Benutzer:Binse/O- und U-Topologien

Eine O-Topologie auf einer Grundmenge ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ist eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {T}}}${\displaystyle {\mathcal {T}}} von Teilmengen von ${\displaystyle X,}${\displaystyle X,} die offen genannt werden und die den folgenden Axiomen genügt.

1. T_1: ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {T}},,円X\in {\mathcal {T}},}${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {T}},,円X\in {\mathcal {T}},} ${\displaystyle \emptyset }${\displaystyle \emptyset } und ${\displaystyle X}${\displaystyle X} sind offen,
2. T_2: der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist offen,
3. T_3: die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist offen.

Bemerkung: Formal ist die Vereinigung einer leeren Menge von Mengen (also Anzahl=0) die leere Menge (Element liegt in allen ..., Da es keine Mengen gibt, in denen es liegen soll, trifft das auf kein Element zu). Analog: Durchschnitt von Null Mengen ist ${\displaystyle X}${\displaystyle X}. Element muss in Mengen liegen, die es aber nicht gibt, keine Bedingung, immer wahr. Außerdem ist Null endlich. Demnach wäre Axiom 1 entbehrlich.

Eine U-Topologie ${\displaystyle {\mathcal {H}}}${\displaystyle {\mathcal {H}}} Ist eine Menge von Umgebungssystemen ${\displaystyle {\mathcal {U}}(x)}${\displaystyle {\mathcal {U}}(x)} für jedes ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X} (deren Elemente Umgebungen von ${\displaystyle x}${\displaystyle x} heißen), die die sogenannten Hausdorff-Axiome erfüllen.

1. H_1: ${\displaystyle x\in U}${\displaystyle x\in U} für jedes ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}},,円,円[X}${\displaystyle U\in {\mathcal {U}},,円,円[X} ist Umgebung für jedes ${\displaystyle x\in X].}${\displaystyle x\in X].}
2. H_2: Ist ${\displaystyle U}${\displaystyle U} eine Umgebung von ${\displaystyle x}${\displaystyle x} und ${\displaystyle U'\supseteq U,}${\displaystyle U'\supseteq U,} so ist auch ${\displaystyle U'}${\displaystyle U'} Umgebung von ${\displaystyle x.}${\displaystyle x.}
3. H_3: Der Durchschnitt von zwei (oder${\displaystyle }${\displaystyle } endlich vielen) Umgebungen von ${\displaystyle x}${\displaystyle x} ist eine Umgebung von ${\displaystyle x.}${\displaystyle x.}
4. H_4: In jeder Umgebung ${\displaystyle U}${\displaystyle U} von ${\displaystyle x}${\displaystyle x} gibt es eine Umgebung ${\displaystyle V}${\displaystyle V} von ${\displaystyle x,}${\displaystyle x,} so dass ${\displaystyle U}${\displaystyle U} Umgebung für jedes ${\displaystyle y\in V}${\displaystyle y\in V} ist.

Bemerkung: Ich bezweifle, dass Hausdorff die Möglichkeit bewusst zugelassen hat, dass ${\displaystyle {\mathcal {U}}(x)=\emptyset }${\displaystyle {\mathcal {U}}(x)=\emptyset } ist, ein ${\displaystyle x}${\displaystyle x} also gar keine Umgebung hat. Ein Missverständnis scheint leicht möglich, da Hausdorf sicherlich verbal formuliert hat. Der Zusatz in [...], ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}(x),}${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}(x),} stammt von mir.

Jede dieser Topologien induziert eine Topologie vom anderen Typ. Einerseits definiert eine O-Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}${\displaystyle {\mathcal {T}}} eine U-Topologie ${\displaystyle {\mathcal {H}}'}${\displaystyle {\mathcal {H}}'} durch

${\displaystyle \phi {:},円{\mathcal {T}}\mapsto {\mathcal {H}}'}${\displaystyle \phi {:},円{\mathcal {T}}\mapsto {\mathcal {H}}'}, wobei ${\displaystyle U'\!\in {\mathcal {U}}'(x)}${\displaystyle U'\!\in {\mathcal {U}}'(x)} ist, wenn es ein ${\displaystyle {\mathcal {O}}\in {\mathcal {T}}}${\displaystyle {\mathcal {O}}\in {\mathcal {T}}} gibt mit ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}\subseteq U'.}${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}\subseteq U'.}

Die Axiome H1, ..., H4 für ${\displaystyle {\mathcal {H}}'}${\displaystyle {\mathcal {H}}'} meine ich, kontrolliert zu haben:

Zunächst ist jede offene Menge ${\displaystyle U',}${\displaystyle U',} die ${\displaystyle x}${\displaystyle x} enthält, eine Umgebung von ${\displaystyle x,}${\displaystyle x,} denn ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}\subseteq U'}${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}\subseteq U'} gilt mit ${\displaystyle {\mathcal {O}}=U'.}${\displaystyle {\mathcal {O}}=U'.} Insbesondere ist stets ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}'(x).}${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}'(x).}-- Dass ${\displaystyle x\in U'}${\displaystyle x\in U'} ist, ist mit ${\displaystyle x\in \emptyset \subseteq }${\displaystyle x\in \emptyset \subseteq } direkt gefordert.-- Gibt es ${\displaystyle {\mathcal {O}}\in {\mathcal {T}}}${\displaystyle {\mathcal {O}}\in {\mathcal {T}}} mit ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}\subseteq U'}${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}\subseteq U'} und ist ${\displaystyle U'\subseteq V',}${\displaystyle U'\subseteq V',} so ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}\subseteq V',}${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}\subseteq V',} also ${\displaystyle V'\in {\mathcal {U}}'(x).}${\displaystyle V'\in {\mathcal {U}}'(x).}-- Sind ${\displaystyle U_{1}',,円U_{2}'\in {\mathcal {U}}'(x)}${\displaystyle U_{1}',,円U_{2}'\in {\mathcal {U}}'(x)}, so ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{i}\subseteq U_{i}',}${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{i}\subseteq U_{i}',} daher ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{1}\cap {\mathcal {O}}_{2}\subseteq U_{1}'\cap U_{2}',}${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{1}\cap {\mathcal {O}}_{2}\subseteq U_{1}'\cap U_{2}',} also ${\displaystyle U_{1}'\cap U_{2}'\in {\mathcal {U}}'(x).}${\displaystyle U_{1}'\cap U_{2}'\in {\mathcal {U}}'(x).}-- Ist ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}\subseteq U',}${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}\subseteq U',} so ist ${\displaystyle V'={\mathcal {O}}}${\displaystyle V'={\mathcal {O}}} eine offene Umgebung von ${\displaystyle x}${\displaystyle x} und jedes ${\displaystyle y\in V',}${\displaystyle y\in V',} da ${\displaystyle V'\!\subseteq U'}${\displaystyle V'\!\subseteq U'} ist, hat ${\displaystyle U'}${\displaystyle U'} zur Umgebung. Damit gilt auch H4 für ${\displaystyle {\mathcal {H}}'.}${\displaystyle {\mathcal {H}}'.}

${\displaystyle \psi {:},円{\mathcal {H}}\mapsto {\mathcal {T}}'}${\displaystyle \psi {:},円{\mathcal {H}}\mapsto {\mathcal {T}}'}, wobei ${\displaystyle {\mathcal {O}}'\in {\mathcal {T}}',}${\displaystyle {\mathcal {O}}'\in {\mathcal {T}}',} also offen ist, wenn ${\displaystyle {\mathcal {O}}'}${\displaystyle {\mathcal {O}}'} eine Umgebung für jedes seiner Elemente ist.

${\displaystyle }${\displaystyle }

${\displaystyle }${\displaystyle }