beantworten

Es gibt keine einheitlichen Konventionen. Die Bezeichnungen sind verschieden je nach Fachgebiet und in der Schulmathematik teilweise je nach Bundesland und Schulbuch. Traditionell werden in der Elementargeometrie Punkte mit Großbuchstaben bezeichnet.

In der Schule werden in der Regel Punkte mit Großbuchstaben bezeichnet, wobei die Koordinaten direkt angehängt werden und durch senkrechte Striche getrennt werden, z.B. ${\displaystyle P(1|2|3)}${\displaystyle P(1|2|3)}. Üblich ist aber auch der Strichpunkt als Trennzeichen. Vektoren werden in der Regel durch Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet, zB ${\displaystyle {\vec {v}}}${\displaystyle {\vec {v}}}. Der Verbindungsvektor von ${\displaystyle P}${\displaystyle P} und ${\displaystyle Q}${\displaystyle Q} wird dann mit ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}} bezeichnet.

In der mehrdimensionalen Analysis und in der Differentialgeometrie werden alle Objekte durch Kleinbuchstaben bezeichnet (ein Punkt kann z.B. durch ${\displaystyle p}${\displaystyle p} bezeichnet werden), teilweise werden Punkte und Vektoren durch die Wahl der Buchstaben unterschieden (${\displaystyle p}${\displaystyle p} für Punkte, ${\displaystyle v}${\displaystyle v} für Vektoren), teilweise werden Vektoren durch Pfeile gekennzeichnet, teilweise wird nicht zwischen Punkten und Vektoren unterschieden.

Auch bei der Bezeichnung der Koordinaten gibt es verschiedene Konventionen:

Bei der traditionellen Notation heißen die Koordinaten eines beliebigen Punktes ${\displaystyle x}${\displaystyle x}, ${\displaystyle y}${\displaystyle y} und ${\displaystyle z}${\displaystyle z}, zum Beispiel ${\displaystyle P(x|y|z)}${\displaystyle P(x|y|z)}. Diese Bezeichnungsweise wird in der Schulmathematik z.B. durchgehend in der analytischen Geometrie der Ebene (Mittelstufe) verwendet, z.B. bei Geradengleichungen, und in der Analysis (Punkte auf einem Funktionsgraph). In der analytischen Geometrie und Vektorrechnung im Raum teilweise (abhängig vom Bundesland?) Verschiedene Punkte werden dann meist durchnummeriert oder der Name des Punktes wird als Index für die Koordinaten verwendet, z.B. ${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}, ${\displaystyle Q(x_{Q},y_{Q},z_{Q})}${\displaystyle Q(x_{Q},y_{Q},z_{Q})}. Ein beliebiger Vektor wird dann in der Regel als ${\displaystyle {\vec {x}}=\left({\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}}\right)}${\displaystyle {\vec {x}}=\left({\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}}\right)} bezeichnet, ein Ortsvektor auch ${\displaystyle {\vec {r}}=\left({\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}}\right)}${\displaystyle {\vec {r}}=\left({\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}}\right)} (wobei das ${\displaystyle r}${\displaystyle r} für Radiusvektor steht).

Bei der modernen Notation werden die Koordinaten durchnummeriert. Der Punkt ${\displaystyle P}${\displaystyle P} (oder ${\displaystyle p}${\displaystyle p}) hat dann die Koordinaten ${\displaystyle p_{1}}${\displaystyle p_{1}}, ${\displaystyle p_{2}}${\displaystyle p_{2}} und ${\displaystyle p_{3}}${\displaystyle p_{3}}. Der Vektor ${\displaystyle {\vec {a}}}${\displaystyle {\vec {a}}} die Koordinaten ${\displaystyle a_{1}}${\displaystyle a_{1}}, ${\displaystyle a_{2}}${\displaystyle a_{2}}, ${\displaystyle a_{3}}${\displaystyle a_{3}}. Diese Konvention wird in der Schule teilweise in der Oberstufe in der analytischen Geometrie und Vektorrechnung im Raum benutzt, in der Universitätsmathematik durchgehend. (nicht signierter Beitrag von Digamma (Diskussion | Beiträge) 20:22, 26. Apr. 2011 (CEST))Beantworten

unverständlich (fängt schon bei der Einleitung an) und wirkt zusammengeschustert.--Avron 13:42, 13. Okt. 2008 (CEST) Beantworten

Mir erscheint es wenig sinnvoll, den Abstand gemäß der Minkowski-"Metrik" als euklidischen Abstand zu bezeichnen. Insbesondere handelt es sich hier nicht um eine Metrik. Vielleicht wäre es besser, diesen Abschnitt in einen neuen Artikel "Minkowski-Abstand" auszulagern. 79.206.198.43 14:26, 13. Okt. 2008 (CEST) Beantworten

Sehe ich auch so, dass es keinen Sinn hat diesen Abschnitt hier als speziellen Euklid'schen Abstand zu beschreiben. Aber für einen neuen Artikel ist es etwas dürftig? --Christian1985 14:33, 1. Nov. 2008 (CET) Beantworten

Der Artikel ist insgesamt ziemlich dürftig. Im Grunde steht alles in Abstand und in Euklidischer Raum.

Ich habe mir die zitierte Quelle angeschaut. Soweit ich sie verstehe, belegt sie nicht die im Artikel aufgestellte Behauptung

== Spezielle Relativitätstheorie ==

In der speziellen Relativitätstheorie ist der euklidische Abstand ein Distanzmaß^[1] für den vierdimensionalen, raumzeitlichen Abstand zwischen zwei Ereignissen. Sind diese Ereignisse durch die Ortskoordinaten ${\displaystyle x_{i}}${\displaystyle x_{i}}, ${\displaystyle y_{i}}${\displaystyle y_{i}}, ${\displaystyle z_{i}}${\displaystyle z_{i}} und die Zeitkoordinaten ${\displaystyle t_{i}}${\displaystyle t_{i}} (mit ${\displaystyle i=1,2}${\displaystyle i=1,2}) gegeben, so ist der euklidische Abstand ${\displaystyle d}${\displaystyle d} definiert durch

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}-(ct_{1}-ct_{2})^{2}}}}${\displaystyle d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}-(ct_{1}-ct_{2})^{2}}}}.

Vielmehr wird dort als "euklidischer Abstand" der räumliche Abstand zweier Ereignisse in einem Ruhesystem bezeichnet, also ohne den Zeitterm. Zumindest verstehe ich das so. Ich lösche deshalb den Absatz. -- Digamma 21:02, 14. Apr. 2011 (CEST) Beantworten

@NikelsenH: Was genau möchtest du denn belegt haben? --Digamma (Diskussion) 10:33, 13. Aug. 2016 (CEST) Beantworten

Irgendeine Literatur. Selber hatte ich gerade keine passende da, und ein Artikel ohne jegliche Quelle ist unnötig. --NikelsenH (Diskussion) 10:34, 13. Aug. 2016 (CEST) Beantworten

Wieso unnötig? --Digamma (Diskussion) 10:40, 13. Aug. 2016 (CEST) Beantworten

Wegen Wikipedia:Belege. --NikelsenH (Diskussion) 10:45, 13. Aug. 2016 (CEST) Beantworten

Bemerkung meinerseits: unnötig im Sinne von "vermeidbares Übel", nicht im Sinne von "inhaltlich überflüssig". Etwaige Missverständnisse bitte ich zu entschuldigen. --NikelsenH (Diskussion) 10:48, 13. Aug. 2016 (CEST) Beantworten

Vielen Dank für die Klarstellung. Ich habe einen Großteil des Artikels geschrieben (bzw. ihn überarbeitet), habe aber auch keine Literatur zur Hand. --Digamma (Diskussion) 11:12, 13. Aug. 2016 (CEST) Beantworten

Im Prinzip waren die Inhalte durch Verlinkungen belegt, sofern sich in den Linkzielen entsprechende Literaturangaben finden. Ich habe jetzt einfach mal was angegeben, wo die euklidische Metrik/Norm mit zugehörigen Abstand eingeführt wird und ein Statistik-Buch, indem die gewichtete Variante behandelt wird. Ich denke das sollte sollte zunächst einmal reichen.--Kmhkmh (Diskussion) 12:32, 13. Aug. 2016 (CEST) Beantworten

Super, danke! --NikelsenH (Diskussion) 12:58, 13. Aug. 2016 (CEST) Beantworten

Hallo Kmhkmh, was spricht gegen Großbuchstaben P und Q statt p und q? Zumindest in der elementaren Geometrie ist das üblicher. --Digamma (Diskussion) 19:14, 23. Mär. 2018 (CET) Beantworten

Im Prinzip nichts. Der Grund meiner Änderung ist ganz banal, ich habe nur die Bezeichnungen auf en.wp, de.wp und den Illustrationen synchronisiert. Die alte Diskussion hier hatte ich nicht gesehen. Auf en.wp wurde wohl die Kleinschreibung bevorzugt, weil man da die Vektorsicht auf die Dinge gewählt hat, was fürs Rechnen bequemer ist bzw. keiner zusätzlichen Definitionen oder Erklärungen bedarf.--Kmhkmh (Diskussion) 19:29, 23. Mär. 2018 (CET) Beantworten

Alles klar. An en.wp und dass die Illustrationen dort auch verwendet werden, habe ich nicht gedacht. Ist für mich dann so OK. Gruß, --Digamma (Diskussion) 20:05, 23. Mär. 2018 (CET) Beantworten

@Petrus3743: Die Koordinatenachsen bilden ein Linkssystem. Ist das beabsichtigt? Normalerweise wählt man die grüne Achse als erste und die rote Achse als zweite. Die erste und die zweite Koordinate der beiden Punkte müssten also vertauscht werden --Digamma (Diskussion) 22:33, 11. Nov. 2024 (CET) Beantworten

Servus Digamma,

selbstverständlich hast du recht! Danke für den Hinweis; wird zeitnah geändert. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 23:17, 11. Nov. 2024 (CET) erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 01:56, 12. Nov. 2024 (CET) Beantworten

Servus Digamma,

mir sind (leider erst heute) doch Zweifel gekommen ob mein derzeitiges Bild im Artikel korrekt ist. Siehe Achsenanordnung nach Geogebra, darin ist die x-Achse rot. Mein Vorschlag eines verbesserten Bildes...--Petrus3743 (Diskussion) 10:47, 13. Jan. 2025 (CET) Beantworten

Alle (jetzigen) Bilder (hier und im Artikel) sind Rechtssysteme, sie unterscheiden sich nur im Blickwinkel bzw. Rotation um die z-Achse. Wenn ich in den Einstellungen nicht irgendwas übersehen haben,scheint GeoGebra ohnehin nur Rechtssysteme zur Darstellung zu verwenden bzw. zu erzeugen, um ein Linkssystem zu erhalten müsstest du die Koordinatenachsen selber zeichnen.--Kmhkmh (Diskussion) 12:38, 13. Jan. 2025 (CET) Beantworten

P.S.: Auch das Bild auf das sich Digamma bezog war ein Rechtssystem (man beachte die Beschriftung der Achsen und Pfeilrichtungen), allerdings ist es gegenüber der üblichen bzw. meist verbreiteten (?) Standardarstellung eines Rechtssystems um ca 90 Grad rotiert, was irritieren mag bzw. dazu führen kann, dass man auf den ersten Blick x- und y-Achse vertauscht (und glaubt ein Linkssystem zu sehen). Allerdings scheint sich diese rotierte Darstellung in den letzten Jahren im Schulbereich bzw. manchen Schulbüchern verbreitet zu habeen.--Kmhkmh (Diskussion) 12:47, 13. Jan. 2025 (CET) Beantworten

Danke für deine Hinweise. Ja, GeoGebra beginnt stets mit einem Rechtssystem. Um evtl. Missverständnisse zu vermeiden, werde ich das neue Bild einarbeiten... erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 12:56, 13. Jan. 2025 (CET) Beantworten

Das Bild, auf das ich mich bezogen habe, war dieses https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/archive/5/5c/20241112004953%2101_Abstand_zweier_Punkte_im_Raum.png

Da ist das Koordinatensystem ein Linkssystem. --Digamma (Diskussion) 16:01, 13. Jan. 2025 (CET) Beantworten

Ja, du hast recht! Pardon war mein Fehler. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 20:27, 13. Jan. 2025 (CET) Beantworten

Sorry, ich hatte auf die Artikversion zum Zeitpunkt deines Postings geschaut (siehe [1]), dort ist es ein Rechtssystem. Allerdings hatte ich nicht bedacht mir mögliche Versionen auf Commons anzuschauen. Abgesehen davon, dass bei den Bildern Cache-Probleme (im Artikel werden ältere Versionen der Datei auf Commons angezeigt und nicht die aktuelle), frage ich mich gerade, ob da WP ein prinzipielles Problem mit der Versionierung hat. Soll heißen, die Versionen auf Commons und in Wikipedia werden nicht synchronisiert, sofern sich der Dateiname nicht ändert. Damit entspricht die Darstellung in einer Wikipediaversion nicht unbedingt der tatsächlichen damaligen Darstellung bezogen auf die Grafiken.--Kmhkmh (Diskussion) 21:43, 13. Jan. 2025 (CET) Beantworten