Bairesche σ-Algebra

Die bairesche σ-Algebra ist in der Maßtheorie die kleinste σ-Algebra eines topologischen Raumes, so dass die reellwertigen stetigen Funktionen messbar sind. Sie wird durch die Baire-Mengen erzeugt, diese sind Borel-Mengen, die keine pathologischen Eigenschaften besitzen. Die bairesche σ-Algebra ist somit eine Unter-σ-Algebra der borelschen σ-Algebra

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X).}${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X).}

Die bairesche σ-Algebra ist nach René Louis Baire benannt. In der Literatur existieren unterschiedliche Definition der Baire-Mengen, die zum Teil nicht äquivalent sind. Folglich gibt es auch unterschiedliche Definitionen der baireschen σ-Algebra und des Baire-Maßes. Wir folgen Wladimir Igorewitsch Bogatschow.^[1]

Sei ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ein topologischer Raum und ${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )}${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )} der Raum der reellwertigen, stetigen Funktionen über ${\displaystyle X}${\displaystyle X}. Die bairesche σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)} wird durch die Mengen

${\displaystyle \{x\in X\colon f(x)>0\}}${\displaystyle \{x\in X\colon f(x)>0\}}

erzeugt, wobei ${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}.^[1]

• Die gleiche σ-Algebra wird durch die beschränkten, stetigen Funktionen erzeugt.
• Die σ-Algebra wird durch die Mengen ${\displaystyle f^{-1}(\{0\})}${\displaystyle f^{-1}(\{0\})} mit ${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )} erzeugt.^[2]

• In einem metrischen Raum ${\displaystyle (X,d)}${\displaystyle (X,d)} gilt ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)={\mathcal {B}}_{0}(X)}${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)={\mathcal {B}}_{0}(X)}.
• Sei ${\displaystyle T}${\displaystyle T} eine überabzählbare Menge und ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{T}}${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{T}} (beachte, ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ist nicht metrisierbar). Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)<{\mathcal {B}}(X)}${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)<{\mathcal {B}}(X)}, aber ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)={\mathcal {E}}(X,X')}${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)={\mathcal {E}}(X,X')} wobei ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')} die zylindrische σ-Algebra bezeichnet.^[3]

Eine Menge in ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)} heißt Baire-Menge. Ein Maß ${\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}_{0}(X)\to \mathbb {R} _{+}}${\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}_{0}(X)\to \mathbb {R} _{+}} heißt Baire-Maß.

• Jede Baire-Menge ist durch eine abzählbare Familie von Funktionen bestimmt, das heißt sie haben die Form

${\displaystyle \{x\colon (f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{n}(x),\dots )\in B\},\;f_{i}\in C(X,\mathbb {R} ),\;B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\infty }),}${\displaystyle \{x\colon (f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{n}(x),\dots )\in B\},\;f_{i}\in C(X,\mathbb {R} ),\;B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\infty }),}

und alle Mengen dieser Form sind Baire-Mengen und ${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )}${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )} kann durch ${\displaystyle C_{b}(X,\mathbb {R} )}${\displaystyle C_{b}(X,\mathbb {R} )} ersetzt werden.^[4]

• Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, doi:10.1007/978-3-540-34514-5 (Kapitel 6). 
• R. F. Wheeler: A survey of Baire measures and strict topologies. In: Exposition. Math. Band 77, 1983, S. 97–190. 

1. ↑ ^{a b} Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 12, doi:10.1007/978-3-540-34514-5 . 
2. ↑ Vakhania, N.N., Tarieladze, V.I., Chobanyan, S.A: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987 (Kapitel 1). 
3. ↑ Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4, S. 374. 
4. ↑ Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 13, doi:10.1007/978-3-540-34514-5 . 

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