Benutzer:Anthroporraistes/Snell-Einhüllende

Die Snell-Einhüllende (auch Snell’sche Hülle) ist ein Begriff aus der Stochastik und Finanzmathematik. Für einen Prozess ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ist sie das kleinste Supermartingal, das ${\displaystyle X}${\displaystyle X} dominiert. Die Snell-Einhüllende tritt in der Finanzmathematik bei Fragen des optimalen Stoppens, z. B. dem optimalen Ausübungszeitpunkt amerikanischer Optionen auf. Sie ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker J. Laurie Snell benannt.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},P)}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},P)} ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle Q\ll P}${\displaystyle Q\ll P} ein bzgl. ${\displaystyle P}${\displaystyle P} absolutstetiges Maß. Ein adaptierter Prozess ${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}} heißt Snell-Einhüllende des Prozesses ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}} bzgl. ${\displaystyle Q}${\displaystyle Q}, wenn

• ${\displaystyle U}${\displaystyle U} ein ${\displaystyle Q}${\displaystyle Q}-Supermartingal ist.
• ${\displaystyle U}${\displaystyle U} dominiert ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, d. h. ${\displaystyle U_{t}\geq X_{t}}${\displaystyle U_{t}\geq X_{t}} ${\displaystyle Q}${\displaystyle Q}-f.s. für alle ${\displaystyle t\in [0,T]}${\displaystyle t\in [0,T]}. (Dominanz)
• Für jedes ${\displaystyle Q}${\displaystyle Q}-Supermartingal ${\displaystyle V=(V_{t})_{t\in [0,T]}}${\displaystyle V=(V_{t})_{t\in [0,T]}}, das ${\displaystyle X}${\displaystyle X} dominiert gilt, dass ${\displaystyle V}${\displaystyle V} auch ${\displaystyle U}${\displaystyle U} dominiert. (Minimalität)

Sei ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{\tau :\Omega \to [0,T],円|,円\tau {\text{ Stoppzeit}}\}}${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{\tau :\Omega \to [0,T],円|,円\tau {\text{ Stoppzeit}}\}} die Menge aller Stopzeiten und ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}=\{\tau \in {\mathcal {T}}:t\leq \tau \leq T\}}${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}=\{\tau \in {\mathcal {T}}:t\leq \tau \leq T\}} die Menge der ${\displaystyle [t,T]}${\displaystyle [t,T]}-wertigen Stoppzeiten in ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},P)}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},P)}.

Sei ${\displaystyle (X_{t})_{t\in [0,T]}}${\displaystyle (X_{t})_{t\in [0,T]}} ein nichtnegativer Prozess mit càdlàg-Pfaden und ${\displaystyle E_{Q}(\operatorname {sup} _{t\in [0,T]}X_{t})<\infty }${\displaystyle E_{Q}(\operatorname {sup} _{t\in [0,T]}X_{t})<\infty }^[1] , so existiert ein ${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}} mit cádlág-Pfaden, das die obigen drei Bedingungen erfüllt.

Die Snell-Einhüllende lässt sich in stetiger Zeit darstellen durch

${\displaystyle U_{t}=\operatorname {ess,円sup} \{E_{Q}(X_{\tau }|{\mathcal {F}}_{t}):\tau \in {\mathcal {T}}_{t}\}}${\displaystyle U_{t}=\operatorname {ess,円sup} \{E_{Q}(X_{\tau }|{\mathcal {F}}_{t}):\tau \in {\mathcal {T}}_{t}\}} ${\displaystyle P}${\displaystyle P}-f.s. und ${\displaystyle t\in [0,T]}${\displaystyle t\in [0,T]},

wobei ${\displaystyle \operatorname {ess,円sup} }${\displaystyle \operatorname {ess,円sup} } das wesentliche Supremum über die Menge der Zufallsvariablen ${\displaystyle \{E_{Q}(X_{\tau }|{\mathcal {F}}_{t}):\tau \in {\mathcal {T}}_{t}\}}${\displaystyle \{E_{Q}(X_{\tau }|{\mathcal {F}}_{t}):\tau \in {\mathcal {T}}_{t}\}} bzgl. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}} ist.

Im Spezialfall diskreter Zeit lässt sich die Snell-Einhüllende unter den obigen Voraussetzungen rekursiv durch

${\displaystyle U_{T}=X_{T}}${\displaystyle U_{T}=X_{T}} und ${\displaystyle U_{t-1}=\max\{X_{t-1},E_{Q}(U_{t}|{\mathcal {F}}_{t-1})\}}${\displaystyle U_{t-1}=\max\{X_{t-1},E_{Q}(U_{t}|{\mathcal {F}}_{t-1})\}} für ${\displaystyle t=1,...,T}${\displaystyle t=1,...,T}

definieren. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass die obigen drei Bedingungen von diesem Prozess tatsächlich erfüllt werden.

Betrachtet man unter obigen Voraussetzungen das Stoppproblem ${\displaystyle \sup \limits _{\tau \in {\mathcal {T}}}E(X_{\tau })}${\displaystyle \sup \limits _{\tau \in {\mathcal {T}}}E(X_{\tau })} und setzt ${\displaystyle \tau ^{\varepsilon }:=\inf\{t\geq 0:X_{t}\geq U_{t}-\varepsilon \}}${\displaystyle \tau ^{\varepsilon }:=\inf\{t\geq 0:X_{t}\geq U_{t}-\varepsilon \}}, so ist die Stoppzeit ${\displaystyle \tau ^{*}:=\inf\{t\geq 0:X_{t}=U_{t}\}=\inf\{t\geq 0:X_{t}\geq U_{t}\}}${\displaystyle \tau ^{*}:=\inf\{t\geq 0:X_{t}=U_{t}\}=\inf\{t\geq 0:X_{t}\geq U_{t}\}} genau dann optimale Stoppzeit, d. h. ${\displaystyle E(X_{\tau ^{*}})=\sup \limits _{\tau \in {\mathcal {T}}}E(X_{\tau })}${\displaystyle E(X_{\tau ^{*}})=\sup \limits _{\tau \in {\mathcal {T}}}E(X_{\tau })}, wenn ${\displaystyle E(X_{\tau }^{*}1_{\{\tau ^{*}>\tau ^{\varepsilon },\forall \varepsilon >0\}})\geq 0}${\displaystyle E(X_{\tau }^{*}1_{\{\tau ^{*}>\tau ^{\varepsilon },\forall \varepsilon >0\}})\geq 0} gilt, d. h. es keine negativen Sprünge zu vorhersehbaren Stoppzeiten gibt.

1. ↑ Diese Bedingung kann abgeschwächt werden und dient dazu, dass ${\displaystyle U}${\displaystyle U} von Klasse (D) ist, was zusammen mit der Doob-Meyer-Zerlegung das Superhedgen eines amerikanischen Claims im Black-Scholes-Modell erlaubt.