Benutzer:Binse/Baustelle-7

Gegeben seien zwei Vektorräume ${\displaystyle V,,円W}${\displaystyle V,,円W}, je mit einer linearen Abbilung auf einen weiteren Vektorraum, ${\displaystyle \lambda :,円V\to V',,円,円\mu :,円W\to W'}${\displaystyle \lambda :,円V\to V',,円,円\mu :,円W\to W'}. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung   ${\displaystyle \kappa :,円V\otimes W,円\to ,円V'\otimes W'}${\displaystyle \kappa :,円V\otimes W,円\to ,円V'\otimes W'}, die ${\displaystyle v\otimes w\mapsto ,円\lambda (v)\otimes \mu (w),円,円(v\in V,,円w\in W)}${\displaystyle v\otimes w\mapsto ,円\lambda (v)\otimes \mu (w),円,円(v\in V,,円w\in W)} zu einer Abbildung ${\displaystyle \kappa :,円V\otimes W,円\to V'\otimes W'}${\displaystyle \kappa :,円V\otimes W,円\to V'\otimes W'} fortsetzt. Diese Abbildung wird mit demselben Verknüpfungssymbol als ${\displaystyle \kappa =\lambda \otimes \mu }${\displaystyle \kappa =\lambda \otimes \mu } geschrieben und heißt das Tensorprodukt von ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } und ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu }. Im Sinne der Kategorientheorie bildet das Paar von Abbildungen   ${\displaystyle \otimes :(V,W)\mapsto V\otimes W,,円,円(\lambda ,\mu )\mapsto \lambda \otimes \mu }${\displaystyle \otimes :(V,W)\mapsto V\otimes W,,円,円(\lambda ,\mu )\mapsto \lambda \otimes \mu }   einen Funktor.

Die Konstruktion geht aus von Basen ${\displaystyle e_{i},,円f_{j}}${\displaystyle e_{i},,円f_{j}} von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} und ${\displaystyle W}${\displaystyle W}. Die ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j}}${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j}} bilden (s. o.) eine Basis von ${\displaystyle V\otimes W}${\displaystyle V\otimes W}. Die Forderung ${\displaystyle \kappa (e_{i}\otimes f_{j})=\lambda (e_{i})\otimes \mu (f_{j})}${\displaystyle \kappa (e_{i}\otimes f_{j})=\lambda (e_{i})\otimes \mu (f_{j})} auf den Elementen dieser Basis definiert eindeutig eine lineare Abbildung ${\displaystyle \kappa :,円V\otimes W,円\to ,円V'\otimes W'}${\displaystyle \kappa :,円V\otimes W,円\to ,円V'\otimes W'}. Dabei wird ${\displaystyle \kappa (v\otimes w)=\lambda (v)\otimes \mu (w)}${\displaystyle \kappa (v\otimes w)=\lambda (v)\otimes \mu (w)} auch für die anderen Elemente von ${\displaystyle V\times W}${\displaystyle V\times W}, nicht nur für die ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j}}${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j}}. Aus den Darstellungen von ${\displaystyle v}${\displaystyle v} und ${\displaystyle w}${\displaystyle w} als ${\displaystyle \textstyle v=\sum _{i}a_{i}e_{i}}${\displaystyle \textstyle v=\sum _{i}a_{i}e_{i}} und ${\displaystyle \textstyle w=\sum _{j}b_{j}f_{j}}${\displaystyle \textstyle w=\sum _{j}b_{j}f_{j}} ergibt sich nämlich

${\displaystyle \kappa (v\otimes w)=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}\kappa (e_{i}\otimes f_{j})=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}\lambda (e_{i})\otimes \mu (f_{j})=\lambda (v)\otimes \mu (w)}${\displaystyle \kappa (v\otimes w)=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}\kappa (e_{i}\otimes f_{j})=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}\lambda (e_{i})\otimes \mu (f_{j})=\lambda (v)\otimes \mu (w)}.

Beginnt man die Konstruktion mit anderen Basen ${\displaystyle e_{i}^{\ast },,円,円f_{j}^{\ast }}${\displaystyle e_{i}^{\ast },,円,円f_{j}^{\ast }} von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} und ${\displaystyle W}${\displaystyle W}, definiert also eine lineare Abbildung ${\displaystyle \kappa ^{\ast }}${\displaystyle \kappa ^{\ast }} durch ${\displaystyle \kappa ^{\ast }(e_{i}^{\ast }\otimes f_{j}^{\ast })=\lambda (e_{j}^{\ast })\otimes \mu (f_{j}^{\ast })}${\displaystyle \kappa ^{\ast }(e_{i}^{\ast }\otimes f_{j}^{\ast })=\lambda (e_{j}^{\ast })\otimes \mu (f_{j}^{\ast })}, so ist das ${\displaystyle =\kappa (e_{i}^{\ast }\otimes f_{j}^{\ast })}${\displaystyle =\kappa (e_{i}^{\ast }\otimes f_{j}^{\ast })}. Die Abbildungen ${\displaystyle \kappa }${\displaystyle \kappa } und ${\displaystyle \kappa ^{\ast }}${\displaystyle \kappa ^{\ast }} stimmen auf den Elementen einer Basis von ${\displaystyle V\otimes W}${\displaystyle V\otimes W} überein, sind also identisch. Die Konstruktion ist von der Wahl der Basen unabhängig.

${\displaystyle V,円{\xrightarrow {,円\lambda ,円}},円X}${\displaystyle V,円{\xrightarrow {,円\lambda ,円}},円X}

${\displaystyle }${\displaystyle }

(Der folgende Abschnitt soll dem schon unter dieser Überschrift stehenden Abschnitt angefügt werden.)

Aus mathematischer Sicht ist die gesuchte bzw. zu konstruierende Produkt-Operation, nennen wir sie ${\displaystyle v\otimes w}${\displaystyle v\otimes w}, von Vektoren aus Vektorräumen ${\displaystyle V,,円W,}${\displaystyle V,,円W,} in erster Linie eine bilineare Funktion (Abbildung) ${\displaystyle v\otimes w=L(v,w)}${\displaystyle v\otimes w=L(v,w)} mit Werten in einem weiteren Vektorraum ${\displaystyle X;}${\displaystyle X;} anders geschrieben ${\displaystyle L:,円V\times W\to X.}${\displaystyle L:,円V\times W\to X.} Bilinear heißt eine Funktion von zwei Vektoren, wenn sie in jeder Variabeln linear ist: ${\displaystyle L(v,,円\alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2})=\alpha _{1}L(v,w_{1})+\alpha _{2}L(v,w_{2})}${\displaystyle L(v,,円\alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2})=\alpha _{1}L(v,w_{1})+\alpha _{2}L(v,w_{2})} und entsprechend für die andere Variable. Von einem Produkt anderseits erwartet man zwei Distributivgesetze: ${\displaystyle v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2},}${\displaystyle v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2},} und entsprechend für die linke Seite. Außerdem muss, da es sich um Vektoren handelt, die Multiplikation mit einem Skalar ${\displaystyle \alpha \in K}${\displaystyle \alpha \in K} geregelt werden. Dafür erscheint naheliegend: ${\displaystyle \alpha (v\otimes w)=(\alpha v)\otimes w=v\otimes (\alpha w).}${\displaystyle \alpha (v\otimes w)=(\alpha v)\otimes w=v\otimes (\alpha w).} Zusammen bedeuten diese Forderungen in der Tat Bilinearität für ${\displaystyle \otimes {:},円V\times W,円\to ,円X.}${\displaystyle \otimes {:},円V\times W,円\to ,円X.} Dazu kommen noch zwei, hier recht allgemein formulierte Wünsche: 1. Es sollte unter den ‚neuen‘ Vektoren keine Beziehungen (Gleichheiten) geben, die nicht durch die Axiome vorgeschrieben sind, und 2. sollte der neue Vektorraum keine Elemente enthalten, deren Existenz sich nicht aus den Axiomen ergibt.

Durch die Axiome vorgeschrieben ist jedenfalls für beliebige ${\displaystyle v\in V,,円w\in W,}${\displaystyle v\in V,,円w\in W,} dass (wenn O den Nullvektor und 0 die skalare Null bezeichnen) ${\displaystyle O\otimes w=v\otimes O=O}${\displaystyle O\otimes w=v\otimes O=O} ist; denn z. B. ist ${\displaystyle O\otimes w=(0O)\otimes w=0(O\otimes w)=O.}${\displaystyle O\otimes w=(0O)\otimes w=0(O\otimes w)=O.} Anderseits verlangen die Axiomen, dass mit beliebigen Elemente eines Vektorraumes auch alle ihre Linearkombinationen Elemente dieses Raumes sind.

${\displaystyle }${\displaystyle }

Zu zwei Vektorräumen${\displaystyle }${\displaystyle } über einem Skalarkörper ${\displaystyle K}${\displaystyle K} gibt es einen weiteren Vektorraum ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und eine bilineare Abbildung ${\displaystyle L{:},円V\times W\to X,}${\displaystyle L{:},円V\times W\to X,} mit den Eigenschaften

1. Sind Elemente ${\displaystyle v_{i}{\text{ von }}V}${\displaystyle v_{i}{\text{ von }}V} und Elemente ${\displaystyle w_{j}{\text{ von }}W}${\displaystyle w_{j}{\text{ von }}W} jeweils linear unabhängig, so sind die Elemente ${\displaystyle L(v_{i},w_{j})}${\displaystyle L(v_{i},w_{j})} von ${\displaystyle X}${\displaystyle X} linear unabhängig.

und

2. ${\displaystyle L(V\times W)}${\displaystyle L(V\times W)} ist ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle X.}${\displaystyle X.}

Vektorraum ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und Abbildung ${\displaystyle L}${\displaystyle L} sind bis auf Isomorphie eindeutig. Das heißt, gelten 1. und 2. auch für ${\displaystyle L'{:},円V\times W\to X',}${\displaystyle L'{:},円V\times W\to X',} so gibt es eine reguläre lineare Abbildung ${\displaystyle \lambda {:},円X\to X',}${\displaystyle \lambda {:},円X\to X',} sodass ${\displaystyle L'=\lambda \circ L}${\displaystyle L'=\lambda \circ L} ist.

Man schreibt ${\displaystyle L(v,w)=v\otimes w}${\displaystyle L(v,w)=v\otimes w} und ${\displaystyle X=V\otimes W}${\displaystyle X=V\otimes W} und nennt die Operation ${\displaystyle \otimes }${\displaystyle \otimes } Tensorprodukt. Der Raum ${\displaystyle V\otimes W}${\displaystyle V\otimes W} heißt Tensorprodukt von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} und ${\displaystyle W,}${\displaystyle W,} auch Tensorproduktraum. Seine Elemente sind Tensoren.

Diese Definition gehört zum Typ universelle Definition. Sie enthält zwei Behauptungen (Existenz und Eindeutigkei), die bewiesen werden müssen. Die Existenz belegen wir mit dem ‚einfachen Beipiel‘ weiter unten. Zur Eindeutigkeit gleich hier:

Hat man Basen ${\displaystyle e_{i}}${\displaystyle e_{i}} und ${\displaystyle f_{j}}${\displaystyle f_{j}} in ${\displaystyle V}${\displaystyle V} beziehungsweise ${\displaystyle W,}${\displaystyle W,} so bilden die ${\displaystyle z_{ij}=e_{i}\otimes f_{j}}${\displaystyle z_{ij}=e_{i}\otimes f_{j}} eine Basis von ${\displaystyle X}${\displaystyle X}. Einerseits nämlich sind sie nach 1. linear unabhängig, anderseits erzeugen sie die Menge aller ${\displaystyle v\otimes w,,円v\in V,,円w\in W,}${\displaystyle v\otimes w,,円v\in V,,円w\in W,} die ihrerseits nach 2. ganz ${\displaystyle X}${\displaystyle X} erzeugt. Für ein anderes Paar ${\displaystyle L'{\text{ bzw. }}\otimes '}${\displaystyle L'{\text{ bzw. }}\otimes '} und ${\displaystyle X'}${\displaystyle X'} folgt ebenso: Die ${\displaystyle z_{i,j}'=e_{i}\otimes 'f_{j}}${\displaystyle z_{i,j}'=e_{i}\otimes 'f_{j}} bilden eine Basis von ${\displaystyle X'.}${\displaystyle X'.} Definiert man ${\displaystyle \lambda {:},円X\to X'}${\displaystyle \lambda {:},円X\to X'} durch ${\displaystyle z_{i,j}\mapsto z_{i,j}',}${\displaystyle z_{i,j}\mapsto z_{i,j}',} so stimmen die Funktionen ${\displaystyle L'}${\displaystyle L'} und ${\displaystyle \lambda \circ L}${\displaystyle \lambda \circ L} zunächst für die Paare ${\displaystyle (e_{i},f_{j})}${\displaystyle (e_{i},f_{j})} überein, und dann wegen ihrer Bilinearität auf ganz ${\displaystyle V\times W}${\displaystyle V\times W}, und sind damit identisch.

Die Vektoren der Standardvektorräume über einem Körper ${\displaystyle K}${\displaystyle K} sind Spalten oder Zeilen mit Elementen aus ${\displaystyle K}${\displaystyle K}. Im Rahmen des Matrizenkalküls sind Spalten ${\displaystyle (m\times 1)}${\displaystyle (m\times 1)}-Matrizen und Zeilen ${\displaystyle (1\times n)}${\displaystyle (1\times n)}-Matrizen, wenn ${\displaystyle m,,円n,}${\displaystyle m,,円n,} die Dimensionen der Vektoren bezeichnen. Eine ${\displaystyle (m\times k)}${\displaystyle (m\times k)}-Matrix mit einer ${\displaystyle (l\times n)}${\displaystyle (l\times n)}-Matrix lassen sich genau dann multiplizieren, wenn ${\displaystyle k=l}${\displaystyle k=l} ist, und ergeben dann eine ${\displaystyle (m\times n)}${\displaystyle (m\times n)}-Matrix. Ein ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-Spaltenvektor ${\displaystyle v=(a_{i})_{i=1,\dotsc ,m;,1円}}${\displaystyle v=(a_{i})_{i=1,\dotsc ,m;,1円}} mit einem ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Zeilenvektor ${\displaystyle w=(b_{j})_{1;,円j=1,\dotsc ,n}}${\displaystyle w=(b_{j})_{1;,円j=1,\dotsc ,n}} als Matrizen multipliziert, ergeben die ${\displaystyle m\times n}${\displaystyle m\times n}-Matrix ${\displaystyle vw=(a_{i}b_{j})_{i=1,\dotsc ,m;,円j=1,\dotsc ,n},円.}${\displaystyle vw=(a_{i}b_{j})_{i=1,\dotsc ,m;,円j=1,\dotsc ,n},円.} Ausführlich, nun mit ${\displaystyle \otimes }${\displaystyle \otimes } geschrieben:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{matrix}}\right),円\otimes ,円\left({\begin{matrix}b_{1}&b_{2}&\dotsc &b_{n}\end{matrix}}\right)\quad =\quad \left({\begin{matrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\dotsc &a_{1}b_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m}b_{1}&a_{m}b_{2}&\dotsc &a_{m}b_{n}\end{matrix}}\right).}${\displaystyle \left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{matrix}}\right),円\otimes ,円\left({\begin{matrix}b_{1}&b_{2}&\dotsc &b_{n}\end{matrix}}\right)\quad =\quad \left({\begin{matrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\dotsc &a_{1}b_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m}b_{1}&a_{m}b_{2}&\dotsc &a_{m}b_{n}\end{matrix}}\right).}

Da für Matrizen gleichen Formats Linearkombintionen definiert sind, bilden die ${\displaystyle m\times n}${\displaystyle m\times n}-Matrizen mit Elementen aus ${\displaystyle K}${\displaystyle K}, also ${\displaystyle M_{K}^{m\times n}}${\displaystyle M_{K}^{m\times n}}, einen ${\displaystyle mn}${\displaystyle mn}-dimensionalen Vektorraum ${\displaystyle X}${\displaystyle X} über diesem Körper. Nimmt man in ${\displaystyle V}${\displaystyle V} und ${\displaystyle W}${\displaystyle W} die Standardbasen ${\displaystyle e_{i},,円f_{j},}${\displaystyle e_{i},,円f_{j},} wo ${\displaystyle e_{i}}${\displaystyle e_{i}} an der ${\displaystyle i}${\displaystyle i}-ten und ${\displaystyle f_{j}}${\displaystyle f_{j}} an der ${\displaystyle j}${\displaystyle j}-ten Position eine Eins haben und sonst Nullen, so haben die Matrizen ${\displaystyle E_{ij}=e_{i}\otimes f_{j}}${\displaystyle E_{ij}=e_{i}\otimes f_{j}} jeweils eine Eins an Position ${\displaystyle (i,j)}${\displaystyle (i,j)} und sonst Nullen. Das ist die Standardbasis von ${\displaystyle M_{K}^{m\times n}}${\displaystyle M_{K}^{m\times n}}. Damit erzeugen die ${\displaystyle v\otimes w}${\displaystyle v\otimes w} den Vektorraum ${\displaystyle X}${\displaystyle X}. Auch 1. gilt, denn gäbe es linear unabhängige Elemente ${\displaystyle v_{i}\in V}${\displaystyle v_{i}\in V} und ${\displaystyle w_{j}\in W}${\displaystyle w_{j}\in W}, für die die ${\displaystyle v_{i}\otimes w_{j}\in X}${\displaystyle v_{i}\otimes w_{j}\in X} linear abhängig sind, so könnte man die ${\displaystyle v_{i}}${\displaystyle v_{i}} und die ${\displaystyle w_{j}}${\displaystyle w_{j}} jeweils zu Basen ${\displaystyle e_{i}',,円f_{j}',}${\displaystyle e_{i}',,円f_{j}',} erweitern, deren Produkte ${\displaystyle e_{i}'\otimes f_{j}'}${\displaystyle e_{i}'\otimes f_{j}'} dann linear abhängig wären und nur einen echten Teilraum von ${\displaystyle X}${\displaystyle X} erzeugen.

Skalarprodukte sind die wohl wichtigsten zusätzlichen Strukturelemente von Vektorräumen. So gehört das Skalarprodukt zur Definition des Hilbertraums. Das Tensorprodukt sollte daher auf die Kategorien Vektorräume mit Skalarprodukt erweitert werden. Als Skalarkörper kommen die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } oder die komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} } in Frage.

In diesem Abshnitt erscheint es angemessen, Vektoren und Tensoren in der Bezeichnung gegen Skalare abzusetzen.

Angenommen also, auf den Vektorräumen ${\displaystyle V}${\displaystyle V} und ${\displaystyle W}${\displaystyle W} sind Skalarprodukte ${\displaystyle (,,円,円)_{V}}${\displaystyle (,,円,円)_{V}} bzw. ${\displaystyle (,,円,円)_{W}}${\displaystyle (,,円,円)_{W}} definiert. Dann sollte es eine ‚natürliche‘ Definition eines Skalarprodukts ${\displaystyle (,,円,円)_{X}}${\displaystyle (,,円,円)_{X}} auf ${\displaystyle X=V\otimes W}${\displaystyle X=V\otimes W} geben. Naheliegend ist, auf der Teilmenge ${\displaystyle T=\{{\vec {v}}\otimes {\vec {w}}|,円{\vec {v}}\in V,,円{\vec {w}}\in W\}}${\displaystyle T=\{{\vec {v}}\otimes {\vec {w}}|,円{\vec {v}}\in V,,円{\vec {w}}\in W\}} von ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, genauer auf ${\displaystyle T\times T}${\displaystyle T\times T} zu fordern, dass ${\displaystyle ({\vec {v}}\otimes {\vec {w}},{\vec {v}}'\otimes {\vec {w}}')_{X}=({\vec {v}},{\vec {v}}')_{V}\cdot ({\vec {w}},{\vec {w}}')_{W}}${\displaystyle ({\vec {v}}\otimes {\vec {w}},{\vec {v}}'\otimes {\vec {w}}')_{X}=({\vec {v}},{\vec {v}}')_{V}\cdot ({\vec {w}},{\vec {w}}')_{W}} ist. Tatsächlich lässt sich diese Funktion eindeutig und widerspruchsfrei zu einem Skalarprodukt auf ${\displaystyle X}${\displaystyle X} fortsetzen. Dafür seien zunächst ${\displaystyle {\vec {e}}_{i},,円{\vec {f}}_{j}}${\displaystyle {\vec {e}}_{i},,円{\vec {f}}_{j}} Orthonormalbasen in ${\displaystyle V}${\displaystyle V} und ${\displaystyle W}${\displaystyle W}. Mit dem Kronecker-${\displaystyle \delta }${\displaystyle \delta }

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{wenn}}&i=j,\0円&{\text{sonst,}}&\end{cases}}}${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{wenn}}&i=j,\0円&{\text{sonst,}}&\end{cases}}}

schreibt sich das für die Elemente der Basen: ${\displaystyle ({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})=\delta _{ik}}${\displaystyle ({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})=\delta _{ik}} bzw. ${\displaystyle ({\vec {f}}_{j},{\vec {f}}_{\ell })=\delta _{j\ell }}${\displaystyle ({\vec {f}}_{j},{\vec {f}}_{\ell })=\delta _{j\ell }}. Die ${\displaystyle {\vec {z}}_{ij}={\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {f}}_{j}}${\displaystyle {\vec {z}}_{ij}={\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {f}}_{j}} bilden wieder eine Basis von ${\displaystyle X}${\displaystyle X}. Aus der vorläufigen Definition von ${\displaystyle (,,円,円)}${\displaystyle (,,円,円)} ergibt sich

${\displaystyle ({\vec {z}}_{ij},{\vec {z}}_{k\ell })_{X},円=,円({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})_{V}\cdot ({\vec {f}}_{j},{\vec {f}}_{\ell })_{W},円=,円\delta _{ik}\delta _{j\ell },円.}${\displaystyle ({\vec {z}}_{ij},{\vec {z}}_{k\ell })_{X},円=,円({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})_{V}\cdot ({\vec {f}}_{j},{\vec {f}}_{\ell })_{W},円=,円\delta _{ik}\delta _{j\ell },円.}

Damit bilden die ${\displaystyle {\vec {z}}_{ij}}${\displaystyle {\vec {z}}_{ij}} eine Orthonormalbasis für ${\displaystyle X}${\displaystyle X}.

Da eine Orthonormalbasis ${\displaystyle {\vec {g}}_{h}}${\displaystyle {\vec {g}}_{h}} in einem beliebigen Vektorraum ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} (über ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } z.B.) das eindeutig bestimmte Skalarprodukt ${\displaystyle ({\vec {y}},{\vec {y}}')=\textstyle \sum _{h}a_{h}a'_{h}{\text{ für }}{\vec {y}}=\sum _{h}a_{h}{\vec {g}}_{h},,円,円{\vec {y}}'=\sum _{h}a'_{h}{\vec {g}}_{h}}${\displaystyle ({\vec {y}},{\vec {y}}')=\textstyle \sum _{h}a_{h}a'_{h}{\text{ für }}{\vec {y}}=\sum _{h}a_{h}{\vec {g}}_{h},,円,円{\vec {y}}'=\sum _{h}a'_{h}{\vec {g}}_{h}} beschreibt, legen auch die orthonormalen ${\displaystyle {\vec {Z}}_{ij}}${\displaystyle {\vec {Z}}_{ij}} ein Skalarprodukt auf ganz ${\displaystyle X}${\displaystyle X} fest. Zu prüfen ist, ob es auf ${\displaystyle T}${\displaystyle T} mit der Vorgabe übereinstimmt. Das ist eine einfache Rechnung:

${\displaystyle }${\displaystyle }