Arkussekans und Arkuskosekans

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Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf [ 0 , π ] {\displaystyle \lbrack 0,,円,円\pi \rbrack } {\displaystyle \lbrack 0,,円,円\pi \rbrack }, und der Definitionsbereich von Kosekans auf [ − π / 2 , π / 2 ] {\displaystyle \lbrack -{\pi /2},,円\pi /2\rbrack } {\displaystyle \lbrack -{\pi /2},,円\pi /2\rbrack } beschränkt. Der Arkussekans wird mit arcsec ( x ) {\displaystyle \operatorname {arcsec} ,円(x)} {\displaystyle \operatorname {arcsec} ,円(x)} bezeichnet und der Arkuskosekans mit arccsc ( x ) {\displaystyle \operatorname {arccsc} ,円(x)} {\displaystyle \operatorname {arccsc} ,円(x)}. Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen sec − 1 ⁡ ( x ) {\displaystyle \sec ^{-1}(x)} {\displaystyle \sec ^{-1}(x)} und csc − 1 {\displaystyle \csc ^{-1}} {\displaystyle \csc ^{-1}}; sie bedeuten aber nicht, dass arcsec {\displaystyle \operatorname {arcsec} } {\displaystyle \operatorname {arcsec} } bzw. arccsc {\displaystyle \operatorname {arccsc} } {\displaystyle \operatorname {arccsc} } die Kehrwerte von sec {\displaystyle \sec } {\displaystyle \sec } und csc {\displaystyle \csc } {\displaystyle \csc } sind.

  Arkussekans Arkuskosekans
Funktions-
Graphen
Definitionsbereich − ∞ < x ≤ − 1 , 1 ≤ x < + ∞ {\displaystyle -\infty <x\leq -1,,円,1円\leq x<+\infty } {\displaystyle -\infty <x\leq -1,,円,1円\leq x<+\infty } − ∞ < x ≤ − 1 , 1 ≤ x < + ∞ {\displaystyle -\infty <x\leq -1,,円,1円\leq x<+\infty } {\displaystyle -\infty <x\leq -1,,円,1円\leq x<+\infty }
Wertebereich 0 ≤ f ( x ) ≤ π {\displaystyle 0\leq f(x)\leq \pi } {\displaystyle 0\leq f(x)\leq \pi } − π 2 ≤ f ( x ) ≤ π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq f(x)\leq {\frac {\pi }{2}}} {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq f(x)\leq {\frac {\pi }{2}}}
Monotonie In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Punkt x = 0 , y = π 2 {\displaystyle x=0,y={\frac {\pi }{2}}} {\displaystyle x=0,y={\frac {\pi }{2}}} Ungerade Funktion arccsc ( x ) = − arccsc ( − x ) {\displaystyle \operatorname {arccsc} ,円(x)=-\operatorname {arccsc} ,円(-x)} {\displaystyle \operatorname {arccsc} ,円(x)=-\operatorname {arccsc} ,円(-x)}
Asymptoten f ( x ) → π 2 {\displaystyle f(x)\to {\frac {\pi }{2}}} {\displaystyle f(x)\to {\frac {\pi }{2}}} für x → ± ∞ {\displaystyle x\to \pm \infty } {\displaystyle x\to \pm \infty } f ( x ) → 0 {\displaystyle f(x)\to 0} {\displaystyle f(x)\to 0} für x → ± ∞ {\displaystyle x\to \pm \infty } {\displaystyle x\to \pm \infty }
Nullstellen x = 1 {\displaystyle x=1\!,円} {\displaystyle x=1\!,円} keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema Minimum bei ( 1 | 0 ) {\displaystyle \left(1|0\right)} {\displaystyle \left(1|0\right)}, Maximum bei ( − 1 | π ) {\displaystyle \left(-1|\pi \right)} {\displaystyle \left(-1|\pi \right)} Minimum bei ( − 1 | − π 2 ) {\displaystyle \left(-1|-{\frac {\pi }{2}}\right)} {\displaystyle \left(-1|-{\frac {\pi }{2}}\right)}, Maximum bei ( 1 | π 2 ) {\displaystyle \left(1|{\frac {\pi }{2}}\right)} {\displaystyle \left(1|{\frac {\pi }{2}}\right)}
Wendepunkte keine keine

Reihenentwicklungen

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Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:

arcsec ⁡ ( x ) = π 2 − ∑ k = 0 ∞ ( 2 k − 1 ) ! ! x − ( 2 k + 1 ) ( 2 k ) ! ! ⋅ ( 2 k + 1 ) ≈ π 2 − x − 1 − 1 6 x − 3 − 3 40 x − 5 {\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}\approx {\frac {\pi }{2}}-x^{-1}-{\frac {1}{6}}x^{-3}-{\frac {3}{40}}x^{-5}} {\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}\approx {\frac {\pi }{2}}-x^{-1}-{\frac {1}{6}}x^{-3}-{\frac {3}{40}}x^{-5}}
arccsc ⁡ ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( 2 k − 1 ) ! ! x − ( 2 k + 1 ) ( 2 k ) ! ! ⋅ ( 2 k + 1 ) = 1 x + 1 2 ⋅ 3 x 3 + 3 2 ⋅ 4 ⋅ 5 x 5 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 x 7 + … {\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}={\frac {1}{x}}\;+\;{\frac {1}{2\cdot 3x^{3}}}\;+\;{\frac {3}{2\!\cdot \!4\cdot 5x^{5}}}\;+\;{\frac {3\!\cdot \!5}{2\!\cdot \!4\!\cdot \!6\cdot 7x^{7}}}\;+\;\ldots } {\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}={\frac {1}{x}}\;+\;{\frac {1}{2\cdot 3x^{3}}}\;+\;{\frac {3}{2\!\cdot \!4\cdot 5x^{5}}}\;+\;{\frac {3\!\cdot \!5}{2\!\cdot \!4\!\cdot \!6\cdot 7x^{7}}}\;+\;\ldots }

Integraldarstellungen

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Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:

arcsec ⁡ ( x ) = ∫ 1 x d t t t 2 − 1 {\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)=\int \limits _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}} {\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)=\int \limits _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}}
arccsc ⁡ ( x ) = ∫ x ∞ d t t t 2 − 1 {\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}} {\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}}

Die Ableitungen sind gegeben durch:

d d x arcsec ⁡ ( x ) = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} (x)={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} (x)={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
d d x arccsc ⁡ ( x ) = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} (x)=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} (x)=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
∫ arcsec ⁡ ( x ) d x = x ⋅ arcsec ⁡ ( x ) − sgn ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | x + x 2 − 1 | ) + C = x ⋅ arcsec ⁡ ( x ) − arcosh ⁡ ( | x | ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsec} (x),円\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C} {\displaystyle \int \operatorname {arcsec} (x),円\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arcsec} (x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C}
∫ arccsc ⁡ ( x ) d x = x ⋅ arccsc ⁡ ( x ) + sgn ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | x + x 2 − 1 | ) + C = x ⋅ arccsc ⁡ ( x ) + arcosh ⁡ ( | x | ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arccsc} (x),円\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C} {\displaystyle \int \operatorname {arccsc} (x),円\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {sgn}(x)\cdot \ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C=x\cdot \operatorname {arccsc} (x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C}

Umrechnung und Beziehungen zu anderen zyklometrischen Funktionen

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arcsec ( x ) = arccos ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \operatorname {arcsec} ,円(x)=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)} {\displaystyle \operatorname {arcsec} ,円(x)=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}
arccsc ( x ) = arcsin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \operatorname {arccsc} ,円(x)=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)} {\displaystyle \operatorname {arccsc} ,円(x)=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}
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