Defekt (Mathematik)

Der Defekt ist innerhalb der Mathematik ein Begriff aus dem Teilgebiet der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu.

Seien ${\displaystyle V}${\displaystyle V} und ${\displaystyle W}${\displaystyle W} zwei endlichdimensionale Vektorräume, die Dimension von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} sei ${\displaystyle n}${\displaystyle n}, die Dimension von ${\displaystyle W}${\displaystyle W} sei ${\displaystyle m}${\displaystyle m}. Sei weiter ${\displaystyle f\colon V\to W}${\displaystyle f\colon V\to W} eine lineare Abbildung. Dann ist der Defekt dieser Abbildung als die Dimension des Kerns der Abbildung definiert, kurz

${\displaystyle \operatorname {def} (f)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (f))}${\displaystyle \operatorname {def} (f)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (f))}.^[1]

Eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}} mit Elementen aus einem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} } kann als lineare Abbildung ${\displaystyle f_{A}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m},x\mapsto Ax}${\displaystyle f_{A}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m},x\mapsto Ax} interpretiert werden. In diesem Sinne wird der Defekt der Matrix ${\displaystyle A}${\displaystyle A} durch

${\displaystyle \operatorname {def} (A):=\operatorname {def} (f_{A})}${\displaystyle \operatorname {def} (A):=\operatorname {def} (f_{A})}

definiert. Der Defekt von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ist also gleich der Dimension des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungssystems ${\displaystyle Ax=0}${\displaystyle Ax=0}.

Ist ${\displaystyle A}${\displaystyle A} die Nullmatrix, so ist ${\displaystyle \operatorname {def} (A)}${\displaystyle \operatorname {def} (A)} gleich der Spaltenzahl von ${\displaystyle A}${\displaystyle A}. Andernfalls ist ${\displaystyle \operatorname {def} (A)}${\displaystyle \operatorname {def} (A)} gleich der maximalen Anzahl von Spalten, die man so aus ${\displaystyle A}${\displaystyle A} streichen kann, dass die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie ${\displaystyle A}${\displaystyle A} hat. Die gestrichenen Spalten sind dann von den in der verkleinerten Matrix verbleibenden Spalten linear abhängig.

Vor allem für die Handrechnung bei kleinen Matrizen eignet sich das gaußsche Eliminationsverfahren mit Zeilen- und Spaltentausch zur Bestimmung des Defektes. Jede Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}} lässt sich mit diesem Verfahren in eine äquivalente Matrix ${\displaystyle {\bar {A}}}${\displaystyle {\bar {A}}} mit ${\displaystyle {\bar {A}}_{i,j}=0}${\displaystyle {\bar {A}}_{i,j}=0} für ${\displaystyle i>j}${\displaystyle i>j} umformen, bei der mit einem ${\displaystyle r\in \{0,\ldots ,m\}}${\displaystyle r\in \{0,\ldots ,m\}} die Diagonalelemente der ersten ${\displaystyle r}${\displaystyle r} Zeilen mit Nichtnullelementen besetzt sind und die übrigen Zeilen Nullzeilen sind (${\displaystyle r}${\displaystyle r} ist der Rang der Matrix ${\displaystyle A}${\displaystyle A}). Der Defekt dieser Matrix ist dann ${\displaystyle \operatorname {def} (A)=n-r}${\displaystyle \operatorname {def} (A)=n-r} (das ist die Aussage des Rangsatzes).

Sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle A}${\displaystyle A} nicht die Nullmatrix ist. Streicht man aus ${\displaystyle A}${\displaystyle A} diejenigen Spalten, die den Spalten ${\displaystyle r+1,\ldots ,n}${\displaystyle r+1,\ldots ,n} in der Matrix ${\displaystyle {\bar {A}}}${\displaystyle {\bar {A}}} entsprechen (hierbei sind während des gaußschen Eliminationsverfahrens erfolgte Spaltenvertauschungen zu berücksichtigen), so hat die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie ${\displaystyle A}${\displaystyle A}. Beim Streichen weiterer Spalten (falls das möglich ist) verkleinert sich das Bild der Matrix.

Bei quadratischen Matrizen (also für ${\displaystyle m=n}${\displaystyle m=n}) ist der Defekt von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} gleich der Anzahl der Nullzeilen in ${\displaystyle {\bar {A}}}${\displaystyle {\bar {A}}}.

Numerisch stabiler, jedoch auch aufwendiger als das gaußsche Eliminationsverfahren ist die Bestimmung des Defektes einer Matrix mittels Singulärwertzerlegung.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\0円&5&4\0円&10&2\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\0円&5&4\0円&0&-6\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=3\Rightarrow \mathrm {def} (A)=0}${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\0円&5&4\0円&10&2\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\0円&5&4\0円&0&-6\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=3\Rightarrow \mathrm {def} (A)=0}

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\0円&6&4\0円&3&2\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\0円&6&4\0円&0&0\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=2\Rightarrow \mathrm {def} (A)=1,}${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\0円&6&4\0円&3&2\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\0円&6&4\0円&0&0\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=2\Rightarrow \mathrm {def} (A)=1,}

Ein Spaltentausch war nicht notwendig, also hat die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\0円&6\0円&3\end{pmatrix}},}${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\0円&6\0円&3\end{pmatrix}},}

die aus ${\displaystyle A}${\displaystyle A} durch Streichen der letzten Spalte entsteht, dasselbe Bild wie ${\displaystyle A}${\displaystyle A}.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\4円&5&6\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\0円&-3&-6\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=2\Rightarrow \operatorname {def} (A)=1}${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\4円&5&6\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\0円&-3&-6\end{pmatrix}}\Rightarrow n=3,r=2\Rightarrow \operatorname {def} (A)=1}

Spaltentausch war wiederum nicht notwendig, also hat diese Matrix das gleiche Bild wie ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\4円&5\end{pmatrix}}.}${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\4円&5\end{pmatrix}}.}

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\3円&4\5円&6\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2\0円&-2\0円&0\end{pmatrix}}\Rightarrow n=2,r=2\Rightarrow \operatorname {def} (A)=0}${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\3円&4\5円&6\end{pmatrix}}\sim {\bar {A}}={\begin{pmatrix}1&2\0円&-2\0円&0\end{pmatrix}}\Rightarrow n=2,r=2\Rightarrow \operatorname {def} (A)=0}

Hauptartikel: Rangsatz

Der Rangsatz zeigt einen Zusammenhang zwischen dem Defekt und dem Rang ${\displaystyle \operatorname {rg} (f)}${\displaystyle \operatorname {rg} (f)} einer linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to W}${\displaystyle f\colon V\to W}.

${\displaystyle \dim V=\operatorname {def} (f)+\operatorname {rg} (f)}${\displaystyle \dim V=\operatorname {def} (f)+\operatorname {rg} (f)}

1. ↑ Michael Artin: Algebra. Birkhäuser, Basel u. a. 1998, ISBN 3-7643-5938-2, S. 123 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

• Lineare Algebra