Benutzer:Saibo/Mittelwerte

Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt) ist der am häufigsten benutzte Mittelwert und wird deshalb auch als Standardmittelwert bezeichnet.

Liegen von einem Merkmal n Beobachtungen vor, errechnet sich das Mittel der Stichprobe als

${\displaystyle {\bar {x}}_{arithm}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}${\displaystyle {\bar {x}}_{arithm}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}

Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise mit den Klassenmitten bestimmen.

Das arithmetische Mittel einer Stichprobe ist nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt. Es ist sehr empfindlich gegenüber Ausreißern (siehe „Median" im Abschnitt "Sonstige Mittelwerte").

Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt der Messwerte; es ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten.

${\displaystyle {\bar {x}}_{geom}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}}${\displaystyle {\bar {x}}_{geom}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}}

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist das geometrische Mittel offensichtlich nur für nichtnegative Zahlen ${\displaystyle x_{i}}${\displaystyle x_{i}} definiert.

Das harmonische Mittel ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, die durch einen (relativen) Bezug auf eine Einheit definiert sind – der Bezug wird durch das Wort „pro" signalisiert: z.B. Geschwindigkeiten (Strecke pro Zeiteinheit) oder Ernteerträge (Gewicht oder Volumen pro Flächeneinheit).

${\displaystyle {\bar {x}}_{harm}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}${\displaystyle {\bar {x}}_{harm}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}

Mit dieser Formel ist das harmonische Mittel zunächst nur für von Null verschiedene Zahlen ${\displaystyle x_{i}}${\displaystyle x_{i}} definiert. Geht aber einer der Werte ${\displaystyle x_{i}}${\displaystyle x_{i}} gegen Null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich Null. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als Null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich Null ist.

Für positive Zahlen ${\displaystyle x_{i}}${\displaystyle x_{i}} definiert man den verallgemeinerten Mittelwert als

${\displaystyle {\bar {x}}(k)={\sqrt[{k}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{k}}}}}${\displaystyle {\bar {x}}(k)={\sqrt[{k}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{k}}}}}

Die Notation ist nicht einheitlich, alternativ sind auch Schreibweisen wie ${\displaystyle M_{k}(x)}${\displaystyle M_{k}(x)}, ${\displaystyle m_{k}(x)}${\displaystyle m_{k}(x)} oder ${\displaystyle \mu _{k}(x)}${\displaystyle \mu _{k}(x)} üblich. Genauso wie die Schreibweise ist anscheinend auch die Aussprache uneinheitlich; möglich sind Varianten wie ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-tes Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad ${\displaystyle k}${\displaystyle k} oder Mittel mit Exponent ${\displaystyle k}${\displaystyle k}.

Mittels geeigneter Wahl des Parameters k können unter anderem die drei obigen Mittelwerte erzeugt werden:

• k -> ${\displaystyle -\infty }${\displaystyle -\infty }: ${\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}${\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})},
• k = 1: Arithmetisches Mittel,
• k -> 0: Geometrisches Mittel,
• k = -1: Harmonisches Mittel,
• k = 2: Quadratisches Mittel oder Effektivwert (in der Elektrotechnik),
• k -> ${\displaystyle \infty }${\displaystyle \infty }: ${\displaystyle \max(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}${\displaystyle \max(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}.

Das harmonische Mittel lässt sich auch indirekt berechnen als ${\displaystyle {\bar {x}}_{harm}={\frac {{\bar {x}}_{geom}^{2}}{{\bar {x}}_{arithm}}}}${\displaystyle {\bar {x}}_{harm}={\frac {{\bar {x}}_{geom}^{2}}{{\bar {x}}_{arithm}}}}.

Für die Spezialwerte -1, 0, 1, 2 gilt:

${\displaystyle {\bar {x}}_{min}\leq {\bar {x}}_{harm}\leq {\bar {x}}_{geom}\leq {\bar {x}}_{arithm}\leq {\bar {x}}_{quadr}\leq {\bar {x}}_{max}}${\displaystyle {\bar {x}}_{min}\leq {\bar {x}}_{harm}\leq {\bar {x}}_{geom}\leq {\bar {x}}_{arithm}\leq {\bar {x}}_{quadr}\leq {\bar {x}}_{max}}.

Das gewichtete Mittel wird verwendet, wenn man Mittelwerte aus Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen miteinander kombinieren will:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}

Für die Unsicherheit des Mittelwerts gilt:

${\displaystyle \Delta {\bar {x}}={\frac {1}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}}${\displaystyle \Delta {\bar {x}}={\frac {1}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}}

Die Gewichte ${\displaystyle w_{i}}${\displaystyle w_{i}} sind die Umfänge der Teilstichproben oder, in anderen Anwendungen, ein Maß für die Zuverlässigkeit des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst. Das Gewicht kann aus der Standardabweichung des Wertes berechnet werden..

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}

Sei f eine auf einem reellen Intervall ${\displaystyle I}${\displaystyle I} streng monotone stetige (und daher invertierbare) Funktion und

${\displaystyle w_{i},0\leq w_{i}\leq 1,\sum _{i}w_{i}=1}${\displaystyle w_{i},0\leq w_{i}\leq 1,\sum _{i}w_{i}=1}

Gewichtsfaktoren. Dann ist für ${\displaystyle x_{i}\in I}${\displaystyle x_{i}\in I} das mit den Gewichten ${\displaystyle w_{i}}${\displaystyle w_{i}} gewichtete f-Mittel definiert als

${\displaystyle {\bar {x}}_{f}=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})\right)}${\displaystyle {\bar {x}}_{f}=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})\right)}.

Offensichtlich gilt

${\displaystyle \min(x_{i})\leq {\bar {x}}_{f}\leq \max(x_{i}).}${\displaystyle \min(x_{i})\leq {\bar {x}}_{f}\leq \max(x_{i}).}

Für ${\displaystyle f(x)=x}${\displaystyle f(x)=x} erhält man das arithmetische, für ${\displaystyle f(x)=\log(x)}${\displaystyle f(x)=\log(x)} das geometrische, und für ${\displaystyle f(x)=x^{k}}${\displaystyle f(x)=x^{k}} das verallgemeinerte Mittel mit Exponent ${\displaystyle k}${\displaystyle k}.

Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch "Ausreißer", d.h. einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte kontaminiert sind, so sortiert man die Beobachtungswerte nach aufsteigender Größe, schneidet eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrigbleibenden Werten den Mittelwert. Ein 10% winsorisiertes Mittel erhält man, wenn man 5% der Gesamtzahl aller Werte am unteren und 5% am oberen Ende auslässt.

Für einen gegebenen reellen Vektor

${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}

mit

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1}${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1}

wird der Ausdruck

${\displaystyle [a]={1 \over n!}\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{a_{n}},}${\displaystyle [a]={1 \over n!}\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{a_{n}},}

wobei über alle Permutationen σ von { 1, ..., n } summiert wird, als "a-Mittel" [a] der nichtnegativen reellen Zahlen x₁, ..., x_n bezeichnet.

Für den Fall a = (1, 0, ..., 0), ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen x₁, ..., x_n; für den Fall a = (1/n, ..., 1/n) ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Für die a-Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung

Sonstige Mittelwerte, die in einem eigenen Artikel beschrieben werden sind der Modus (eigentlich kein Mittelwert, sondern der häufigste Wert) und der Median, der robust gegenüber extremen Abweichungen, sogenannten Ausreißern, ist. Der Median ist etwas komplizierter zu berechnen. Daher wird in vielen Statistiken auf das arithmetische Mittel zurückgegriffen, obwohl die Angaben kaum den gewollten Aussagewert haben (Beispiel: Einkommensverteilung in Deutschland).

• Median, Modus, Stochastik, Varianz, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Stage migration, Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, Effektivwert

• Berechnung: 'geometrisches Mittel' zweier Werte und Vergleich dazu: 'arithmetisches Mittel'

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