Adjunktion (Kategorientheorie)

Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zwei Funktoren ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}} und ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}} zwischen Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.^[1]

Zwei Funktoren ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}} und ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}} zwischen Kategorien ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} bilden ein adjungiertes Funktorpaar, wenn die Funktoren

${\displaystyle (X,Y)\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(X,FY)}${\displaystyle (X,Y)\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(X,FY)}

und

${\displaystyle (X,Y)\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(GX,Y)}${\displaystyle (X,Y)\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(GX,Y)}

von ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}} in die Kategorie der Mengen Set natürlich äquivalent sind. (Zusammen mit den beiden Kategorien und den beiden Funktoren bildet die natürliche Äquivalenz eine Adjunktion.)

${\displaystyle F}${\displaystyle F} heißt rechtsadjungiert zu ${\displaystyle G}${\displaystyle G}, ${\displaystyle G}${\displaystyle G} heißt linksadjungiert zu ${\displaystyle F}${\displaystyle F}.^{[2] [3]} Man schreibt dies kurz als ${\displaystyle G\dashv F}${\displaystyle G\dashv F} oder ${\displaystyle F\vdash G}${\displaystyle F\vdash G}, das Turnstile-Symbol zeigt auf den linksadjungierten Funktor. In Diagrammen wird dieses Symbol ebenfalls zur Kennzeichnung einer Adjunktionsbeziehung verwendet.

Ist ${\displaystyle t}${\displaystyle t} die natürliche Äquivalenz ${\displaystyle \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(\cdot _{1},F(\cdot _{2}))\to \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(G(\cdot _{1}),\cdot _{2})}${\displaystyle \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(\cdot _{1},F(\cdot _{2}))\to \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(G(\cdot _{1}),\cdot _{2})}, so heißen die natürlichen Transformationen

${\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {D}}\to FG}${\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {D}}\to FG}

${\displaystyle X\mapsto t_{(X,GX)}^{-1}(\operatorname {id} _{GX})}${\displaystyle X\mapsto t_{(X,GX)}^{-1}(\operatorname {id} _{GX})}

und

${\displaystyle \varepsilon \colon GF\to \operatorname {id} _{\mathcal {C}}}${\displaystyle \varepsilon \colon GF\to \operatorname {id} _{\mathcal {C}}}

${\displaystyle Y\mapsto t_{(FY,Y)}(\operatorname {id} _{FY})}${\displaystyle Y\mapsto t_{(FY,Y)}(\operatorname {id} _{FY})}

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen

${\displaystyle G\rightarrow GFG\rightarrow G}${\displaystyle G\rightarrow GFG\rightarrow G}    und    ${\displaystyle F\rightarrow FGF\rightarrow F}${\displaystyle F\rightarrow FGF\rightarrow F}

jeweils die Identität ergeben. Genauer sollen folgende Diagramme kommutativ sein:

Dabei sind ${\displaystyle 1_{G}}${\displaystyle 1_{G}} und ${\displaystyle 1_{F}}${\displaystyle 1_{F}} die identischen Transformationen und die natürlichen Transformationen ${\displaystyle G\eta ,\varepsilon G,\eta F,F\varepsilon }${\displaystyle G\eta ,\varepsilon G,\eta F,F\varepsilon } sind definiert durch ${\displaystyle (G\eta )_{X}:=G(\eta _{X}),(\varepsilon G)_{X}:=\varepsilon _{G(X)},(\eta F)_{Y}:=\eta _{F(Y)},(F\varepsilon )_{Y}:=F(\varepsilon _{Y})}${\displaystyle (G\eta )_{X}:=G(\eta _{X}),(\varepsilon G)_{X}:=\varepsilon _{G(X)},(\eta F)_{Y}:=\eta _{F(Y)},(F\varepsilon )_{Y}:=F(\varepsilon _{Y})} für Objekte ${\displaystyle X}${\displaystyle X} aus ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} und ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}}. Wegen der Form dieser kommutativen Diagramme nennt man die Beziehungen ${\displaystyle 1_{G}=\varepsilon G\circ G\eta }${\displaystyle 1_{G}=\varepsilon G\circ G\eta } und ${\displaystyle 1_{F}=F\varepsilon \circ \eta F}${\displaystyle 1_{F}=F\varepsilon \circ \eta F} auch die Dreiecksgleichungen.^[4]

Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen, die diese Dreiecksgleichungen erfüllen, eine Adjunktion bestimmen, deren Einheit und Koeinheit sie sind.

• Sind ${\displaystyle F}${\displaystyle F} und ${\displaystyle G}${\displaystyle G} quasi-invers zueinander, so ist ${\displaystyle F}${\displaystyle F} rechts- und linksadjungiert zu ${\displaystyle G}${\displaystyle G}.
• Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).
• Ist ${\displaystyle F}${\displaystyle F} rechtsadjungiert zu ${\displaystyle G}${\displaystyle G}, ${\displaystyle \eta \colon \mathrm {id} _{\mathcal {D}}\to FG}${\displaystyle \eta \colon \mathrm {id} _{\mathcal {D}}\to FG} die Einheit, und ${\displaystyle \varepsilon \colon GF\to \mathrm {id} _{\mathcal {C}}}${\displaystyle \varepsilon \colon GF\to \mathrm {id} _{\mathcal {C}}} die Koeinheit der Adjunktion, so ist ${\displaystyle (FG,\eta ,\mu )}${\displaystyle (FG,\eta ,\mu )} mit ${\displaystyle \mu _{X}:=F(\varepsilon _{GX})}${\displaystyle \mu _{X}:=F(\varepsilon _{GX})} eine Monade in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}}.

• Der Funktor ${\displaystyle F\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Vec} _{K}}${\displaystyle F\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Vec} _{K}}, der eine Menge ${\displaystyle I}${\displaystyle I} auf ${\displaystyle F(I)}${\displaystyle F(I)}, den freien ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-Vektorraum über ${\displaystyle I}${\displaystyle I}, dessen Elemente formale ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-Linearkombinationen sind, abbildet, ist linksadjungiert zum Vergissfunktor ${\displaystyle U\colon \mathbf {Vec} _{K}\to \mathbf {Set} }${\displaystyle U\colon \mathbf {Vec} _{K}\to \mathbf {Set} }, der Vektorräumen ihre zugrundeliegende Menge zuordnet. Die ${\displaystyle I}${\displaystyle I}-Komponente der Einheit dieser Adjunktion, ${\displaystyle \eta _{I}\colon I\to U(F(I))}${\displaystyle \eta _{I}\colon I\to U(F(I))}, ist gerade die Familie der kanonischen Basisvektoren von ${\displaystyle F(I)}${\displaystyle F(I)}. Die ${\displaystyle V}${\displaystyle V}-Komponente der Koeinheit, ${\displaystyle \varepsilon _{V}\colon F(U(V))\to V}${\displaystyle \varepsilon _{V}\colon F(U(V))\to V}, ist die lineare Abbildung, die formale ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-Linearkombinationen von Elementen von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} mit den konkreten Operationen von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} auswertet.
• Der Funktor „freie abelsche Gruppe über einer Menge" ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Ab → Set.
• Der Funktor „statte eine Menge mit der diskreten Topologie aus" ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
• Der Funktor „statte eine Menge mit der trivialen Topologie aus" ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
• Der Funktor „disjunkte Vereinigung mit einem einpunktigen Raum" ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top^* → Top.
• Der Funktor „Stone-Čech-Kompaktifizierung" ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie aller topologischer Räume.
• Der Funktor „Vervollständigung" ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der vollständigen metrischen Räume in die Kategorie aller metrischen Räume.
• Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zum Schleifenraum; beide Kategorien sind dabei die punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen von punktierten Abbildungen als Morphismen.
• In einer kartesisch abgeschlossenen Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} ist für jedes Objekt ${\displaystyle S}${\displaystyle S} der Funktor ${\displaystyle (-)\times S\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}${\displaystyle (-)\times S\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} linksadjungiert zum Funktor ${\displaystyle (-)^{S}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}${\displaystyle (-)^{S}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}. Die sich durch diese Funktoren ergebende Monade, bei der die Objektabbildung ${\displaystyle A\mapsto (A\times S)^{S}}${\displaystyle A\mapsto (A\times S)^{S}} ist, ist gerade die Zustandsmonade mit Zustandsobjekt ${\displaystyle S}${\displaystyle S}.
• Fasst man Funktionen als spezielle Relationen auf, so ergibt sich ein Vergissfunktor ${\displaystyle G\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Rel} }${\displaystyle G\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Rel} }, mit ${\displaystyle G(X)=X}${\displaystyle G(X)=X} für Mengen ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und ${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y}${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y} für Funktionen ${\displaystyle f\colon X\to Y}${\displaystyle f\colon X\to Y}. Der zu ${\displaystyle G}${\displaystyle G} rechtsadjungierte Funktor ${\displaystyle F\colon \mathbf {Rel} \to \mathbf {Set} }${\displaystyle F\colon \mathbf {Rel} \to \mathbf {Set} } ordnet Mengen ihre Potenzmenge und Relationen ${\displaystyle r\subseteq X\times Y}${\displaystyle r\subseteq X\times Y} die Funktion ${\displaystyle M\mapsto \{y\mid (x,y)\in r,x\in M\}}${\displaystyle M\mapsto \{y\mid (x,y)\in r,x\in M\}} zu. Die ${\displaystyle X}${\displaystyle X}-Komponente der Einheit der Adjunktion, ${\displaystyle \eta _{X}\colon X\to {\mathcal {P}}X}${\displaystyle \eta _{X}\colon X\to {\mathcal {P}}X}, ist ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}${\displaystyle x\mapsto \{x\}}. Die ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y}-Komponente der Koeinheit der Adjunktion, ${\displaystyle \varepsilon _{Y}\subseteq {\mathcal {P}}Y\times Y}${\displaystyle \varepsilon _{Y}\subseteq {\mathcal {P}}Y\times Y}, ist gerade die auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}Y}${\displaystyle {\mathcal {P}}Y} beschränkte Elementrelation.

• Steve Awodey: Category Theory (= Oxford Logic Guides. Band 49). Clarendon Press, Oxford 2006, ISBN 978-0-19-856861-2, 9. Kapitel. 
• Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen. Springer Spektrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-47067-1, 7. Kapitel, doi:10.1007/978-3-662-47068-8 . 
• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-90035-7, IV. Kapitel. 
• Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. Teubner, Stuttgart 1969, ISBN 3-663-12190-9, doi:10.1007/978-3-663-12190-9 . 
• H. Schubert: Kategorien II (= Heidelberger Taschenbuch. Band 66). Springer, Berlin 1970, ISBN 3-540-04866-9, doi:10.1007/978-3-642-95156-5 . 

1. ↑ D. M. Kan: Adjoint Functors. In: Transaction American Mathematical Society, 1958, Band 87, S. 294–329
2. ↑ P. J. Hilton, U. Stammbach: A Course in Homological Algebra. Springer-Verlag, 1970, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel II, Absatz 7: Adjoint Functors
3. ↑ H. Schubert: Kategorien II (= Heidelberger Taschenbuch. Band 66). Springer, Berlin 1970, ISBN 3-540-04866-9, doi:10.1007/978-3-642-95156-5 . 
4. ↑ Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 0-486-80903-X, Definition 4.2.5, S. 123. 

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