(39,19,9)-Blockplan

Der (39,19,9)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 39 ×ばつ 39 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 19 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 9 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 39, k = 19, λ = 9), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Dieser symmetrische 2-(39,19,9)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 10 genannt.

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 39, k = 19, λ = 9 und damit folgende Eigenschaften:

• Er besteht aus 39 Blöcken und 39 Punkten.
• Jeder Block enthält genau 19 Punkte.
• Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 9 Punkten.
• Jeder Punkt liegt auf genau 19 Blöcken.
• Je 2 Punkte sind durch genau 9 Blöcke verbunden.

Es existieren mindestens 5,87·10¹⁴ nichtisomorphe 2-(39,19,9) - Blockpläne^[1] . Drei dieser Lösungen sind:

• Lösung 1 mit der Signatur 19·18, 19·30, 1·684. Sie enthält 741 Ovale der Ordnung 2.
• Lösung 2 mit der Signatur 4·6, 12·10, 12·14, 4·18, 3·24, 3·40, 1·84. Sie enthält 741 Ovale der Ordnung 2.
• Lösung 3 mit der Signatur 4·8, 9·12, 8·16, 9·20, 4·24, 1·36, 1·40, 1·44, 1·68, 1·72. Sie enthält 741 Ovale der Ordnung 2.

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

• Lösung 1

 2 5 6 7 8 10 12 17 18 20 22 25 26 27 28 30 32 37 38
 3 6 7 8 9 11 13 18 19 20 23 26 27 28 29 31 33 38 39
 1 4 7 8 9 10 12 14 19 20 21 24 27 28 29 30 32 34 39
 1 2 5 8 9 10 11 13 15 20 21 22 25 28 29 30 31 33 35
 2 3 6 9 10 11 12 14 16 20 22 23 26 29 30 31 32 34 36
 3 4 7 10 11 12 13 15 17 20 23 24 27 30 31 32 33 35 37
 4 5 8 11 12 13 14 16 18 20 24 25 28 31 32 33 34 36 38
 5 6 9 12 13 14 15 17 19 20 25 26 29 32 33 34 35 37 39
 1 6 7 10 13 14 15 16 18 20 21 26 27 30 33 34 35 36 38
 2 7 8 11 14 15 16 17 19 20 22 27 28 31 34 35 36 37 39
 1 3 8 9 12 15 16 17 18 20 21 23 28 29 32 35 36 37 38
 2 4 9 10 13 16 17 18 19 20 22 24 29 30 33 36 37 38 39
 1 3 5 10 11 14 17 18 19 20 21 23 25 30 31 34 37 38 39
 1 2 4 6 11 12 15 18 19 20 21 22 24 26 31 32 35 38 39
 1 2 3 5 7 12 13 16 19 20 21 22 23 25 27 32 33 36 39
 1 2 3 4 6 8 13 14 17 20 21 22 23 24 26 28 33 34 37
 2 3 4 5 7 9 14 15 18 20 22 23 24 25 27 29 34 35 38
 3 4 5 6 8 10 15 16 19 20 23 24 25 26 28 30 35 36 39
 1 4 5 6 7 9 11 16 17 20 21 24 25 26 27 29 31 36 37
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2 5 6 7 8 10 12 17 18 21 23 24 29 31 33 34 35 36 39
 3 6 7 8 9 11 13 18 19 21 22 24 25 30 32 34 35 36 37
 1 4 7 8 9 10 12 14 19 22 23 25 26 31 33 35 36 37 38
 1 2 5 8 9 10 11 13 15 23 24 26 27 32 34 36 37 38 39
 2 3 6 9 10 11 12 14 16 21 24 25 27 28 33 35 37 38 39
 3 4 7 10 11 12 13 15 17 21 22 25 26 28 29 34 36 38 39
 4 5 8 11 12 13 14 16 18 21 22 23 26 27 29 30 35 37 39
 5 6 9 12 13 14 15 17 19 21 22 23 24 27 28 30 31 36 38
 1 6 7 10 13 14 15 16 18 22 23 24 25 28 29 31 32 37 39
 2 7 8 11 14 15 16 17 19 21 23 24 25 26 29 30 32 33 38
 1 3 8 9 12 15 16 17 18 22 24 25 26 27 30 31 33 34 39
 2 4 9 10 13 16 17 18 19 21 23 25 26 27 28 31 32 34 35
 1 3 5 10 11 14 17 18 19 22 24 26 27 28 29 32 33 35 36
 1 2 4 6 11 12 15 18 19 23 25 27 28 29 30 33 34 36 37
 1 2 3 5 7 12 13 16 19 24 26 28 29 30 31 34 35 37 38
 1 2 3 4 6 8 13 14 17 25 27 29 30 31 32 35 36 38 39
 2 3 4 5 7 9 14 15 18 21 26 28 30 31 32 33 36 37 39
 3 4 5 6 8 10 15 16 19 21 22 27 29 31 32 33 34 37 38
 1 4 5 6 7 9 11 16 17 22 23 28 30 32 33 34 35 38 39

• Lösung 2

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34
 1 2 3 5 10 15 16 17 18 20 21 22 23 25 30 35 36 37 38
 1 2 6 7 11 12 15 16 19 20 21 22 26 27 31 32 35 36 39
 1 3 6 7 13 14 17 18 19 20 21 23 26 27 33 34 37 38 39
 1 4 5 8 11 13 15 17 19 20 21 24 25 28 31 33 35 37 39
 1 4 5 9 12 14 16 18 19 20 21 24 25 29 32 34 36 38 39
 1 6 8 9 10 11 14 16 17 20 21 26 28 29 30 31 34 36 37
 1 7 8 9 10 12 13 15 18 20 21 27 28 29 30 32 33 35 38
 2 3 8 9 11 14 15 18 19 20 22 23 28 29 31 34 35 38 39
 2 4 6 8 10 12 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 37 38 39
 2 4 7 9 11 13 16 17 18 20 22 24 27 29 31 33 36 37 38
 2 5 6 9 12 13 14 15 17 20 22 25 26 29 32 33 34 35 37
 2 5 7 8 10 13 14 16 19 20 22 25 27 28 30 33 34 36 39
 3 4 6 9 10 13 15 16 19 20 23 24 26 29 30 33 35 36 39
 3 4 7 8 12 14 15 16 17 20 23 24 27 28 32 34 35 36 37
 3 5 6 8 11 12 13 16 18 20 23 25 26 28 31 32 33 36 38
 3 5 7 9 10 11 12 17 19 20 23 25 27 29 30 31 32 37 39
 4 5 6 7 10 11 14 15 18 20 24 25 26 27 30 31 34 35 38
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
 1 2 3 4 10 11 12 13 14 25 26 27 28 29 35 36 37 38 39
 1 2 3 5 10 15 16 17 18 24 26 27 28 29 31 32 33 34 39
 1 2 6 7 11 12 15 16 19 23 24 25 28 29 30 33 34 37 38
 1 3 6 7 13 14 17 18 19 22 24 25 28 29 30 31 32 35 36
 1 4 5 8 11 13 15 17 19 22 23 26 27 29 30 32 34 36 38
 1 4 5 9 12 14 16 18 19 22 23 26 27 28 30 31 33 35 37
 1 6 8 9 10 11 14 16 17 22 23 24 25 27 32 33 35 38 39
 1 7 8 9 10 12 13 15 18 22 23 24 25 26 31 34 36 37 39
 2 3 8 9 11 14 15 18 19 21 24 25 26 27 30 32 33 36 37
 2 4 6 8 10 12 17 18 19 21 23 25 27 29 31 33 34 35 36
 2 4 7 9 11 13 16 17 18 21 23 25 26 28 30 32 34 35 39
 2 5 6 9 12 13 14 15 17 21 23 24 27 28 30 31 36 38 39
 2 5 7 8 10 13 14 16 19 21 23 24 26 29 31 32 35 37 38
 3 4 6 9 10 13 15 16 19 21 22 25 27 28 31 32 34 37 38
 3 4 7 8 12 14 15 16 17 21 22 25 26 29 30 31 33 38 39
 3 5 6 8 11 12 13 16 18 21 22 24 27 29 30 34 35 37 39
 3 5 7 9 10 11 12 17 19 21 22 24 26 28 33 34 35 36 38
 4 5 6 7 10 11 14 15 18 21 22 23 28 29 32 33 36 37 39

• Lösung 3

 1 5 6 12 14 15 16 17 19 20 21 25 26 32 34 35 36 37 39
 2 5 7 10 12 13 14 18 19 20 22 25 27 30 32 33 34 38 39
 3 5 8 10 11 12 13 16 17 20 23 25 28 30 31 32 33 36 37
 4 5 9 11 13 15 16 18 19 20 24 25 29 31 33 35 36 38 39
 1 2 3 4 10 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 36 37 38 39
 1 7 8 9 10 13 15 17 19 20 21 27 28 29 30 33 35 37 39
 2 6 8 9 11 12 17 18 19 20 22 26 28 29 31 32 37 38 39
 3 6 7 9 13 14 16 17 18 20 23 26 27 29 33 34 36 37 38
 4 6 7 8 10 12 15 16 18 20 24 26 27 28 30 32 35 36 38
 2 3 7 8 11 14 15 16 19 20 22 23 27 28 31 34 35 36 39
 3 4 5 6 8 9 10 14 19 20 23 24 25 26 28 29 30 34 39
 1 2 3 5 6 8 13 15 18 20 21 22 23 25 26 28 33 35 38
 2 3 4 5 7 9 12 15 17 20 22 23 24 25 27 29 32 35 37
 1 2 5 6 7 9 10 11 16 20 21 22 25 26 27 29 30 31 36
 1 4 5 7 8 11 14 17 18 20 21 24 25 27 28 31 34 37 38
 1 3 4 6 7 11 12 13 19 20 21 23 24 26 27 31 32 33 39
 1 3 9 10 11 12 14 15 18 20 21 23 29 30 31 32 34 35 38
 2 4 6 10 11 13 14 15 17 20 22 24 26 30 31 33 34 35 37
 1 2 4 8 9 12 13 14 16 20 21 22 24 28 29 32 33 34 36
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 1 5 6 12 14 15 16 17 19 22 23 24 27 28 29 30 31 33 38
 2 5 7 10 12 13 14 18 19 21 23 24 26 28 29 31 35 36 37
 3 5 8 10 11 12 13 16 17 21 22 24 26 27 29 34 35 38 39
 4 5 9 11 13 15 16 18 19 21 22 23 26 27 28 30 32 34 37
 1 2 3 4 10 16 17 18 19 25 26 27 28 29 31 32 33 34 35
 1 7 8 9 10 13 15 17 19 22 23 24 25 26 31 32 34 36 38
 2 6 8 9 11 12 17 18 19 21 23 24 25 27 30 33 34 35 36
 3 6 7 9 13 14 16 17 18 21 22 24 25 28 30 31 32 35 39
 4 6 7 8 10 12 15 16 18 21 22 23 25 29 31 33 34 37 39
 2 3 7 8 11 14 15 16 19 21 24 25 26 29 30 32 33 37 38
 3 4 5 6 8 9 10 14 19 21 22 27 31 32 33 35 36 37 38
 1 2 3 5 6 8 13 15 18 24 27 29 30 31 32 34 36 37 39
 2 3 4 5 7 9 12 15 17 21 26 28 30 31 33 34 36 38 39
 1 2 5 6 7 9 10 11 16 23 24 28 32 33 34 35 37 38 39
 1 4 5 7 8 11 14 17 18 22 23 26 29 30 32 33 35 36 39
 1 3 4 6 7 11 12 13 19 22 25 28 29 30 34 35 36 37 38
 1 3 9 10 11 12 14 15 18 22 24 25 26 27 28 33 36 37 39
 2 4 6 10 11 13 14 15 17 21 23 25 27 28 29 32 36 38 39
 1 2 4 8 9 12 13 14 16 23 25 26 27 30 31 35 37 38 39

Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung

• Lösung 1

. O . . O O O O . O . O . . . . O O . O . O . . O O O O . O . O . . . . O O .
. . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O
O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O
O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . .
. O O . . O . . O O O O . O . O . . . O . O O . . O . . O O O O . O . O . . .
. . O O . . O . . O O O O . O . O . . O . . O O . . O . . O O O O . O . O . .
. . . O O . . O . . O O O O . O . O . O . . . O O . . O . . O O O O . O . O .
. . . . O O . . O . . O O O O . O . O O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O
O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O O . . . . O O . . O . . O O O O . O .
. O . . . . O O . . O . . O O O O . O O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O
O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O O . O . . . . O O . . O . . O O O O .
. O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O
O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O
O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O
O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O
O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . .
. O O O O . O . O . . . . O O . . O . O . O O O O . O . O . . . . O O . . O .
. . O O O O . O . O . . . . O O . . O O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O
O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O O . . O O O O . O . O . . . . O O . .
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O . O O . . . . O . O . O O O O . . O
. . O . . O O O O . O . O . . . . O O . O O . O O . . . . O . O . O O O O . .
O . . O . . O O O O . O . O . . . . O . . O O . O O . . . . O . O . O O O O .
O O . . O . . O O O O . O . O . . . . . . . O O . O O . . . . O . O . O O O O
. O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O . . O O . O O . . . . O . O . O O O
. . O O . . O . . O O O O . O . O . . . O O . . O O . O O . . . . O . O . O O
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• Lösung 2

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• Lösung 3

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Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

• Lösung 1

 1 2

• Lösung 2

 1 2

• Lösung 3

 1 2

• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2. 
• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9. 

1. ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.

• Blockplan