2-Brücken-Knoten

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind 2-Brücken-Knoten bzw. 2-Brücken-Verschlingungen (auch: Knoten bzw. Verschlingungen mit 2 Brücken) eine Klasse von Knoten bzw. Verschlingungen. Sie wurden unter dem Namen Viergeflechte 1956 von Horst Schubert klassifiziert. Weil sie durch eine rationale Zahl ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}${\displaystyle {\frac {p}{q}}} klassifiziert werden können, werden sie häufig auch als rationale Knoten bzw. rationale Verschlingungen bezeichnet.

Ein 2-Brūckenknoten ist ein Knoten ${\displaystyle K}${\displaystyle K}, dessen Brückenzahl

${\displaystyle br(K)=2}${\displaystyle br(K)=2}

ist. Das bedeutet, dass er sich so in ${\displaystyle 4}${\displaystyle 4} Intervalle zerlegen lässt, dass für eine geeignete Ebene ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}} jeweils ${\displaystyle 2}${\displaystyle 2} Intervalle in beiden von der Ebene berandeten Halbräumen liegen. (Äquivalent kann man auch verlangen, dass ${\displaystyle 2}${\displaystyle 2} Intervalle in einer Ebene und die anderen beiden Intervalle in einem der berandeten Halbräume liegen.)

Analog definiert man eine Verschlingung mit 2 Brücken als eine Verschlingung ${\displaystyle L}${\displaystyle L} mit Brückenzahl ${\displaystyle br(L)=2}${\displaystyle br(L)=2}.

Eine äquivalente Definition besagt, dass der Knoten bzw. die Verschlingung nach einer geeigneten Isotopie genau 2 Maxima bzgl. einer Höhenfunktion ${\displaystyle h\colon S^{3}\to \mathbb {R} }${\displaystyle h\colon S^{3}\to \mathbb {R} } hat.

Aus der unten stehenden Klassifikation ergibt sich, dass man jede Verschlingung mit 2 Brücken wie im Bild rechts darstellen kann, wobei ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} } die Anzahl der Halbtwists in der jeweiligen Box bezeichnet und für gerade bzw. ungerade ${\displaystyle i}${\displaystyle i} positive ${\displaystyle a_{i}}${\displaystyle a_{i}} links- bzw. rechtshändigen Halbtwists entsprechen.

Diese Darstellung wird als Conway-Normalform bezeichnet.

Man kann stets erreichen, dass alle ${\displaystyle a_{i}}${\displaystyle a_{i}} dasselbe Vorzeichen haben.^[1] Insbesondere gibt die Conway-Normalform dann ein alternierendes Knotendiagramm.^[2]

Die über einer 2-Brücken-Verschlingung verzweigte 2-fache Überlagerung der 3-Sphäre ist ein Linsenraum ${\displaystyle L(p,q)}${\displaystyle L(p,q)}. Die 2-Brücken-Verschlingungen werden durch diese Linsenräume klassifiziert. Man bezeichnet deshalb mit ${\displaystyle K(p,q)}${\displaystyle K(p,q)} diejenige Verschlingung, für die man den Linsenraum ${\displaystyle L(p,q)}${\displaystyle L(p,q)} erhält.

Insbesondere entsprechen zwei rationale Zahlen ${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}} und ${\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}${\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}} genau dann isotopen Verschlingungen, wenn

${\displaystyle p_{1}=p_{2}}${\displaystyle p_{1}=p_{2}} und entweder ${\displaystyle q_{1}\equiv q_{2}\mod p}${\displaystyle q_{1}\equiv q_{2}\mod p} oder ${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv 1\mod p}${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv 1\mod p} ist.

Modulo dieser Identitäten werden 2-Brücken-Verschlingungen also durch eine rationale Zahl ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}${\displaystyle {\frac {p}{q}}} klassifiziert, wobei man ${\displaystyle p>0}${\displaystyle p>0} und ${\displaystyle -p<q<p}${\displaystyle -p<q<p} annehmen kann.^[3]

In der oben beschriebenen Conway-Normalform entspricht ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}${\displaystyle {\frac {p}{q}}} dem Kettenbruch ${\displaystyle \left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right]}${\displaystyle \left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right]}:

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\;,円\ddots }}}}}}}}}${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\;,円\ddots }}}}}}}}}

(Die Kettenbruchdarstellung einer rationalen Zahl ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}${\displaystyle {\frac {p}{q}}} ist nicht eindeutig, aber alle Kettenbruchzerlegungen ergeben denselben Knoten ${\displaystyle K(p,q)}${\displaystyle K(p,q)}.)

Das Spiegelbild eines 2-Brücken-Knotens ${\displaystyle K(p,q)}${\displaystyle K(p,q)} ist ${\displaystyle K(p,-q)}${\displaystyle K(p,-q)}. Einen orientierungsumdrehenden Homöomorphismus ${\displaystyle (S^{3},K(p_{1},q_{1}))\to (S^{3},K(p_{2},q_{2}))}${\displaystyle (S^{3},K(p_{1},q_{1}))\to (S^{3},K(p_{2},q_{2}))} zwischen zwei unterschiedlichen 2-Brücken-Knoten gibt es genau dann, wenn

${\displaystyle p_{1}=p_{2}}${\displaystyle p_{1}=p_{2}} und entweder ${\displaystyle q_{1}\equiv -q_{2}\mod p}${\displaystyle q_{1}\equiv -q_{2}\mod p} oder ${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv -1\mod p}${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv -1\mod p} ist.

Insbesondere ist ein 2-Brücken-Knoten genau dann amphichiral, wenn ${\displaystyle q^{2}\equiv -1\ mod\ p}${\displaystyle q^{2}\equiv -1\ mod\ p} ist.

Für 2-Brücken-Verschlingungen (mit 2 Komponenten) gibt es einen orientierungserhaltenden Homöomorphismus genau dann, wenn

${\displaystyle p_{1}=p_{2}}${\displaystyle p_{1}=p_{2}} und entweder ${\displaystyle q_{1}\equiv q_{2}\mod 2p}${\displaystyle q_{1}\equiv q_{2}\mod 2p} oder ${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv 1\mod 2p}${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv 1\mod 2p} ist.^[4]

Die einzigen Torusknoten unter den 2-Brücken-Knoten sind die ${\displaystyle (\pm 2,n)}${\displaystyle (\pm 2,n)}-Torusknoten.^[5]

Alle 2-Brücken-Knoten, die keine Torusknoten sind, sind hyperbolische Knoten.

Die Kleeblattschlinge ist der 2-Brücken-Knoten ${\displaystyle K(3,1)}${\displaystyle K(3,1)} mit Conway-Normalform ${\displaystyle \left[3\right]}${\displaystyle \left[3\right]}, der Achterknoten ist der 2-Brücken-Knoten ${\displaystyle K(5,2)}${\displaystyle K(5,2)} mit Conway-Normalform ${\displaystyle \left[2,2\right]}${\displaystyle \left[2,2\right]}.

KnotInfo gibt eine Liste aller 2-Brücken-Knoten mit bis zu 12 Kreuzungen und berechnet die bekannten Knoteninvarianten.^[6]

${\displaystyle K(p,q)}${\displaystyle K(p,q)} ist genau dann ein Knoten, wenn ${\displaystyle p}${\displaystyle p} ungerade ist. Wenn ${\displaystyle p}${\displaystyle p} gerade ist, dann besteht die 2-Brücken-Verschlingung aus zwei Komponenten.

Die Knotengruppe der 2-Brücken-Verschlingung ${\displaystyle K(p,q)}${\displaystyle K(p,q)} hat die Präsentierung

${\displaystyle \langle a,b\mid ab^{\epsilon _{1}}a^{\epsilon _{2}}\ldots b^{\epsilon _{\alpha _{1}}}a^{-1}b^{-\epsilon _{\alpha _{1}}}\ldots a^{-\epsilon _{2}}b^{-\epsilon _{1}}\rangle }${\displaystyle \langle a,b\mid ab^{\epsilon _{1}}a^{\epsilon _{2}}\ldots b^{\epsilon _{\alpha _{1}}}a^{-1}b^{-\epsilon _{\alpha _{1}}}\ldots a^{-\epsilon _{2}}b^{-\epsilon _{1}}\rangle }

mit ${\displaystyle \epsilon _{k}:=\left(-1\right)^{\left[{\frac {kp}{q}}\right]}}${\displaystyle \epsilon _{k}:=\left(-1\right)^{\left[{\frac {kp}{q}}\right]}}.

Die inkompressiblen Flächen in den Komplementen von 2-Brückenknoten wurden von Hatcher und Thurston klassifiziert.^[7] Insbesondere bewiesen sie, dass es keine geschlossenen inkompressiblen Flächen gibt. Wenn ${\displaystyle K(p,q)}${\displaystyle K(p,q)} kein Torusknoten ist, dann gibt jede Dehn-Chirurgie eine irreduzible 3-Mannigfaltigkeit und fast alle Dehn-Chirurgien geben Mannigfaltigkeiten, die keine Haken-Mannigfaltigkeit und auch keine Seifert-Faserung sind.

Bereits Schubert bewies, dass die 2-fachen verzweigten Überlagerungen Linsenräume sind. Die Klassifikation aller endlichen verzweigten Überlagerungen wurde von Minkus erarbeitet.^[8]

Die Komplemente hyperbolischer 2-Brückenknoten (mit Ausnahme des Achterknotens) sind zu keinen anderen Knotenkomplementen außer sich selbst kommensurabel.^[9]

Es gibt Formeln für die Berechnung des HOMFLY-Polynoms und insbesondere des Jones-Polynoms von 2-Brücken-Knoten.^[10]

• Montesinos-Knoten

• Horst Schubert: Knoten mit zwei Brücken, Mathematische Zeitschrift 65, 133–170 (1956). doi:10.1007/BF01473875
• John Conway: An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties. Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967) 329–358, Pergamon, Oxford (1970). PDF
• Laurent Siebenmann: Exercices sur les noeuds rationnels, Université Paris-Sud (1975).
• Louis H. Kauffman, Sofia Lambropoulou: On the classification of rational knots, L' Enseignement Mathématique, 49, 357–410 (2003). ArXiv
• C. C. Adams, Das Knotenbuch. Einführung in die mathematische Theorie der Knoten, Spektrum Akademischer Verlag (1995), ISBN 3-86025-338-7

• Tabelle rationaler Knoten mit bis zu 16 Kreuzungen

1. ↑ Exercise 9.2.6 in: Kunio Murasugi: Knot theory & its applications. Translated from the 1993 Japanese original by Bohdan Kurpita. Reprint of the 1996 translation, Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2008, ISBN 978-0-8176-4718-6
2. ↑ Carl Bankwitz, Hans Georg Schumann: Über Viergeflechte. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 10 (1934), no. 1, 263–284.
3. ↑ Murasugi, op.cit., S. 189.
4. ↑ Schubert, op. cit.
5. ↑ Jennifer Schultens: Bridge numbers of torus knots. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 143 (2007), no. 3, 621–625. (Der Satz geht ursprünglich auf Horst Schubert zurück.)
6. ↑ KnotInfo:
   • Tabelle der 2-Brücken-Knoten
   • Berechnung aller Invarianten
7. ↑ Allen Hatcher, William Thurston: Incompressible surfaces in 2-bridge knot complements. Invent. Math. 79 (1985), no. 2, 225–246.
8. ↑ Jerome Minkus: The branched cyclic coverings of 2 bridge knots and links. Mem. Amer. Math. Soc. 35 (1982), no. 255
9. ↑ Alan Reid, Genevieve Walsh: Commensurability classes of 2-bridge knot complements. Algebr. Geom. Topol. 8 (2008), no. 2, 1031–1057.
10. ↑ Shigekazu Nakabo: Formulas on the HOMFLY and Jones polynomials of 2-bridge knots and links. Kobe J. Math. 17 (2000), no. 2, 131–144.

• Knoten und Verschlingungen