Chintschin-Integral

Das Chintschin-Integral (engl. Khinchin integral) ist ein Integralbegriff, der die Riemann und Lebesgue-Integrale verallgemeinert. Das Integral ist nach Alexander Chintschin benannt und wird manchmal auch als Denjoy-Chintschin-Integral, verallgemeinertes Denjoy-Integral oder breites Denjoy-Integral bezeichnet.

Die Definition des Chintschin-Integral ähnelt sehr der des Denjoy-Integrals, allerdings benötigt ersteres nur eine approximative Differenzierbarkeit der Stammfunktion.

Verallgemeinerte absolute Stetigkeit:

Eine Funktion ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} } ist verallgemeinert-absolut-stetig (engl. generalized absolutely continuous) auf ${\displaystyle E\subseteq [a,b]}${\displaystyle E\subseteq [a,b]}, falls ${\displaystyle E}${\displaystyle E} sich als abzählbare Vereinigung schreiben lässt ${\displaystyle \textstyle E=\bigcup _{i\in I}E_{i}}${\displaystyle \textstyle E=\bigcup _{i\in I}E_{i}}, wobei ${\displaystyle F}${\displaystyle F} auf ${\displaystyle E}${\displaystyle E} stetig ist und auf ${\displaystyle \{E_{i}\}_{i\in I}}${\displaystyle \{E_{i}\}_{i\in I}} absolut-stetig.^[1]

Punkt einer Dichte:

Sei ${\displaystyle E}${\displaystyle E} eine messbare Menge und ${\displaystyle c}${\displaystyle c} ein reelle Zahl. Die Dichte von ${\displaystyle E}${\displaystyle E} in ${\displaystyle c}${\displaystyle c} ist definiert als der Grenzwert

${\displaystyle d_{c}E=\lim \limits _{h\to 0^{+}}{\frac {\mu (E\cap (c-h,c+h))}{2h}}}${\displaystyle d_{c}E=\lim \limits _{h\to 0^{+}}{\frac {\mu (E\cap (c-h,c+h))}{2h}}}

sofern dieser existiert und ${\displaystyle c}${\displaystyle c} ist genau dann ein Punkt der Dichte (engl. point of density), wenn ${\displaystyle d_{c}E=1}${\displaystyle d_{c}E=1} (${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } bezeichnet das Lebesgue-Maß).

Die Menge aller Punkte der Dichte von ${\displaystyle E}${\displaystyle E} bezeichnet man mit ${\displaystyle E^{d}}${\displaystyle E^{d}}.^[2]

Approximative Stetigkeit:

Sei ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } und ${\displaystyle c\in [a,b]}${\displaystyle c\in [a,b]}. Dann ist ${\displaystyle f}${\displaystyle f} approximativ-stetig in ${\displaystyle c}${\displaystyle c}, falls eine messbare Menge ${\displaystyle E\subseteq [a,b]}${\displaystyle E\subseteq [a,b]} existiert, so dass ${\displaystyle c\in E^{d}}${\displaystyle c\in E^{d}} und ${\displaystyle f}${\displaystyle f} auf ${\displaystyle E}${\displaystyle E} in ${\displaystyle c}${\displaystyle c} stetig ist.^[3]

Approximative Differenzierbarkeit

Sei ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} } und ${\displaystyle c\in [a,b]}${\displaystyle c\in [a,b]}. ${\displaystyle F}${\displaystyle F} ist approximativ-differenzierbar in ${\displaystyle c}${\displaystyle c}, falls eine messbare Menge ${\displaystyle E\subseteq [a,b]}${\displaystyle E\subseteq [a,b]} existiert, so dass ${\displaystyle c\in E^{d}}${\displaystyle c\in E^{d}} und ${\displaystyle F}${\displaystyle F} auf ${\displaystyle E}${\displaystyle E} in ${\displaystyle c}${\displaystyle c} differenzierbar ist. Die approximative Ableitung (engl. approximate derivative) bezeichnen wir mit ${\displaystyle F'_{ap}}${\displaystyle F'_{ap}}.^[4]

Eine Funktion ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } ist Chintschin-integrierbar auf ${\displaystyle [a,b]}${\displaystyle [a,b]}, falls eine verallgemeinert-absolut-stetige Funktion ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} } existiert, so dass ${\displaystyle F'_{ap}=f}${\displaystyle F'_{ap}=f} fast überall auf ${\displaystyle [a,b]}${\displaystyle [a,b]}. Das Chintschin-Integral ${\displaystyle I_{\mathcal {K}}}${\displaystyle I_{\mathcal {K}}} ist dann

${\displaystyle I_{\mathcal {K}}(f)=F(b)-F(a)}${\displaystyle I_{\mathcal {K}}(f)=F(b)-F(a)}.^[5]

1. ↑ Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 90. 
2. ↑ Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 223. 
3. ↑ Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 225. 
4. ↑ Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 229. 
5. ↑ Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 237. 

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