51-Eck

Regelmäßiges 51-Eck

Das 51-Eck oder Pentakontahenagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch einundfünfzig Punkte und deren einundfünfzig Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Das – im Folgenden ausschließlich beschriebene – regelmäßige 51-Eck ist ein nicht überschlagenes Polygon mit 51 gleich langen Seiten auf einem gemeinsamen Umkreis. Es ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen (${\displaystyle 51=2^{0}\cdot 3\cdot 17}${\displaystyle 51=2^{0}\cdot 3\cdot 17}) darstellbar ist.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden das regelmäßige 51-Eck.

Größen eines regelmäßigen 51-Ecks
Innenwinkel	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {49}{51}}\cdot 180^{\circ }\\\alpha &\approx 172{,}941176^{\circ }\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {49}{51}}\cdot 180^{\circ }\\\alpha &\approx 172{,}941176^{\circ }\end{aligned}}}
Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel)	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &={\frac {360^{\circ }}{51}}\\\mu &\approx 7{,}058823^{\circ }\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &={\frac {360^{\circ }}{51}}\\\mu &\approx 7{,}058823^{\circ }\end{aligned}}}
Seitenlänge	${\displaystyle {\begin{aligned}a&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\a&\approx 0{,}1231218\cdot R\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}a&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\a&\approx 0{,}1231218\cdot R\end{aligned}}}
Umkreisradius	${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}}\\R&\approx {\frac {a}{0{,}123121}}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}}\\R&\approx {\frac {a}{0{,}123121}}\end{aligned}}}
Inkreisradius	${\displaystyle {\begin{aligned}r&=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\r&\approx 0{,}998103\cdot R\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}r&=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\r&\approx 0{,}998103\cdot R\end{aligned}}}
Höhe	${\displaystyle {\begin{aligned}h&=R+r=R\cdot \left(1+\cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\right)\\h&\approx 1{,}998103\cdot R\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}h&=R+r=R\cdot \left(1+\cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\right)\\h&\approx 1{,}998103\cdot R\end{aligned}}}
Flächeninhalt	${\displaystyle {\begin{aligned}A&=51\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\A&\approx 3{,}133651\cdot R^{2}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}A&=51\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\A&\approx 3{,}133651\cdot R^{2}\end{aligned}}}

Der Innenwinkel ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable ${\displaystyle n}${\displaystyle n} für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl ${\displaystyle 51}${\displaystyle 51} einzusetzen.

${\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {51-2}{51}}\cdot 180^{\circ }={\frac {49}{51}}\cdot 180^{\circ }\approx 172{,}941176^{\circ }}${\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {51-2}{51}}\cdot 180^{\circ }={\frac {49}{51}}\cdot 180^{\circ }\approx 172{,}941176^{\circ }}

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } wird von zwei benachbarten Umkreisradien ${\displaystyle R}${\displaystyle R} eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable ${\displaystyle n}${\displaystyle n} die Zahl ${\displaystyle 51}${\displaystyle 51} einzusetzen.

${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{n}}={\frac {360^{\circ }}{51}}\approx 7{,}058823^{\circ }}${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{n}}={\frac {360^{\circ }}{51}}\approx 7{,}058823^{\circ }}

Das 51-Eck ist in einundfünfzig gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge) ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}${\displaystyle {\frac {a}{2}}}, der Hypotenuse (Umkreisradius) ${\displaystyle R}${\displaystyle R} und dem halben Zentriwinkel ${\displaystyle {\frac {\mu }{2}}}${\displaystyle {\frac {\mu }{2}}} erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge ${\displaystyle a}${\displaystyle a} wie folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {\mu }{2}}\right)\\&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\a&\approx 0{,}1231218\cdot R,\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}a&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {\mu }{2}}\right)\\&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\a&\approx 0{,}1231218\cdot R,\end{aligned}}}

durch Umformen erhält man den Umkreisradius ${\displaystyle R}${\displaystyle R}

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}}\\R&\approx {\frac {a}{0{,}1231218}}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}}\\R&\approx {\frac {a}{0{,}1231218}}\end{aligned}}}

Der Inkreisradius ${\displaystyle r}${\displaystyle r} ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge ${\displaystyle a}${\displaystyle a} des 51-Ecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius ${\displaystyle r}${\displaystyle r}

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=R\cdot \cos \left({\frac {\mu }{2}}\right)=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\r&\approx 0{,}998103\cdot R\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}r&=R\cdot \cos \left({\frac {\mu }{2}}\right)=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\r&\approx 0{,}998103\cdot R\end{aligned}}}

Die Höhe ${\displaystyle h}${\displaystyle h} eines regelmäßigen 51-Ecks ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius ${\displaystyle r}${\displaystyle r} und Umkreisradius ${\displaystyle R}${\displaystyle R}.

${\displaystyle h=R+r=R+R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)=R\cdot \left(1+\cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\right)}${\displaystyle h=R+r=R+R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)=R\cdot \left(1+\cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\right)}

${\displaystyle h\approx 1{,}998103\cdot R}${\displaystyle h\approx 1{,}998103\cdot R}

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein ${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}a\cdot h_{a}}${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}a\cdot h_{a}}. Für die Berechnung des 51-Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge ${\displaystyle a}${\displaystyle a} und des Inkreisradius ${\displaystyle r}${\displaystyle r} herangezogen, worin ${\displaystyle r}${\displaystyle r} für die Höhe ${\displaystyle h_{a}}${\displaystyle h_{a}} eingesetzt wird.

${\displaystyle a=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}${\displaystyle a=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}

${\displaystyle h_{a}=r=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\;}${\displaystyle h_{a}=r=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\;} daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\Delta }&={\frac {1}{2}}\cdot R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\end{aligned}}\;}${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\Delta }&={\frac {1}{2}}\cdot R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\end{aligned}}\;} zusammengefasst ergibt sich

${\displaystyle A_{\Delta }=R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}${\displaystyle A_{\Delta }=R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}

${\displaystyle A_{\Delta }\approx 0{,}0614441\cdot R^{2}}${\displaystyle A_{\Delta }\approx 0{,}0614441\cdot R^{2}}

und für die Fläche des gesamten 51-Ecks

${\displaystyle A=51\cdot A_{\Delta }=51\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}${\displaystyle A=51\cdot A_{\Delta }=51\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}

${\displaystyle A\approx 3{,}133651\cdot R^{2}}${\displaystyle A\approx 3{,}133651\cdot R^{2}}

Wie oben in Regelmäßiges 51-Eck beschrieben, ist das 51-Eck als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar. Da sich die Anzahl seiner Ecken aus der Multiplikation der beiden Fermatschen Primzahlen ${\displaystyle 3}${\displaystyle 3} und ${\displaystyle 17}${\displaystyle 17} ergibt, kann das regelmäßige 51-Eck durch eine Erweiterung einer bereits bekannten Konstruktion des Siebzehnecks gefunden werden. Die zwei Polygone Dreieck und Siebzehneck (deren Anzahl der Seiten entspricht den Fermatschen Primzahlen ${\displaystyle 3}${\displaystyle 3} bzw. ${\displaystyle 17}${\displaystyle 17}) werden im gemeinsamen Umkreis mit einem gemeinsamen Eckpunkt übereinander gelegt, so wie dies z. B. Johannes Kepler in seinem Werk WELT-HARMONIK in der Konstruktion des Fünfzehnecks aufzeigt^[1] .

Als Basis für die Konstruktion kann prinzipiell eine der drei in Siebzehneck beschriebenen Methoden ausgewählt werden. Aus Gründen des sehr geringen erforderlichen Aufwands wird die Methode von Duane W. DeTemple,^[2] aus dem Jahr 1991, verwendet.

In der Zeichnung des Siebzehnecks nach Duane W. DeTemple (Bild 1) ist gut erkennbar, die Mittelsenkrechte ab ${\displaystyle Q'}${\displaystyle Q'} schneidet nicht nur den Kreisbogen ${\displaystyle c_{2},}${\displaystyle c_{2},} sondern auch den Umkreis. Wird dieser Schnittpunkt als ${\displaystyle P_{34}}${\displaystyle P_{34}} markiert, liegt er direkt neben dem Eckpunkt ${\displaystyle P_{11}.}${\displaystyle P_{11}.} Damit ergibt sich der Zentriwinkel ${\displaystyle P_{34}OP_{0}}${\displaystyle P_{34}OP_{0}} mit der Winkelweite ${\displaystyle 120^{\circ }}${\displaystyle 120^{\circ }} eines gleichseitigen Dreiecks, der quasi zum Zentriwinkel des Siebzehnecks ${\displaystyle P_{0}OP_{1}}${\displaystyle P_{0}OP_{1}} geometrisch im Uhrzeigersinn addiert ist.

Folglich gilt für

Zentriwinkel ${\displaystyle \theta _{1}}${\displaystyle \theta _{1}} des Kreissektors ${\displaystyle OP_{11}P_{0}}${\displaystyle OP_{11}P_{0}}

${\displaystyle \theta _{1}={\frac {6}{17}}\cdot 360^{\circ }=127{,}0588235294117647\ldots ^{\circ },}${\displaystyle \theta _{1}={\frac {6}{17}}\cdot 360^{\circ }=127{,}0588235294117647\ldots ^{\circ },}

Zentriwinkel ${\displaystyle \theta _{2}}${\displaystyle \theta _{2}} des Kreissektors ${\displaystyle OP_{11}P_{34}}${\displaystyle OP_{11}P_{34}}

${\displaystyle \theta _{2}={\frac {6}{17}}\cdot 360^{\circ }-120^{\circ }=7{,}0588235294117647\ldots ^{\circ },}${\displaystyle \theta _{2}={\frac {6}{17}}\cdot 360^{\circ }-120^{\circ }=7{,}0588235294117647\ldots ^{\circ },} wegen

Zentriwinkel ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } des 51-Ecks

${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{51}}=7{,}0588235294117647\ldots ^{\circ }}${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{51}}=7{,}0588235294117647\ldots ^{\circ }} gilt auch

${\displaystyle \theta _{2}=\mu .}${\displaystyle \theta _{2}=\mu .}

Somit ist die Strecke ${\displaystyle {\overline {P_{11}P_{34}}}}${\displaystyle {\overline {P_{11}P_{34}}}} eine Seitenlänge ${\displaystyle a}${\displaystyle a} und ${\displaystyle P_{34}}${\displaystyle P_{34}} ein Eckpunkt des gesuchten 51-Ecks.

Die Position des Eckpunktes ${\displaystyle P_{34}}${\displaystyle P_{34}} des 51-Ecks ergibt sich auch aus der Anzahl der Seitenlängen ${\displaystyle a_{A}}${\displaystyle a_{A}} die im Zentriwinkel ${\displaystyle 120^{\circ }}${\displaystyle 120^{\circ }} enthalten sind

${\displaystyle a_{A}={\frac {120^{\circ }}{7{,}0588235294117647}}=17,}${\displaystyle a_{A}={\frac {120^{\circ }}{7{,}0588235294117647}}=17,} daraus folgt

ausgehend von dem nicht mitgezählten Eckpunkt ${\displaystyle P_{0},}${\displaystyle P_{0},} entspricht der im Uhrzeigersinn 17. Eckpunkt dem Eckpunkt ${\displaystyle P_{34}}${\displaystyle P_{34}} der gegen den Uhrzeigersinn abgezählt ist.

Der 17. Eckpunkt des 51-Ecks liegt demnach, bezogen auf die Mittelachse ${\displaystyle {\overline {QP_{0}}}}${\displaystyle {\overline {QP_{0}}}}, genau gegenüber dem 34. Eckpunkt.

Die, im Vergleich zum Original, geänderten Bezeichner im Bild 2 entsprechen denen der heute üblichen.

• Zeichnen einer Geraden ${\displaystyle x}${\displaystyle x} (analytisch eine X-Achse) und bestimmen eines Punktes ${\displaystyle M_{1}}${\displaystyle M_{1}} darauf, den späteren Mittelpunkt des Polygons (analytisch ein Koordinatenursprung).
• Zeichnen eines Kreises als Umkreis (analytisch ein Einheitskreis) ${\displaystyle C_{1}}${\displaystyle C_{1}} um ${\displaystyle M_{1}}${\displaystyle M_{1}}. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte, den Eckpunkt ${\displaystyle P_{0}}${\displaystyle P_{0}} des Polygons und der Gegenpunkt ${\displaystyle B}${\displaystyle B}.
• Errichten der Senkrechten ${\displaystyle y}${\displaystyle y} (analytisch eine Y-Achse) auf der Gerade ${\displaystyle x}${\displaystyle x} in ${\displaystyle M_{1}}${\displaystyle M_{1}}. Es ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle Y_{0}}${\displaystyle Y_{0}}.
• Halbierung der Strecke ${\displaystyle {\overline {BM_{1}}}}${\displaystyle {\overline {BM_{1}}}} in ${\displaystyle M_{2}}${\displaystyle M_{2}}.
• Errichten der Senkrechte auf der Geraden in ${\displaystyle M_{2}}${\displaystyle M_{2}}. Die beiden Schnittpunkte mit ${\displaystyle C_{1}}${\displaystyle C_{1}} sind die Eckpunkte ${\displaystyle P_{17}}${\displaystyle P_{17}} und ${\displaystyle P_{34}}${\displaystyle P_{34}} des 51-Ecks.
• Zeichnen des Kreisbogens ${\displaystyle C_{2}}${\displaystyle C_{2}} um ${\displaystyle M_{2}}${\displaystyle M_{2}} mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {M_{2}P_{0}}}}${\displaystyle {\overline {M_{2}P_{0}}}}. Der Schnittpunkt mit der Senkrechten ist ${\displaystyle M_{Cc1}}${\displaystyle M_{Cc1}}.
• Nun wird um ${\displaystyle M_{Cc1}}${\displaystyle M_{Cc1}} der erste Carlyle-Kreis ${\displaystyle C_{C1}}${\displaystyle C_{C1}} durch den Punkt ${\displaystyle Y_{0}}${\displaystyle Y_{0}} gezogen; die Schnittpunkte sind ${\displaystyle X_{Cc1,1}}${\displaystyle X_{Cc1,1}} und ${\displaystyle X_{Cc1,2}}${\displaystyle X_{Cc1,2}}.
• Die Strecke ${\displaystyle {\overline {M_{1}X_{Cc1,1}}}}${\displaystyle {\overline {M_{1}X_{Cc1,1}}}} wird halbiert. Man erhält ${\displaystyle M_{Cc2}}${\displaystyle M_{Cc2}}.
• Zeichnen eines zweiten Carlyle-Kreises ${\displaystyle C_{C2}}${\displaystyle C_{C2}} um ${\displaystyle M_{Cc2}}${\displaystyle M_{Cc2}} durch ${\displaystyle Y_{0}}${\displaystyle Y_{0}}. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte ${\displaystyle X_{Cc2,1}}${\displaystyle X_{Cc2,1}} und ${\displaystyle X_{Cc2,2}}${\displaystyle X_{Cc2,2}} (letzterer nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
• Die Strecke ${\displaystyle {\overline {M_{1}X_{Cc1,2}}}}${\displaystyle {\overline {M_{1}X_{Cc1,2}}}} wird halbiert. Man erhält ${\displaystyle M_{Cc3}}${\displaystyle M_{Cc3}}.
• Zeichnen eines dritten Carlyle-Kreises ${\displaystyle C_{C3}}${\displaystyle C_{C3}} um ${\displaystyle M_{Cc3}}${\displaystyle M_{Cc3}} durch ${\displaystyle Y_{0}}${\displaystyle Y_{0}}. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte ${\displaystyle X_{Cc3,1}}${\displaystyle X_{Cc3,1}} und ${\displaystyle X_{Cc3,2}}${\displaystyle X_{Cc3,2}} (letzterer ebenfalls nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
• Abtragen der Strecke ${\displaystyle {\overline {M_{1}X_{Cc2,1}}}}${\displaystyle {\overline {M_{1}X_{Cc2,1}}}} auf ${\displaystyle y}${\displaystyle y} von ${\displaystyle Y_{0}}${\displaystyle Y_{0}} aus ab. Man erhält Punkt ${\displaystyle Y_{1}}${\displaystyle Y_{1}}
• Verbinden der Punkte ${\displaystyle Y_{1}}${\displaystyle Y_{1}} und ${\displaystyle X_{Cc3,1}}${\displaystyle X_{Cc3,1}} mit einer Strecke.
• Halbieren der Strecke ${\displaystyle {\overline {Y_{1}X_{Cc3,1}}}}${\displaystyle {\overline {Y_{1}X_{Cc3,1}}}}. Man erhält Punkt ${\displaystyle M_{Cc4}}${\displaystyle M_{Cc4}}.
• Zeichnen eines vierten Carlyle-Kreises ${\displaystyle C_{C4}}${\displaystyle C_{C4}} um ${\displaystyle M_{Cc4}}${\displaystyle M_{Cc4}} durch ${\displaystyle Y_{0}}${\displaystyle Y_{0}}. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte ${\displaystyle X_{Cc4,1}}${\displaystyle X_{Cc4,1}} und ${\displaystyle X_{Cc4,2}}${\displaystyle X_{Cc4,2}} (letzterer nicht beschriftet, da er nicht weiter benötigt wird).
• Zeichnen eines Kreisbogens um ${\displaystyle X_{Cc4,1}}${\displaystyle X_{Cc4,1}} mit dem Umkreisradius ${\displaystyle {\overline {M_{1}B}}}${\displaystyle {\overline {M_{1}B}}}. Die Schnittpunkte mit dem Umkreis ${\displaystyle C_{1}}${\displaystyle C_{1}} sind die zwei zu ${\displaystyle P_{0}}${\displaystyle P_{0}} benachbarten Punkte des 17-Ecks und damit die Punkte ${\displaystyle P_{3}}${\displaystyle P_{3}} und ${\displaystyle P_{48}}${\displaystyle P_{48}} des 51-Ecks.
• Durch wiederholtes Abtragen der Strecke ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{3}}}}${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{3}}}} auf dem Umkreis ${\displaystyle C_{1}}${\displaystyle C_{1}}, beginnend mit ${\displaystyle P_{0}}${\displaystyle P_{0}}, erhält man die fehlenden Punkte eines regelmäßigen 17-Ecks. Bis hierhin entspricht die Konstruktion der des 17-Ecks.
• Durch wiederholtes Abtragen der Strecke ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{3}}}}${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{3}}}} auf dem Umkreis ${\displaystyle C_{1}}${\displaystyle C_{1}}, ausgehend von den Punkten ${\displaystyle P_{17}}${\displaystyle P_{17}} (blau) und ${\displaystyle P_{34}}${\displaystyle P_{34}} (rot), erhält man alle noch fehlenden Eckpunkte des 51-Ecks, welche miteinander zum 51-Eck verbunden werden können.

Architektur

Der Querschnitt des RWE-Turms in Essen ist ein regelmäßiges 51-Eck.

• H. Maser: Die Teilung des Kreises ..., Artikel 365., in Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik, Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen; abgerufen am 15. März 2018.

1. ↑ Johannes Kepler: WELT-HARMONIK. XLIV. Satz., Seite des Fünfzehnecks, Seite 44. In: Google Books. R. OLDENBURG VERLAG 2006, übersetzt und eingeleitet von MAX CASPAR 1939, S. 401, abgerufen am 21. Februar 2018. 
2. ↑ Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions. (Memento vom 11. August 2011 im Internet Archive ). The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), S. 101–104 (JSTOR:2323939) aufgerufen am 16. Februar 2018.

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Kategorie:

• Polygon