Bethe-Sommerfeld-Vermutung

Die Bethe-Sommerfeld-Vermutung ist eine mathematische Vermutung aus der Spektraltheorie der Schrödinger-Operatoren, welche sagt, dass die Anzahl der Lücken im Spektrum eines Schrödinger-Operators mit periodischem Potential in Dimension ${\displaystyle d\geq 2}${\displaystyle d\geq 2} endlich ist. Für ein Potential, welches gewisse Glattheitsbedingungen erfüllt, wurde die Vermutung 2008 von Leonid Parnowski bewiesen.

Die Bethe-Sommerfeld-Vermutung ist nach den deutschen Physikern Arnold Sommerfeld und Hans Bethe benannt.

Sei ${\displaystyle V\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }${\displaystyle V\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} } ein periodisches, reelles Potential und ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } der Laplace-Operator.

Die Anzahl Lücken im Spektrum des Schrödinger-Operators

${\displaystyle -\Delta +V(\mathbf {x} ),\quad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle -\Delta +V(\mathbf {x} ),\quad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}

ist für ${\displaystyle d\geq 2}${\displaystyle d\geq 2} endlich.^[1]

• 1981 bewies Wiktor Nikolajewitsch Popow und Maxim Skriganov den Fall ${\displaystyle d=2}${\displaystyle d=2}.^[2]
• 1984 bewies Maxim Skriganov den Fall ${\displaystyle d=3}${\displaystyle d=3}.^{[3] [4]}
• 1998 bewies Bernard Helffer und Abderemane Mohamed den Fall ${\displaystyle d=4}${\displaystyle d=4}.^[5]
• 2008 bewies Leonid Parnowski die Vermutung unter Glattheitsbedingungen für das Potential.^[6]

• Leonid Parnovski: Bethe–Sommerfeld conjecture. In: Ann. Henri Poincaré. Band 9, 2008, S. 457–508, arxiv:0801.3096 [abs]. 

1. ↑ Leonid Parnovski: Bethe–Sommerfeld conjecture. In: Ann. Henri Poincaré. Band 9, 2008, S. 457–508. 
2. ↑ V.N. Popov und M. Skriganov: A remark on the spectral structure of the two dimensional Schrödinger operator with a periodic potential. In: Zap. Nauchn. Sem. LOMI AN SSSR. Band 109, 1981, S. 131–133 (russisch). 
3. ↑ M. Skriganov: Geometrical and arithmetical methods in the spectral theory of the multi-dimensional periodic operators, Proc. Steklov Math. Inst. Vol. 171. 
4. ↑ Maxim Mikhailovich Skriganov: The spectrum band structure of the three-dimensional Schrödinger operator with periodic potential. In: Inv. Math. Band 80, 1985, S. 107–121. 
5. ↑ Bernard Helffer, Abderemane Mohamed: Asymptotics of the density of states for the Schrödinger operator with periodic electric potential. In: Duke Math. J. Band 92, 1998, S. 1–60. 
6. ↑ Leonid Parnovski: Bethe–Sommerfeld conjecture. In: Ann. Henri Poincaré. Band 9, 2008, S. 457–508, arxiv:0801.3096 [abs]. 

• Analysis