Dirichlet-Kern

Der Dirichlet-Kern ist eine von Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der Analysis im Teilgebiet der Fourier-Analysis verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit Leonhard Euler diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als Integralkern verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.

Als Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge

${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}

Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von ${\displaystyle D_{n}(x)}${\displaystyle D_{n}(x)} mit einer Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} der Periode ${\displaystyle 2\pi }${\displaystyle 2\pi } ist die Fourier-Approximation ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-ten Grades für ${\displaystyle f}${\displaystyle f}. Beispielsweise ist

${\displaystyle (D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y),円dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},}${\displaystyle (D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y),円dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},}

wobei

${\displaystyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx},円dx}${\displaystyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx},円dx}

der ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-te Fourierkoeffizient von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die L¹-Norm von ${\displaystyle D_{n}}${\displaystyle D_{n}} für ${\displaystyle n\to \infty }${\displaystyle n\to \infty } logarithmisch gegen ${\displaystyle \infty }${\displaystyle \infty } geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden.^[1] Explizit gilt nämlich:

${\displaystyle \int |D_{n}(t)|,円dt={\frac {4}{\pi ^{2}}}\log n+{\mathcal {O}}(1)}${\displaystyle \int |D_{n}(t)|,円dt={\frac {4}{\pi ^{2}}}\log n+{\mathcal {O}}(1)}

Für die ${\displaystyle {\mathcal {O}}}${\displaystyle {\mathcal {O}}}-Notation siehe Landau-Symbole.

Die periodische Delta-Distribution ist das neutrale Element für die Faltung mit ${\displaystyle 2\pi }${\displaystyle 2\pi }-periodischen Funktionen:

${\displaystyle f*(2\pi \delta )=f,円}${\displaystyle f*(2\pi \delta )=f,円}

für jede Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} mit Periode ${\displaystyle 2\pi }${\displaystyle 2\pi }. Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

${\displaystyle 2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).}${\displaystyle 2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).}

Die trigonometrische Identität

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}}${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}}

kann wie folgt bewiesen werden. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}

Insbesondere gilt

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}

Multipliziert man Zähler und Nenner mit ${\displaystyle r^{-{1 \over 2}}}${\displaystyle r^{-{1 \over 2}}}, erhält man

${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}

Im Fall von ${\displaystyle r=e^{ix}}${\displaystyle r=e^{ix}} erhält man

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}}${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}}

und kürzt schließlich mit ${\displaystyle -2i}${\displaystyle -2i}.

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
• Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S. 620 (vollständige Online-Version (Google Books))

• Dirichlet Kernel bei PlanetMath (engl.)

1. ↑ W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. Abschnitt 5.11, S. 101

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