Abbildungstorus

In der Mathematik sind Abbildungstori topologische Räume, mit denen topologische Abbildungen beschrieben werden.

Sei ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ein topologischer Raum und ${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}${\displaystyle f\colon X\rightarrow X} ein Homöomorphismus. Der Abbildungstorus von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} ist definiert als Quotient

${\displaystyle T_{f}:=X\times \left[0,1\right]/\sim }${\displaystyle T_{f}:=X\times \left[0,1\right]/\sim }

von ${\displaystyle X\times \left[0,1\right]}${\displaystyle X\times \left[0,1\right]} bzgl. der Äquivalenzrelation ${\displaystyle (x,1)\sim (f(x),0)}${\displaystyle (x,1)\sim (f(x),0)} für alle ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X}.

Der Kreis ${\displaystyle S^{1}}${\displaystyle S^{1}} kann als Quotientenraum ${\displaystyle S^{1}=\left[0,1\right]/\sim }${\displaystyle S^{1}=\left[0,1\right]/\sim } mit ${\displaystyle 0\sim 1}${\displaystyle 0\sim 1} aufgefasst werden, damit definiert die Projektion auf den zweiten Faktor ${\displaystyle p\colon X\times \left[0,1\right]\rightarrow \left[0,1\right]}${\displaystyle p\colon X\times \left[0,1\right]\rightarrow \left[0,1\right]} ein Faserbündel

${\displaystyle p\colon T_{f}\rightarrow S^{1}}${\displaystyle p\colon T_{f}\rightarrow S^{1}}.

Umgekehrt ist jedes Faserbündel über dem Kreis als Abbildungstorus eines Homöomorphismus ${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}${\displaystyle f\colon X\rightarrow X} darstellbar. Die Abbildung ${\displaystyle f}${\displaystyle f} wird als Monodromie des Faserbündels bezeichnet.

Abbildungstori spielen eine wichtige Rolle in Thurstons Zugang zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.

Homöomorphismen kompakter Flächen fallen in eine von drei Kategorien: periodisch, reduzibel oder pseudo-Anosov. Thurston hat bewiesen, dass ein 3-dimensionaler Abbildungstorus genau dann hyperbolisch ist, wenn die Monodromie pseudo-Anosov ist.^[1]

Ian Agol hat 2012 gezeigt, dass jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung besitzt, die sich als Abbildungstorus darstellen lässt.^[2]

In der Gruppentheorie definiert man Abbildungstori für Endomorphismen freier Gruppen. Sei ${\displaystyle F(X)=\langle X\mid -\rangle }${\displaystyle F(X)=\langle X\mid -\rangle } die von einer Menge ${\displaystyle X}${\displaystyle X} erzeugte freie Gruppe und ${\displaystyle \phi \colon F(X)\rightarrow F(X)}${\displaystyle \phi \colon F(X)\rightarrow F(X)} ein Endomorphismus. Dann ist der Abbildungstorus definiert durch die Präsentierung

${\displaystyle T_{\phi }:=\langle t,X\mid t^{-1}xt=\phi (x)\ \forall x\in X\rangle }${\displaystyle T_{\phi }:=\langle t,X\mid t^{-1}xt=\phi (x)\ \forall x\in X\rangle }.

1. ↑ Hyperbolic Structures on 3-manifolds, II: Surface groups and 3-manifolds which fiber over the circle
2. ↑ The virtual Haken conjecture Documenta Math. 18 (2013) 1045--1087

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