Diagonalensatz

Der Diagonalensatz ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, mit dem eine charakteristische Bedingung formuliert wird, unter der ein Viereck der euklidischen Ebene ein Parallelogramm ist.

Der Satz besagt folgendes:^[1]

Gegeben sei ein Viereck ${\displaystyle \square {ABCD}}${\displaystyle \square {ABCD}} der euklidischen Ebene.

Dann gilt:

${\displaystyle \square {ABCD}}${\displaystyle \square {ABCD}} ist jedenfalls dann ein Parallelogramm, wenn die beiden Diagonalen ${\displaystyle {\overline {AC}}}${\displaystyle {\overline {AC}}} und ${\displaystyle {\overline {BD}}}${\displaystyle {\overline {BD}}} sich gegenseitig halbieren in der Weise, dass die Mittelpunkte der beiden Diagonalen übereinstimmen.

Die Bedingung besagt, dass es in der euklidischen Ebene einen Punkt ${\displaystyle S}${\displaystyle S} gibt dergestalt, dass die beiden Vektorgleichungen ${\displaystyle {\overrightarrow {AS}}={\overrightarrow {SC}}}${\displaystyle {\overrightarrow {AS}}={\overrightarrow {SC}}} und ${\displaystyle {\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {SD}}}${\displaystyle {\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {SD}}} bestehen.

Daraus folgert man:

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SD}}={\overrightarrow {SC}}+{\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {BS}}+{\overrightarrow {SC}}={\overrightarrow {BC}}}${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SD}}={\overrightarrow {SC}}+{\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {BS}}+{\overrightarrow {SC}}={\overrightarrow {BC}}}.

Genauso ergibt sich:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SB}}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {BS}})}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {SD}})}=-({\overrightarrow {CS}}+{\overrightarrow {SD}})=-{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {DC}}}${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SB}}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {BS}})}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {SD}})}=-({\overrightarrow {CS}}+{\overrightarrow {SD}})=-{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {DC}}}.

Dies beweist den Satz.

Der Diagonalensatz lässt sich auf affine Koordinatenebenen ${\displaystyle {\mathbb {A} }_{2}(K)=K^{2}}${\displaystyle {\mathbb {A} }_{2}(K)=K^{2}} über kommutativen Körpern ${\displaystyle K}${\displaystyle K} einer Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2} ausdehnen und verschärfen; und zwar wie folgt:^[2]

Gegeben seien vier paarweise verschiedene nichtkollineare Punkte ${\displaystyle A,B,C,D\in {\mathbb {A} }_{2}(K)}${\displaystyle A,B,C,D\in {\mathbb {A} }_{2}(K)}.

Dann sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:

(A1) Die vier Punkte bilden ein Parallelogramm; d. h.:

Es sind ${\displaystyle {A\vee B}\parallel {C\vee D}}${\displaystyle {A\vee B}\parallel {C\vee D}} und ${\displaystyle {A\vee D}\parallel {B\vee C}}${\displaystyle {A\vee D}\parallel {B\vee C}}.^[3]

(A2) Die beiden Diagonalen ${\displaystyle {A\vee C}}${\displaystyle {A\vee C}} und ${\displaystyle {B\vee D}}${\displaystyle {B\vee D}} schneiden sich im Mittelpunkt der beiden Diagonalen; d. h.:

Es gilt ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(A+C)={\frac {1}{2}}(B+D)}${\displaystyle {\frac {1}{2}}(A+C)={\frac {1}{2}}(B+D)} .

Für einen kommutativen Körper ${\displaystyle K}${\displaystyle K} der Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (K)=2}${\displaystyle \operatorname {char} (K)=2} ist der Sachverhalt anders. Bilden in diesem Falle vier Punkte ein Parallelogramm, so sind die Diagonalen parallel.^[4]

• Satz von Varignon
• Satz von Commandino

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0. 
• Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim - Wien - Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2. 

1. ↑ DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, S. 652
2. ↑ Koecher-Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 59
3. ↑ Für zwei Punkte ${\displaystyle X,Y\in {\mathbb {A} }_{2}(K)}${\displaystyle X,Y\in {\mathbb {A} }_{2}(K)} ist ${\displaystyle {X\vee Y}}${\displaystyle {X\vee Y}} die Verbindungsgerade.
4. ↑ Koecher-Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 60

• Vierecksgeometrie
• Satz (Ebene Geometrie)