Ausgehöhltes Dodekaeder

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3D-Ansicht eines ausgehöhlten Dodekaeders

Das ausgehöhlte Dodekaeder ist ein konkaves Polyeder, das sich aus 60 gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Sternkörpern zählt.

20 der insgesamt 32 Ecken sind identisch mit denen eines Dodekaeders, das die konvexe Hülle des Sternkörpers bildet. Die übrigen innen liegenden 12 Ecken bilden die Eckpunkte eines Ikosaeders.

Von einem Dodekaeder (Seitenlänge a {\displaystyle a} {\displaystyle a}) werden zwölf Fünfeckpyramiden ( J 2 {\displaystyle J_{2}} {\displaystyle J_{2}}), deren Grundflächen kongruent mit den Begrenzungsflächen des Dodekaeders sind, subtrahiert.

Weiterhin ist dieses Polyeder eines (Bez.: Ef1g1) der 59 möglichen „Sternungen" des Ikosaeders.[1]

Verwandte Polyeder

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Gleichwertig zum ausgehöhlten Dodekaeder – in Bezug auf Flächen-, Ecken- und Kantenanzahl – sind das Pentakisdodekaeder und der Dodekaederstern, deren Pyramiden jedoch nach außen anstatt nach innen gerichtet sind und verschiedene Seitenlängen aufweisen.

Größen eines ausgehöhlten Dodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen V = 5 4 a 3 ( 1 + 5 ) {\displaystyle V={\frac {5}{4}}a^{3}\left(1+{\sqrt {5}}\right)} {\displaystyle V={\frac {5}{4}}a^{3}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}
Oberflächeninhalt A O = 15 a 2 3 {\displaystyle A_{O}=15a^{2}{\sqrt {3}}} {\displaystyle A_{O}=15a^{2}{\sqrt {3}}}
Pyramidenhöhe k = a 5 − 5 10 {\displaystyle k=a{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}} {\displaystyle k=a{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}}
Ikosaederkantenlänge b = a 2 ( 5 − 1 ) {\displaystyle b={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)} {\displaystyle b={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}
1. Flächenwinkel
 ≈ 138° 11′ 23′′ 		cos α 1 = − 1 3 5 {\displaystyle \cos ,円\alpha _{1}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}} {\displaystyle \cos ,円\alpha _{1}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}}
2. Flächenwinkel
 ≈ 41° 48′ 37′′ 		cos α 2 = 1 3 5 {\displaystyle \cos ,円\alpha _{2}={\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}} {\displaystyle \cos ,円\alpha _{2}={\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}}
Commons: Ausgehöhltes Dodekaeder  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. ↑ Kate Crennell, David Crennell, H. S. M. Coxeter: The fifty-nine icosahedra. 3rd ed. Tarquin, Diss 1999, ISBN 1-899618-32-5. 
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