Bloch-Gleichungen

Die Bloch-Gleichungen (nach Felix Bloch, der sie 1946 erstmals veröffentlichte^[1] ) sind ein System von Bewegungsgleichungen für Zweiniveausysteme. Sie ermöglichen eine physikalische Deutung des paramagnetischen Resonanzeffekts in der magnetischen Kernresonanz und in der paramagnetischen Elektronenresonanz.

Die Bloch-Gleichungen gelten für Flüssigkeiten, jedoch nur eingeschränkt für Festkörper. Sie stellen Bewegungsgleichungen für die gesamte Kern- und Elektronenmagnetisierung ${\displaystyle {\vec {M}}}${\displaystyle {\vec {M}}} der Probe unter dem Einfluss äußerer Magnetfelder ${\displaystyle H}${\displaystyle H} dar und lauten in Vektorschreibweise:

${\displaystyle {d{\vec {M}} \over dt}=\gamma {\vec {M}}\times {\vec {H}}_{a}-{\vec {e}}_{x}{M_{x} \over T_{2}}-{\vec {e}}_{y}{M_{y} \over T_{2}}-{\vec {e}}_{z}{M_{z}-M_{0} \over T_{1}}}${\displaystyle {d{\vec {M}} \over dt}=\gamma {\vec {M}}\times {\vec {H}}_{a}-{\vec {e}}_{x}{M_{x} \over T_{2}}-{\vec {e}}_{y}{M_{y} \over T_{2}}-{\vec {e}}_{z}{M_{z}-M_{0} \over T_{1}}}

Darin beschreiben:

• ${\displaystyle \gamma {\vec {M}}\times {\vec {H}}_{a}}${\displaystyle \gamma {\vec {M}}\times {\vec {H}}_{a}} die Bewegung der Magnetisierung im Magnetfeld
  • ${\displaystyle \gamma }${\displaystyle \gamma } das gyromagnetische Verhältnis der Atomkerne bzw. der Elektronen
• die drei letzten Summanden auf der rechten Seite die paramagnetische Relaxation, die durch die Wechselwirkung der Teilchen miteinander und mit ihrer molekularen Umgebung auf einen Gleichgewichtswert zustrebt.
  • ${\displaystyle {\vec {e}}_{x}}${\displaystyle {\vec {e}}_{x}}, ${\displaystyle {\vec {e}}_{y}}${\displaystyle {\vec {e}}_{y}} und ${\displaystyle {\vec {e}}_{z}}${\displaystyle {\vec {e}}_{z}} die Einheitsvektoren in ${\displaystyle x}${\displaystyle x}-, ${\displaystyle y}${\displaystyle y}- und ${\displaystyle z}${\displaystyle z}-Richtung
  • ${\displaystyle T_{2}}${\displaystyle T_{2}} die transversale Relaxationszeit (Spin-Spin-Relaxation)
  • ${\displaystyle T_{1}}${\displaystyle T_{1}} die Spin-Gitter-Relaxationszeit
  • das äußere Magnetfeld besteht aus zwei Anteilen:
    • einem starken konstanten Magnetfeld in ${\displaystyle z}${\displaystyle z}-Richtung
    • einem senkrecht dazu in ${\displaystyle x}${\displaystyle x}-Richtung angelegten hochfrequenten Magnetfeld.

Später wurde gezeigt, dass diese ursprünglich für Spin-1/2-Systeme ausgelegten Bewegungsgleichungen auch jedes andere Zweiniveausystem beschreiben. Dazu werden Teile des allgemeinen „Pseudo-Spin-1/2-Systems" mit Spinkomponenten assoziiert und die Wechselwirkung mit äußeren Feldern wie magnetische Wechselwirkungen behandelt.

In der semiklassischen Strahlungstheorie entsprechen die Spinkomponenten dem Grund- bzw. angeregten Zustand eines Zweiniveauatoms, und die Achsen der Bloch-Kugel geben Auskunft über die quantenmechanische Kohärenz (${\displaystyle x}${\displaystyle x}-, ${\displaystyle y}${\displaystyle y}-Achse) bzw. die Populationsdifferenz (${\displaystyle z}${\displaystyle z}-Achse) des Systems. Die hierfür angepassten Gleichungen werden als optische Blochgleichungen bezeichnet.

• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4

1. ↑ F. Bloch: Nuclear Induction. In: Phys. Rev. 70, 1946, S. 460–474. doi:10.1103/PhysRev.70.460

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