Atomare Einheiten

Die atomaren Einheiten (englisch: atomic units, a. u.) bilden ein natürliches Einheitensystem, das hauptsächlich in der Atom- und Molekülphysik und der Theoretischen Chemie benutzt wird. Die atomaren Einheiten gehen von den Eigenschaften des Elektrons im Wasserstoffatom aus.

Die atomaren Einheiten sind:^{[1] [2]}

Die atomare Masseneinheit ${\displaystyle u}${\displaystyle u} gehört trotz ihres Namens nicht zu den Atomaren Einheiten.^[3] Diese beschreibt näherungsweise die Masse der Atomkerne und wird vor allem in der Physik und (Bio-)Chemie für die Angabe von Atom- und Molekülmassen verwendet.

Werte in atomaren Einheiten sind formal dimensionslos, Größen, die in SI-Einheiten nicht dimensionslos sind, werden aber üblicherweise durch das formale „Einheitenzeichen" a.u. gekennzeichnet (die Punkte sind Teil des Einheitenzeichens).

${\displaystyle e=m_{\mathrm {e} }=\hbar ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=1\;\mathrm {a.u.} }${\displaystyle e=m_{\mathrm {e} }=\hbar ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=1\;\mathrm {a.u.} }.

Beispielsweise ist eine Masse von ${\displaystyle 2\ \mathrm {a.u.} }${\displaystyle 2\ \mathrm {a.u.} } das Doppelte der Elektronenmasse, während eine elektrische Feldstärke von

${\displaystyle 1\;\mathrm {a.u.} ={\frac {\hbar ^{2}}{m\cdot e\cdot a_{0}^{3}}}}${\displaystyle 1\;\mathrm {a.u.} ={\frac {\hbar ^{2}}{m\cdot e\cdot a_{0}^{3}}}}

die Feldstärke ist, die in einem Abstand von einem bohrschen Radius von einer Elementarladung herrscht.

Die Lichtgeschwindigkeit hat den Wert ${\displaystyle 1/\alpha \approx 137\;\mathrm {a.u.} }${\displaystyle 1/\alpha \approx 137\;\mathrm {a.u.} }, wobei ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } die Feinstrukturkonstante ist. Mit CODATA 2014 wurden die SI-Einheiten für genau diese Grundeinheiten sowie für weitere 18 abgeleitete atomare Einheiten gelistet. Die Größenordnungen lassen sich mithilfe des Bohrschen Atommodells so interpretieren, dass die Längeneinheit ${\displaystyle a_{0}}${\displaystyle a_{0}} der Radius und die Zeiteinheit ${\displaystyle \mathrm {a.t.u.} }${\displaystyle \mathrm {a.t.u.} } die Umlaufzeit der ersten Elektronenbahn ist, sowie die Energieeinheit ${\displaystyle E_{\text{h}}}${\displaystyle E_{\text{h}}} die doppelte Ionisierungsenergie des H-Atoms.

Der Gebrauch von atomaren Einheiten vereinfacht die Schrödingergleichung. Zum Beispiel ergibt sich der Hamilton-Operator für ein Elektron im Wasserstoffatom zu:

• in SI-Einheiten:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\mathrm {e} }}}\nabla ^{2}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}}${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\mathrm {e} }}}\nabla ^{2}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}}

• in atomaren Einheiten:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}-{\frac {1}{r}}}${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}-{\frac {1}{r}}}

Nicht eindeutig definiert sind atomare Einheiten für Größen des Magnetfeldes wie die magnetische Flussdichte ${\displaystyle B}${\displaystyle B}. Entweder gilt für eine elektromagnetischen Welle im Vakuum wie in SI-Einheiten ${\displaystyle B=E/c}${\displaystyle B=E/c} oder wie in gaußschen Einheiten ${\displaystyle B=E}${\displaystyle B=E}. Dabei bezeichnet ${\displaystyle E}${\displaystyle E} die elektrische Feldstärke und ${\displaystyle c}${\displaystyle c} die Lichtgeschwindigkeit. Diese unterschiedlichen Festlegungen haben Auswirkungen auf alle Größen, die sich von der magnetischen Flussdichte ableiten. So entspricht etwa das Bohrsche Magneton nur in SI-basierten atomaren Einheiten ${\displaystyle 1/2\;\mathrm {a.u.} \ }${\displaystyle 1/2\;\mathrm {a.u.} \ } Verschiedene konstante Vorfaktoren ergeben sich beim Berechnen der Intensität einer elektromagnetischen Welle aus der elektrischen Feldstärke.

Mit CODATA 2014 wurden insbesondere auch die Werte in SI-Einheiten für die atomaren Einheiten der magnetischen Flussdichte ${\displaystyle B_{\mathrm {au} }=\hbar /(a_{0}^{2}e)}${\displaystyle B_{\mathrm {au} }=\hbar /(a_{0}^{2}e)}, der elektrischen Feldstärke ${\displaystyle {\vec {E}}_{\mathrm {au} }=E_{\mathrm {h} }/(a_{0}e)}${\displaystyle {\vec {E}}_{\mathrm {au} }=E_{\mathrm {h} }/(a_{0}e)}, der Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{\mathrm {au} }=c\alpha }${\displaystyle v_{\mathrm {au} }=c\alpha } und darauf aufbauend des Bohrschen Magnetons etc. berechnet.

• Planck-Einheiten
• natürliche Einheiten

1. ↑ Douglas Rayner Hartree: The calculation of atomic structures. Wiley, New York, NY 1957 (IX, 181 S., Das Kapitel ATOMIC UNITS ist auf S. 5 ff. zu finden). 
2. ↑ Eintrag zu atomic units. In: IUPAC (Hrsg.): Compendium of Chemical Terminology. The "Gold Book". doi:10.1351/goldbook.A00504  – Version: 2.1.6.
3. ↑ Das Internationale Einheitensystem (SI). Deutsche Übersetzung der BIPM-Broschüre „Le Système international d’unités/The International System of Units (8e édition, 2006)". In: PTB-Mitteilungen. Band 117, Nr. 2, 2007 (Online [PDF; 1,4 MB]).  Kapitel 4, Tabelle 7

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