Benutzer:Blubberdi/Spielwiese/Streuamplitude

Die Streuamplitude ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Die Streuamplitude ${\displaystyle f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )}${\displaystyle f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )} ist über den S-Operator ${\displaystyle S}${\displaystyle S} definiert:

${\displaystyle \langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle =\delta ^{(3)}\!(\mathbf {p'} -\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\;,}${\displaystyle \langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle =\delta ^{(3)}\!(\mathbf {p'} -\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\;,}

wobei ${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle } und ${\displaystyle \langle \mathbf {p'} |}${\displaystyle \langle \mathbf {p'} |} Eigenzustände des Impulsoperators sind. Die Streuamplitude ${\displaystyle f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )}${\displaystyle f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )} ist nur für ${\displaystyle E_{\mathbf {p'} }=E_{\mathbf {p} }}${\displaystyle E_{\mathbf {p'} }=E_{\mathbf {p} }} bzw. ${\displaystyle |\mathbf {p'} |=|\mathbf {p} |}${\displaystyle |\mathbf {p'} |=|\mathbf {p} |} definiert, weil ${\displaystyle \delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })}${\displaystyle \delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })} für ${\displaystyle E_{\mathbf {p'} }\neq E_{\mathbf {p} }}${\displaystyle E_{\mathbf {p'} }\neq E_{\mathbf {p} }} null ist. Weiterhin ist der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen. Deshalb kann die Streuamplitude auch als Funktion von der Energie des eingehenden Zustands ${\displaystyle E_{\mathbf {p} }}${\displaystyle E_{\mathbf {p} }} sowie des Winkels ${\displaystyle \vartheta }${\displaystyle \vartheta } zwischen ${\displaystyle \mathbf {p} }${\displaystyle \mathbf {p} } und ${\displaystyle \mathbf {p'} }${\displaystyle \mathbf {p'} } geschrieben werden.

Im folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird.

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{out}&=\int d^{3}\!p'\langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle \psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\int d^{3}\!p'\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}f(E_{\mathbf {p} },\vartheta )\int d^{3}\!p'\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\psi _{in}(\mathbf {p} )\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{out}&=\int d^{3}\!p'\langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle \psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\int d^{3}\!p'\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}f(E_{\mathbf {p} },\vartheta )\int d^{3}\!p'\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\psi _{in}(\mathbf {p} )\end{aligned}}}

Wenn für die eingehende Welle ${\displaystyle \psi _{in}}${\displaystyle \psi _{in}} eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies folgendes:

${\displaystyle \psi _{out}=e^{ipz}+f(p,\theta ){\frac {e^{ipr}}{r}}}${\displaystyle \psi _{out}=e^{ipz}+f(p,\theta ){\frac {e^{ipr}}{r}}}

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.}${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.}

Zu dem totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} ,円f(0)}${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} ,円f(0)}

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt,

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }(k)P_{\ell }(\cos(\theta ))\;,}${\displaystyle f(\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }(k)P_{\ell }(\cos(\theta ))\;,}

wobei ${\displaystyle f_{\ell }(k)}${\displaystyle f_{\ell }(k)} die partielle Streuamplitude, ${\displaystyle P_{\ell }(\cos(\theta ))}${\displaystyle P_{\ell }(\cos(\theta ))} das Legendre-Polynom und ${\displaystyle \ell }${\displaystyle \ell } der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element ${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}}${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}} und die Streuphase ${\displaystyle \delta _{\ell }}${\displaystyle \delta _{\ell }} ausgedrückt werden:

${\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}${\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude ${\displaystyle f_{\ell }}${\displaystyle f_{\ell }}, das S-matrix Element ${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}}${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}} und die Streuphase ${\displaystyle \delta _{\ell }}${\displaystyle \delta _{\ell }} implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses ${\displaystyle k}${\displaystyle k} sind.

Die Streulänge ${\displaystyle a_{\ell }}${\displaystyle a_{\ell }} kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

${\displaystyle f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }p^{2\ell }}${\displaystyle f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }p^{2\ell }}

Gewöhnlich wird aber nur die s-Wellen Streulänge ${\displaystyle a_{0}}${\displaystyle a_{0}} als Streulänge bezeichnet.

• John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.