Diskussion:Bessel-Strahl

Die Schreibweise ${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)^{t}}${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)^{t}} ist so ungewöhnlich, dass ich sie normalisiert habe. Falls Wiederherstellung gewünscht: bitte die Schreibweise erklären!--jbn (Diskussion) 17:38, 23. Jan. 2015 (CET) Beantworten

Hi! Wenn's von mir war, ist eine Transposition gemeint (also Spaltenvektoren) ... Ich glaube eigentlich sollte man wohl besser ^T (großes T) ${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)^{T}}${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)^{T}} schreiben ;-) Das ist (glaube ich) üblich. ... Ist aber (glaube ich) nichtw irklich wichtig. Schönes WE, --Jkrieger (Diskussion) 15:37, 24. Jan. 2015 (CET) Beantworten

OK. Hier einen Unterschied zwischen Spalten- und Zeilenvektor machen zu wollen, käme mir auch mehr als übertrieben vor. Gruß zurück!--jbn (Diskussion) 17:35, 24. Jan. 2015 (CET) Beantworten

IMHO müsste der Absatz so lauten (damit er 1.stimmig und 2. ohne Studium der Literatur nachvollziehbar wird):

In der paraxialen Optik werden Lichtstrahlen entlang der z-Achse als elektromagnetische Welle in der Form

${\displaystyle U({\vec {r}},t)=A(x,y,z)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} ,円k_{z},円z}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} ,円\omega ,円t}}${\displaystyle U({\vec {r}},t)=A(x,y,z)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} ,円k_{z},円z}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} ,円\omega ,円t}}

beschrieben, wobei ${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)} der Ort und ${\displaystyle t}${\displaystyle t} die Zeit ist. Die Amplitudenfunktion ${\displaystyle A(x,y,z)}${\displaystyle A(x,y,z)} soll höchstens schwach von ${\displaystyle z}${\displaystyle z} abhängen, so dass die Welle längs der z-Achse näherungsweise periodisch mit der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda _{z}=2\pi /k_{z}}${\displaystyle \lambda _{z}=2\pi /k_{z}} ist. Für die Schwingungs-Kreisfrequenz muss gelten ${\displaystyle \omega \geq k_{z},円c}${\displaystyle \omega \geq k_{z},円c}. Für die Größe ${\displaystyle k=\omega /c}${\displaystyle k=\omega /c}, die bei einer ebenen Welle die zur Frequenz ${\displaystyle \omega }${\displaystyle \omega } gehörige Wellenzahl ist, gilt damit ${\displaystyle k\geq k_{z}}${\displaystyle k\geq k_{z}}. Die Größe ${\displaystyle k_{T}={\sqrt {k^{2}-k_{z}^{2}}}}${\displaystyle k_{T}={\sqrt {k^{2}-k_{z}^{2}}}} wird als transversale Wellenzahl bezeichnet.

Ist die Amplitude von ${\displaystyle z}${\displaystyle z} sogar vollständig unabhängig (Dispersionsfreier Strahl), muss ${\displaystyle A(x,y)}${\displaystyle A(x,y)} der paraxialen Helmholtz-Differentialgleichung genügen:

${\displaystyle \nabla _{T}^{2}A(x,y)+k_{T}^{2}A(x,y)=0}${\displaystyle \nabla _{T}^{2}A(x,y)+k_{T}^{2}A(x,y)=0}

Darin ist ${\displaystyle \nabla _{T}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}${\displaystyle \nabla _{T}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}} der auf die x-y-Ebene eingeschränkte Laplace-Operator.

In Polarkoordinaten ${\displaystyle x=\rho \cos(\phi ),\ \ y=\rho \sin(\phi )}${\displaystyle x=\rho \cos(\phi ),\ \ y=\rho \sin(\phi )} gilt entsprechend ${\displaystyle \nabla _{T}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}${\displaystyle \nabla _{T}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}.

Die Lösung dieser Differentialgleichung unter Annahme von Zylindersymmetrie ergibt nun^[1] :

${\displaystyle A(x,y)=A\cdot J_{m}(k_{T}\rho ),円\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ,円m,円\phi },\ \ m=0,\pm 1,\pm 2,...}${\displaystyle A(x,y)=A\cdot J_{m}(k_{T}\rho ),円\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ,円m,円\phi },\ \ m=0,\pm 1,\pm 2,...}

Dabei ist ${\displaystyle J_{m}(\cdot )}${\displaystyle J_{m}(\cdot )} die Besselfunktion 1. Art der Ordnung m.

Üblicherweise bezeichnet man den rotationssymmetrischen Spezialfall m=0 auch einfach als Bessel-Strahl. Im Grenzfall ${\displaystyle k_{T}\rightarrow 0}${\displaystyle k_{T}\rightarrow 0} ergibt sich ${\displaystyle A(x,y)=const}${\displaystyle A(x,y)=const}, also eine ebene Welle mit ${\displaystyle k_{z}=\omega /c}${\displaystyle k_{z}=\omega /c} und dem Wellenvektor ${\displaystyle {\vec {k}}=(0,0,k_{z})}${\displaystyle {\vec {k}}=(0,0,k_{z})}.

Ich gebe vorsichtshalber zu, dass ich mir das angegebene Lehrbuch noch nicht besorgt habe, mich aber in Springer Handbook of Lasers and Optics von Frank Träger informieren konnte.--jbn (Diskussion) 18:45, 25. Jan. 2015 (CET) Beantworten

1. ↑ Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich: Fundamentals of photonics 2007, ISBN 9780471358329