Diskrete Untergruppe

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In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie, Differentialgeometrie und Theorie der Lie-Gruppen.

Sei G {\displaystyle G} {\displaystyle G} eine topologische Gruppe. Eine Untergruppe Γ {\displaystyle \Gamma } {\displaystyle \Gamma } heißt diskret, wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist, also alle Elemente isoliert sind: in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements γ Γ {\displaystyle \gamma \in \Gamma } {\displaystyle \gamma \in \Gamma } liegen keine weiteren Elemente von Γ {\displaystyle \Gamma } {\displaystyle \Gamma }.

Eine Darstellung ρ : Γ G L ( n , C ) {\displaystyle \rho \colon \Gamma \to GL(n,\mathbb {C} )} {\displaystyle \rho \colon \Gamma \to GL(n,\mathbb {C} )} einer (abstrakten) Gruppe Γ {\displaystyle \Gamma } {\displaystyle \Gamma } heißt diskret, wenn das Bild ρ ( Γ ) {\displaystyle \rho (\Gamma )} {\displaystyle \rho (\Gamma )} eine diskrete Untergruppe von G L ( n , C ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )} {\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )} ist.

  • Z R {\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {R} } {\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {R} } ist eine diskrete Untergruppe
  • Z C {\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {C} } ist eine diskrete Untergruppe
  • Q C {\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {C} } ist keine diskrete Untergruppe
  • G L ( n , Z ) G L ( n , R ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {Z} )\subset GL(n,\mathbb {R} )} {\displaystyle GL(n,\mathbb {Z} )\subset GL(n,\mathbb {R} )} ist eine diskrete Untergruppe

Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen.

Sei G {\displaystyle G} {\displaystyle G} eine lokalkompakte σ {\displaystyle \sigma } {\displaystyle \sigma }-kompakte topologische Gruppe, π : G Γ G {\displaystyle \pi \colon G\rightarrow \Gamma \backslash G} {\displaystyle \pi \colon G\rightarrow \Gamma \backslash G} die Projektion und μ {\displaystyle \mu } {\displaystyle \mu } das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutige) Haarmaß. Für eine diskrete Untergruppe Γ G {\displaystyle \Gamma \subset G} {\displaystyle \Gamma \subset G} erzeugt das Haarmaß μ {\displaystyle \mu } {\displaystyle \mu } ein wohldefiniertes Maß μ Γ {\displaystyle \mu _{\Gamma }} {\displaystyle \mu _{\Gamma }} auf Γ G {\displaystyle \Gamma \backslash G} {\displaystyle \Gamma \backslash G} wie folgt: für alle Mengen A G {\displaystyle A\subset G} {\displaystyle A\subset G} mit A γ A = γ Γ { e } {\displaystyle A\cap \gamma A=\emptyset \forall \gamma \in \Gamma -\left\{e\right\}} {\displaystyle A\cap \gamma A=\emptyset \forall \gamma \in \Gamma -\left\{e\right\}} definieren wir μ Γ ( π ( A ) ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu _{\Gamma }(\pi (A))=\mu (A)} {\displaystyle \mu _{\Gamma }(\pi (A))=\mu (A)}.

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe Γ G {\displaystyle \Gamma \subset G} {\displaystyle \Gamma \subset G}, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt, oder äquivalent: für die der Quotientenraum Γ G {\displaystyle \Gamma \backslash G} {\displaystyle \Gamma \backslash G} endliches Volumen (bzgl. des Haarmaßes) hat.

Das Gitter heißt uniform oder kokompakt, wenn Γ G {\displaystyle \Gamma \backslash G} {\displaystyle \Gamma \backslash G} kompakt ist.

Ein Gitter Γ G {\displaystyle \Gamma \subset G} {\displaystyle \Gamma \subset G} heißt reduzibel, wenn sich G {\displaystyle G} {\displaystyle G} als direktes Produkt G = G 1 × G 2 {\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}} {\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}} zerlegen lässt, so dass es Gitter Γ 1 G 1 , Γ 2 G 2 {\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}} {\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}} gibt, für die Γ 1 × Γ 2 {\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}} {\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}} eine Untergruppe von endlichem Index in Γ {\displaystyle \Gamma } {\displaystyle \Gamma } ist. Insbesondere ist Γ {\displaystyle \Gamma } {\displaystyle \Gamma } dann kein irreduzibles Gitter.

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