Benutzer:Googolplexian1221/Modularitätssatz

Der Modularitätssatz (früher Taniyama-Shimura-Vermutung) ist ein mathematischer Satz über elliptische Kurven und Modulformen. Er wurde 1958 von Yutaka Taniyama und Gorō Shimura vermutet und im Jahr 2001 von Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor bewiesen, nachdem bereits Andrew Wiles im Jahr 1995 den wichtigsten (und schwierigsten) Fall der semistabilen Kurven gezeigt hatte. Der Satz und sein Beweis gelten als einer der großen mathematischen Fortschritte des 20. Jahrhunderts. Konsequenzen des Modularitätssatzes sind unter anderem der große Satz von Fermat und die Wohldefiniertheit der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, da über den Modularitätssatz eine analytische Fortsetzung der zur elliptischen Kurve gehörigen L-Funktion garantiert wird. Heutzutage wird der Modularitätssatz als ein Spezialfall der sehr viel allgemeineren und wichtigeren Serre-Vermutung über Galois-Darstellungen gesehen. Diese wurde, aufbauend auf der Arbeit von Andrew Wiles, 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen.

Der Modularitätssatz ist eine Aussage über algebraische Kurven, also „Nullstellengebilde" einer Polynomgleichung. Eine besonders wichtige Stellung nehmen dabei sog. elliptische Kurven ein.

Anschaulich ist ein Punkt ein Objekt „ohne jede Ausdehnung". In der Euklidischen Ebene kann ein Punkt ${\displaystyle P}${\displaystyle P} stets durch Angabe kartesischer Koordinaten angegeben werden, man schreibt dann ${\displaystyle P=(x,y)}${\displaystyle P=(x,y)}. Bei ${\displaystyle x}${\displaystyle x} und ${\displaystyle y}${\displaystyle y} handelt es sich um reelle Zahlen, und die Ebene wird dadurch definiert, dass man jede mögliche Kombination von Längen ${\displaystyle x}${\displaystyle x} und ${\displaystyle y}${\displaystyle y} zweier Zahlenstrahle betrachtet. Diese Zahlenstrahle lassen sich als zwei Achsen visualisieren, die die Ebene „aufspannen" (siehe Bild).

Ein bedeutender Gegenstand der ebenen Geometrie ist das Studium von Figuren in der Ebene. Dazu zählen zum Beispiel Geraden, Kreise, Hyperbeln Parabeln oder auch Ellipsen. All diese Figuren haben gemeinsam, dass sie aus einer Teilmenge aller Punkte der Ebene entstehen. Zum Beispiel ist jeder Punkt auf einem Kreis Teil der Ebene, aber nicht jeder Punkt der Ebene ist Teil des Kreises. Mehr noch: Gerade die explizite Auswahl bestimmter Punkte und deren „Zusammenwirken" ergibt den Kreis. Entscheidend ist daher die Frage, nach welchen Kriterien man alle Punkte auf einer Figur bestimmen kann. Gleichbedeutend kann gefragt werden, in welcher Gemeinsamkeit sich die Punkte einer Figur von all den anderen Punkten in der Ebene unterscheiden.

Theoretisch lassen sich beliebig willkürliche „Figuren" durch Auswahl völlig zufälliger Punkte formen - die Möglichkeiten sind unbegrenzt. Dennoch wird, angefangen in der Schulmathematik, gleich zu Beginn der Fokus auf ganz bestimmte Figuren gelegt, angefangen mit der Geraden. Ihre geometrische Natürlichkeit korrespondiert zur Algebra, denn die Gemeinsamkeit der Punkte ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} auf einer Geraden kann mit den vier Grundrechenarten erklärt werden. Verläuft die Gerade nicht parallel zur „y-Achse", so existieren stets zwei Zahlen ${\displaystyle m}${\displaystyle m} und ${\displaystyle c}${\displaystyle c}, so dass ihre Punkte sämtlich von der Gestalt ${\displaystyle (x,mx+c)}${\displaystyle (x,mx+c)} sind. Da die zweite Koordinate traditionell als ${\displaystyle y}${\displaystyle y} geschrieben wird, ist die (äquivalente) Beschreibung ${\displaystyle y=mx+c}${\displaystyle y=mx+c} als Gleichung sehr gebräuchlich. Während in der Ebene bei der Wahl eines Punktes völlige Offenheit herrschte, ist die Geradenvorschrift mathematisch diskriminierend, denn durch die (freie) Auswahl der ersten Koordinate ${\displaystyle x}${\displaystyle x} bleibt für die zweite Koordinate lediglich der Wert ${\displaystyle mx+c}${\displaystyle mx+c} übrig, alle anderen „Kandidaten" scheiden aus und sind nicht Teil der Geraden.

Eine algebraische Kurve ist nun allgemein eine Familie von Punkten in der Ebene, deren Komponenten ${\displaystyle x}${\displaystyle x} und ${\displaystyle y}${\displaystyle y} alle eine gemeinsame algebraische Relation erfüllen. Das bedeutet, dass es eine Gleichung gibt, in der ausschließlich endlich oft addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert wird, die von allen Punkten gleichzeitig erfüllt wird. Wie oben gesehen erfüllen die Punkte ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} auf (den meisten) Geraden eine algebraische Relation ${\displaystyle y=mx+c}${\displaystyle y=mx+c} mit festen Zahlen ${\displaystyle m}${\displaystyle m} und ${\displaystyle c}${\displaystyle c}. Aber auch algebraische Gleichungen höheren Grades sind möglich. Die Normalparabel besteht aus allen Punkten der Form ${\displaystyle (x,y)=(x,x^{2})}${\displaystyle (x,y)=(x,x^{2})}, und der Kreis mit Radius 1 und dem Ursprung ${\displaystyle (0,0)}${\displaystyle (0,0)} als Mittelpunkt besteht genau aus allen Punkten ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)}, sodass

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

gilt. Dies kann mit dem Satz des Pythagoras gezeigt werden (siehe Bild). Die Formulierung, dass eine Kurve über den rationalen Zahlen definiert sei, bedeutet ferner, dass alle involvierten Polynome zur Definition der Kurve ausschließlich rationale Zahlen verwenden.

• Es gibt unzählige Möglichkeiten, Punkte (hier in schwarz) aus der Ebene zu wählen. Was könnte eine „Gemeinsamtkeit" all dieser Punkt sein?
  Es gibt unzählige Möglichkeiten, Punkte (hier in schwarz) aus der Ebene zu wählen. Was könnte eine „Gemeinsamtkeit" all dieser Punkt sein?
• Bei einer algebraischen Kurve haben alle ausgewählten Punkte '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"' eine rechnerische Gemeinsamkeit. Hier '"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"'.
  Bei einer algebraischen Kurve haben alle ausgewählten Punkte ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} eine rechnerische Gemeinsamkeit. Hier ${\displaystyle y=2x}${\displaystyle y=2x}.
• Jeder Punkt '"`UNIQ--postMath-0000001B-QINU`"' auf dem Einheitskreis induziert ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen '"`UNIQ--postMath-0000001C-QINU`"' und Hypotenusenlänge '"`UNIQ--postMath-0000001D-QINU`"'. Nach dem Satz des Pythagoras gilt demnach stets '"`UNIQ--postMath-0000001E-QINU`"'.
  Jeder Punkt ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} auf dem Einheitskreis induziert ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen ${\displaystyle |x|,|y|}${\displaystyle |x|,|y|} und Hypotenusenlänge ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1}. Nach dem Satz des Pythagoras gilt demnach stets ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}.

Bei einer elliptischen Kurve ${\displaystyle E}${\displaystyle E} über den rationalen Zahlen handelt es sich um eine Kurve, deren Punkte ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} eine Gleichung der Form

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}

erfüllen. Bei ${\displaystyle a,b}${\displaystyle a,b} handelt es sich um feste, also kurvenspezifische, rationale Zahlen. Dabei liegt das Augenmerk auf der dritten Potenz ${\displaystyle x^{3}}${\displaystyle x^{3}}, die eine deutliche Verkomplizierung der Gleichung gegenüber quadratischer Kreisgleichungen mit sich bringt. Aus diesem Grund zählen elliptische Kurven nicht zu den linearen oder quadratischen Kurven, sondern sind kubische Kurven. Explizites Beispiel einer elliptischen Kurve über den rationalen Zahlen ist ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-3x+1}${\displaystyle y^{2}=x^{3}-3x+1} (siehe Bild).

Algebraische Kurven können in ihrem Ausmaß, etwa bezüglich des Grades der involvierten Polynome, beliebig kompliziert sein. Etwa definiert auch

${\displaystyle 13y^{23}x^{37}-31x^{18}+115xy^{99}=91}${\displaystyle 13y^{23}x^{37}-31x^{18}+115xy^{99}=91}

eine algebraische Kurve. In manchen Fällen kann es helfen, mit einer Parametrisierung zu arbeiten. Damit ist eine Abbildung gemeint, die einem „isolierten" Parameter ${\displaystyle t}${\displaystyle t} stets einen Punkt ${\displaystyle (x(t),y(t))}${\displaystyle (x(t),y(t))} auf der Kurve zuordnet, und dabei „alle Punkte" der Kurve „trifft". Ohne Mühe ist erkennbar, dass die Abbildungen ${\displaystyle t\mapsto (t,mt+c)}${\displaystyle t\mapsto (t,mt+c)} bzw. ${\displaystyle t\mapsto (t,t^{2})}${\displaystyle t\mapsto (t,t^{2})} Geraden bzw. die Normalparabel für reelle ${\displaystyle t}${\displaystyle t} parametrisieren. Mit etwas mehr Aufwand kann gezeigt werden, dass

${\displaystyle t\mapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}${\displaystyle t\mapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}

den Einheitskreis parametrisiert, denn es gilt ${\displaystyle (1-t^{2})^{2}+(2t)^{2}=1+2t^{2}+t^{4}=(1+t^{2})^{2}}${\displaystyle (1-t^{2})^{2}+(2t)^{2}=1+2t^{2}+t^{4}=(1+t^{2})^{2}}, also mit den Rechenregeln für Brüche

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)^{2}={\frac {(1-t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}+{\frac {(2t)^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}={\frac {(1+t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}=1.}${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)^{2}={\frac {(1-t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}+{\frac {(2t)^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}={\frac {(1+t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}=1.}

All diese Parametrisierungen sind algebraisch, da für ihre Realisierung nur die vier Grundrechenarten gebraucht werden. Für den Einheitskreis existieren jedoch auch andere - etwa nicht-algebraische - Formen der Parametrisierung. Die Wichtigste unter ihnen ist die über Sinus und Kosinus. Dabei übernimmt ${\displaystyle t}${\displaystyle t} die Rolle eines Winkels, und daher ist die Benennung ${\displaystyle t:=\theta }${\displaystyle t:=\theta } hier oft üblicher. Zu jedem Punkt auf dem Eiheitskreis kann auf naheliegende Weise ein Winkel ${\displaystyle \theta }${\displaystyle \theta } gefunden werden, nämlich über die Bogenlänge des Kreissegments, womit sich der Winkel einfach über den entsprechenden Anteil ${\displaystyle 2\pi }${\displaystyle 2\pi } des vollen Kreisumfangs definiert. Etwa ist ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} ein Kreisviertel, und korrespondiert zum Punkt ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)}. Ganz allgemein drückt sich diese Korrespondenz über

${\displaystyle \theta \mapsto (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}${\displaystyle \theta \mapsto (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}

aus; zur „Bogenlänge" ${\displaystyle \theta }${\displaystyle \theta } hat der korrespondierende Punkt also gerade die Koordinaten ${\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}${\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))}. Lässt man auch zu, dass der Kreis „mehrfach umrundet" werden kann, werden im ${\displaystyle 2\pi }${\displaystyle 2\pi }-periodischen Muster immer die selben Punkte erzeugt. Damit sind Sinus und Kosinus ${\displaystyle 2\pi }${\displaystyle 2\pi }-periodische Winkelfunktionen.

Die Frage, ob zu noch komplizierteren Kurven Parametrisirungen existieren, und falls ja, wie diese aussehen könnten, liegt nahe.

Der Modularitätssatz schlägt eine Brücke zwischen elliptischen Kurven und einer Familie von mathematischen Funktionen, nämlich Modulformen, die für bestimmte komplexe Zahlen definiert sind. Eine Modulform ${\displaystyle f}${\displaystyle f} ordnet einer komplexen Zahl ${\displaystyle z=x+iy}${\displaystyle z=x+iy} mit positivem Imaginärteil ${\displaystyle y}${\displaystyle y}, kurz ${\displaystyle y>0}${\displaystyle y>0}, wieder eine komplexe Zahl ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)} zu. Die Kollektion aller komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil formen die obere Halbebene der komplexen Zahlenebene, den Definitionsbereich der Modulform. Modulformen unterscheiden sich von anderen komplexwertigen Funktionen durch sehr restriktive Eigenschaften:

• Sie sind in jedem Punkt komplex differenzierbar. Es gibt zu einer Modulform ${\displaystyle f}${\displaystyle f} also eine Ableitungsfunktion ${\displaystyle f'}${\displaystyle f'}. Damit sind Modulformen auf ihrem Definitionsbereich, der oberen Halbebene, holomorphe Funktionen.
• Sie erfüllen eine äußerst starke Form der „Symmetrie": Einerseits sind sie 1-Periodisch, es gilt also stets ${\displaystyle f(z+1)=f(z)}${\displaystyle f(z+1)=f(z)}. Andererseits gibt es eine ganze Zahl ${\displaystyle k}${\displaystyle k}, so dass die Identität ${\displaystyle f(-{\tfrac {1}{z}})=z^{k}f(z)}${\displaystyle f(-{\tfrac {1}{z}})=z^{k}f(z)} erfüllt ist. Also liegt eine Ko-Existenz zweier verschiedener Funktionalgleichungen vor. Für die zweite Identität ist zu beachten, dass mit ${\displaystyle z=x+iy}${\displaystyle z=x+iy} und ${\displaystyle y>0}${\displaystyle y>0} auch die komplexe Zahl

${\displaystyle -{\frac {1}{z}}=-{\frac {1}{x+iy}}=-{\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+i\underbrace {\frac {y}{x^{2}+y^{2}}} _{>0}}${\displaystyle -{\frac {1}{z}}=-{\frac {1}{x+iy}}=-{\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+i\underbrace {\frac {y}{x^{2}+y^{2}}} _{>0}}

einen positiven Imaginärteil hat, also in ${\displaystyle f}${\displaystyle f} eingesetzt werden darf. Man nennt die Zahl ${\displaystyle k}${\displaystyle k} auch das Gewicht von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}.

• Sie sind beschränkt, wenn man ${\displaystyle y}${\displaystyle y} gegen ${\displaystyle +\infty }${\displaystyle +\infty } laufen lässt. Genau genommen existiert der Grenzwert ${\displaystyle \lim _{\mathrm {Im} (z)\to \infty }f(z)}${\displaystyle \lim _{\mathrm {Im} (z)\to \infty }f(z)}.

Zusammengenommen sind diese Bedingungen derart schwierig zu erfüllen, dass zum Beispiel folgendes gilt:

• Es existieren keine nicht-trivialen Modulformen für: 1. die Gewichte ${\displaystyle k\leq 3}${\displaystyle k\leq 3} und 2. für ungerade Gewichte. Mit trivial ist gemeint, dass stets die konstante Nullfunktion ${\displaystyle f(z)=0}${\displaystyle f(z)=0} eine Modulform ist, da sie zwar alle Eignschaften mit Leichtigkeit erfüllt, aber als Funktion nicht interessant ist. Beim Gewicht ${\displaystyle k=0}${\displaystyle k=0} kommen als triviale Beispiele noch sämtliche anderen konstanten Funktionen hinzu, die offenbar 1-periodisch sind, aber auch ${\displaystyle f(-{\tfrac {1}{z}})=f(z)}${\displaystyle f(-{\tfrac {1}{z}})=f(z)} erfüllen, da sie ihren Ausgabewert niemals ändern.
• Wird das Gewicht fixiert, bilden alle Modulformen von diesem bestimmten Gewicht zusammen einen sog. Vektorraum über den komplexen Zahlen. Damit ist gemeint, dass Summen und skalare Vielfache von Modulformen wieder Modulformen sind. Die interessante Aussage ist, dass die Vektorräume von Modulformen ab geraden Gewichten ${\displaystyle k\geq 4}${\displaystyle k\geq 4} stets endlich-dimensional sind. Es existieren also stets endlich viele fest gewählte Modulformen ${\displaystyle f_{1},...,f_{n}}${\displaystyle f_{1},...,f_{n}} des Gewichts ${\displaystyle k}${\displaystyle k}, so dass sich jede beliebige Modulform ${\displaystyle f}${\displaystyle f} des selben Gewichts als Kombination ${\displaystyle f=\alpha _{1}f_{1}+\alpha _{2}f_{2}+\cdots +\alpha _{n}f_{n}}${\displaystyle f=\alpha _{1}f_{1}+\alpha _{2}f_{2}+\cdots +\alpha _{n}f_{n}} mit irgendwelchen Skalaren ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}} schreiben lässt. Aus mathematischer Sicht sind Modulformen unter den Funktionen auf der oberen Halbenene damit „extrem selten".

Es sei

${\displaystyle \Gamma _{0}(N):=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{Sl}}_{2}(\mathbb {Z} )\ |\ c\equiv 0\mod N\right\}}${\displaystyle \Gamma _{0}(N):=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{Sl}}_{2}(\mathbb {Z} )\ |\ c\equiv 0\mod N\right\}}

eine Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe. Dabei heißt ${\displaystyle N}${\displaystyle N} auch Stufe der zugehörigen Modulform. Diese Gruppe operiert auf der oberen Halbebene ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}${\displaystyle {\mathfrak {H}}} durch Möbiustransformation. Der Quotientenraum ${\displaystyle Y_{0}(N):=\Gamma _{0}(N)\backslash {\mathfrak {H}}}${\displaystyle Y_{0}(N):=\Gamma _{0}(N)\backslash {\mathfrak {H}}} ist eine nicht-kompakte Riemannsche Fläche. Durch Hinzunahme gewisser Punkte aus ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{i\infty \}}${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{i\infty \}} (den sogenannten Spitzen), kann man ${\displaystyle Y_{0}(N)}${\displaystyle Y_{0}(N)} kompaktifizieren und erhält so eine kompakte Riemannsche Fläche ${\displaystyle X_{0}(N)}${\displaystyle X_{0}(N)} (Modulkurve). Die komplex-analytische Variante des Modularitätssatzes besagt, dass für jede elliptische Kurve ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda } über ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} } (${\displaystyle \Lambda }${\displaystyle \Lambda } ein Gitter), mit zugehörigem Wert der j-Funktion ${\displaystyle j(E)\in \mathbb {Q} }${\displaystyle j(E)\in \mathbb {Q} }, ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }${\displaystyle N\in \mathbb {N} } und eine nicht-konstante holomorphe Abbildung Riemannscher Flächen

${\displaystyle X_{0}(N)\rightarrow E}${\displaystyle X_{0}(N)\rightarrow E}

existiert. Die Zahl ${\displaystyle N}${\displaystyle N} heißt der (modulare) Führer von ${\displaystyle E}${\displaystyle E}. Die Modulkurve parametrisiert die elliptische Kurve.

Eine elliptische Kurve, für die die hier gegebene Aussage wahr ist, heißt modular.

Die komplex-analytische Version des Satzes ist sehr schwach und a priori noch keine zahlentheoretische Aussage. Der eigentliche Modularitätssatz macht Aussagen für über den rationalen Zahlen definierte elliptische Kurven und besagt, dass alle elliptischen Kurven über ${\displaystyle \mathbb {Q} }${\displaystyle \mathbb {Q} } modular sind.

Folgende Version der Vermutung macht eine Aussage über elliptische Kurven über ${\displaystyle \mathbb {Q} }${\displaystyle \mathbb {Q} }.

Sei ${\displaystyle E}${\displaystyle E} eine elliptische Kurve über ${\displaystyle \mathbb {Q} }${\displaystyle \mathbb {Q} } mit L-Reihe ${\displaystyle L(E,s)}${\displaystyle L(E,s)} (für deren Definition siehe Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer). Dann gibt es ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }${\displaystyle N\in \mathbb {N} } (den Führer) und eine Modulform ${\displaystyle f\in S_{2}(N)}${\displaystyle f\in S_{2}(N)} mit ${\displaystyle L_{f}(s)=L(E,s)}${\displaystyle L_{f}(s)=L(E,s)}. Hierbei ist ${\displaystyle L_{f}(s)}${\displaystyle L_{f}(s)} die Hecke-L-Reihe von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} (für die Definition siehe Zusammenhang von Modulformen und Dirichletreihen).

Aus der Theorie der Modulformen folgert man daraus leicht, dass ${\displaystyle L(E,s)}${\displaystyle L(E,s)} eine analytische Fortsetzung und eine Funktionalgleichung besitzt. Dies spielt für die Wohldefiniertheit der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer eine große Rolle.

Aus der Theorie der Riemannschen Flächen folgt, dass die Modulkurve ${\displaystyle X_{0}(N)}${\displaystyle X_{0}(N)} als ein Schema über ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} } definiert werden kann. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle X_{0}(N)}${\displaystyle X_{0}(N)} sogar ein Schema über ${\displaystyle \mathbb {Q} }${\displaystyle \mathbb {Q} } ist. Der Modularitätssatz postuliert nun für jede elliptische Kurve ${\displaystyle E}${\displaystyle E} einen surjektiven Morphismus

${\displaystyle X_{0}(N)\rightarrow E}${\displaystyle X_{0}(N)\rightarrow E}

von algebraischen Kurven über ${\displaystyle \mathbb {Q} }${\displaystyle \mathbb {Q} } für ein N.

Sei ${\displaystyle f\in S_{k}(N)}${\displaystyle f\in S_{k}(N)} eine Modulform. Nach tiefen Sätzen von Pierre Deligne, Jean-Pierre Serre und Robert Langlands, kann man ${\displaystyle f}${\displaystyle f} eine zweidimensionale Galoisdarstellung

${\displaystyle \rho _{f,p}:{\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )\rightarrow {\text{GL}}_{2}(\mathbb {Q} _{p})}${\displaystyle \rho _{f,p}:{\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )\rightarrow {\text{GL}}_{2}(\mathbb {Q} _{p})}

zuordnen (${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} ist der algebraische Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {Q} }${\displaystyle \mathbb {Q} } in ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} }). Hier steht links die absolute Galoisgruppe und rechts die allgemeine lineare Gruppe des zweidimensionalen Vektorraums über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} der p-adischen Zahlen. Ebenso kann man jeder elliptischen Kurve E über ${\displaystyle \mathbb {Q} }${\displaystyle \mathbb {Q} } eine solche Galoisdarstellung ${\displaystyle \rho _{E,p}}${\displaystyle \rho _{E,p}} zuordnen.

Der Modularitätssatz besagt in diesem Fall, dass es für jede elliptische Kurve E über ${\displaystyle \mathbb {Q} }${\displaystyle \mathbb {Q} } eine Primzahl p gibt und eine Modulform ${\displaystyle f\in S_{2}(N)}${\displaystyle f\in S_{2}(N)} für ein N, so dass ${\displaystyle \rho _{E,p}}${\displaystyle \rho _{E,p}} und ${\displaystyle \rho _{f,p}}${\displaystyle \rho _{f,p}} äquivalent sind.

Dies ist die Version, die von Wiles bewiesen wurde.

Fermats letzter Satz sagt aus, dass es keine positiven ganzzahligen Lösungen der Gleichung ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} für n größer als 2 gibt. Seit der französische Mathematiker Pierre de Fermat 1637 behauptet hatte, einen Beweis für diese Aussage gefunden zu haben – ohne diesen jedoch anzugeben oder in seinen schriftlichen Aufzeichnungen zu hinterlassen – haben Mathematiker einen Beweis für diese Aussage gesucht. Die Suche nach einem Beweis für Fermats letzten Satz hat die Zahlentheorie für mehr als zwei Jahrhunderte geprägt und wichtige Bausteine, wie die Idealtheorie von Ernst Eduard Kummer, wurden entwickelt, um den Satz zu beweisen.

Der Saarbrücker Mathematiker Gerhard Frey stellte 1986 eine Vermutung über einen Zusammenhang zwischen Fermats letztem Satz und der Taniyama-Shimura-Vermutung auf: Nimmt man an, dass Fermats letzter Satz falsch ist und es tatsächlich Lösungen der Gleichung ${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}} gibt, so ist die elliptische Kurve ${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})} wahrscheinlich nicht modular. Jean-Pierre Serre bewies das bis auf einen Rest, die Epsilon-Vermutung, die Ken Ribet 1990 bewies und damit zeigte, dass diese sogenannte Frey-Kurve (die zuvor schon Yves Hellegouarch betrachtet hatte) tatsächlich nicht modular ist (er benutzte die sogenannte „Level-lowering"-Methode, wobei „Level" die Stufe der betrachteten Modulformen bezeichnet).

Mit anderen Worten: Wenn Fermats letzter Satz falsch ist, so auch die Taniyama-Shimura-Vermutung; ist die Taniyama-Shimura-Vermutung hingegen richtig, so muss auch Fermats letzter Satz richtig sein. Dabei genügte es zu zeigen, dass die Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven über den rationalen Zahlen gilt. Bei einer semistabilen elliptische Kurve ${\displaystyle E}${\displaystyle E} über den rationalen Zahlen gibt es nur schlechte Reduktionen vom semistabilen Typ. Dabei bedeutet schlechte Reduktion modulo p, dass die über dem endlichen Körper der ganzen Zahlen mod p definierte Kurve ${\displaystyle E_{p}}${\displaystyle E_{p}} (die Reduktion von ${\displaystyle E}${\displaystyle E} mod p) singulär wird. Ist die Singularität ein Doppelpunkt und keine Spitze, spricht man vom semistabilen Typ. In diesem Fall fallen in der Gleichung für die elliptische Kurve ${\displaystyle y^{2}=f(x)}${\displaystyle y^{2}=f(x)} mit ${\displaystyle f(x)}${\displaystyle f(x)} einem kubischen Polynom mit drei verschiedenen Wurzeln über ${\displaystyle \mathbb {Q} }${\displaystyle \mathbb {Q} } bei Reduktion mod p höchstens zwei Nullstellen zusammen. Gute Reduktion heißt, dass alle drei Nullstellen bei Reduktion mod p verschieden sind. Die elliptische Kurve ist semistabil, wenn sie nur gute Reduktionen hat oder die schlechten Reduktionen semistabil sind.

Da die Frey-Kurve semistabil ist, folgt der Beweis von Fermats letztem Satz aus der von Wiles bewiesenen Version des Modularitätssatzes.

Das Taniyama-Shimura-Theorem ist ein Beispiel für die Vereinheitlichung der Mathematik; darunter wird die Etablierung von Zusammenhängen zwischen vormals als völlig verschieden betrachteten Gebieten der Mathematik verstanden, die Mathematiker in die Lage versetzt, Probleme, die in einem Gebiet nicht lösbar sind, in ein äquivalentes Problem eines anderen Gebietes zu übersetzen und dort ggf. zu lösen. In diesem Fall erfolgt die Vereinheitlichung durch die Theorie der Modulformen, die auch schon im Langlands-Programm ihre herausragende Bedeutung für die Zahlentheorie deutlich machten.

Folgende drei Veröffentlichungen enthalten den Beweis des Modularitätsatzes:

• Andrew Wiles: Modular Elliptic Curves and Fermat’s last theorem. Annals of Mathematics, 141 (1995), 443–551. doi:10.2307/2118559, pdf
• Richard Taylor, Andrew Wiles: Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics 141 (1995), 553–572.
• Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: On the modularity of elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises (PDF; 1,1 MB), Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), pp. 843–939. (Enthält den Beweis des Modularitätssatzes.)

In folgender Veröffentlichung wird Fermats letzter Satz auf den Modularitätssatz zurückgeführt:

• Ribet, K. A. From the Taniyama-Shimura Conjecture to Fermat’s Last Theorem . Annales de la faculté des sciences de Toulouse, 5e série, 11,1 (1990), p. 116–139

• Gary Cornell, Joseph H. Silverman, Glenn Stevens (Hrsg.): Modular forms and Fermat’s last theorem, Springer, 1997
• Fred Diamond, Jerry Shurman: A first course in modular forms (= Graduate Texts in Mathematics 228). Corrected 3rd printing. Springer, New York NY 2007, ISBN 978-0-387-23229-4. (Kapitel 9: Galois representations)
• Gerd Faltings: The proof of Fermat’s last theorem by R. Taylor and A. Wiles, Notices American Mathematical Society, 1995, Nr. 7, PDF

Populärwissenschaftlich:

• Simon Singh: Fermats letzter Satz. Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels (= dtv 33052). 14. Auflage. Deutscher Taschenbuch-Verlag, München 2010, ISBN 978-3-423-33052-7.
• Simon Singh, Kenneth Ribet: Die Lösung des Fermatschen Rätsels. In Spektrum der Wissenschaft. 1, 98, ISSN 0170-2971 , S. 96 ff.

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