(36,15,6)-Blockplan

Der (36,15,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 36 ×ばつ 36 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 15 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 36, k = 15, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 36, k = 15, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften:

• Er besteht aus 36 Blöcken und 36 Punkten.
• Jeder Block enthält genau 15 Punkte.
• Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten.
• Jeder Punkt liegt auf genau 15 Blöcken.
• Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.

Es existieren mindestens 25634 nichtisomorphe 2-(36,15,6) - Blockpläne^[1] . Eine dieser Lösungen ist:

• Lösung 1 mit der Signatur 9·2, 6·3, 3·6, 3·8, 6·9, 4·12, 3·20, 2·51. Sie enthält 16 Ovale der Ordnung 3.

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

• Lösung 1

 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
 1 3 4 5 6 7 8 17 18 19 20 21 22 23 24
 1 2 4 5 6 7 8 25 26 27 28 29 30 31 32
 1 2 3 5 9 10 11 17 18 19 25 26 27 33 34
 1 2 3 4 9 10 11 20 21 22 28 29 30 35 36
 1 2 3 7 12 13 14 17 18 23 28 29 31 33 35
 1 2 3 6 12 13 14 20 21 24 25 26 32 34 36
 1 2 3 9 12 15 16 19 22 23 24 27 30 31 32
 1 4 5 8 12 13 14 19 22 27 30 33 34 35 36
 1 4 5 11 12 15 16 17 20 23 25 28 31 34 36
 1 4 5 10 12 15 16 18 21 24 26 29 32 33 35
 1 6 7 8 9 10 11 23 24 31 32 33 34 35 36
 1 6 7 9 14 15 16 17 20 22 26 29 30 33 34
 1 6 7 9 13 15 16 18 19 21 25 27 28 35 36
 1 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 25 29 31 32
 1 8 10 11 13 14 15 18 20 23 24 26 27 28 30
 2 4 6 10 13 15 19 21 22 23 26 28 31 33 34
 2 4 6 11 14 16 19 20 23 24 25 27 29 33 35
 2 4 8 9 14 15 17 18 21 23 25 30 32 33 36
 2 5 7 10 13 16 18 22 23 24 25 29 30 34 36
 2 5 7 11 14 15 17 19 22 24 26 28 32 35 36
 2 5 8 9 13 15 17 20 21 24 27 29 31 34 35
 2 6 8 10 12 16 17 18 19 20 28 30 32 34 35
 2 7 8 11 12 16 18 20 21 22 26 27 31 33 36
 3 4 7 10 14 15 18 19 20 27 29 31 32 34 36
 3 4 7 11 13 16 17 21 24 27 28 30 32 33 34
 3 4 8 9 14 16 18 22 24 25 26 28 31 34 35
 3 5 6 10 14 16 17 21 23 26 27 30 31 35 36
 3 5 6 11 13 15 18 20 22 25 30 31 32 33 35
 3 5 8 9 13 16 19 20 23 26 28 29 32 33 36
 3 6 8 10 12 15 17 22 24 25 27 28 29 33 36
 3 7 8 11 12 15 19 21 23 25 26 29 30 34 35
 4 6 9 11 12 13 17 18 19 24 26 29 30 31 36
 4 7 9 10 12 13 17 20 22 23 25 26 27 32 35
 5 6 9 11 12 14 18 21 22 23 27 28 29 32 34
 5 7 9 10 12 14 19 20 21 24 25 28 30 31 33

Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung

• Lösung 1

. O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O . O O O O O O . . . . . . . . O O O O O O O O . . . . . . . . . . . .
O O . O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O . . . .
O O O . O . . . O O O . . . . . O O O . . . . . O O O . . . . . O O . .
O O O O . . . . O O O . . . . . . . . O O O . . . . . O O O . . . . O O
O O O . . . O . . . . O O O . . O O . . . . O . . . . O O . O . O . O .
O O O . . O . . . . . O O O . . . . . O O . . O O O . . . . . O . O . O
O O O . . . . . O . . O . . O O . . O . . O O O . . O . . O O O . . . .
O . . O O . . O . . . O O O . . . . O . . O . . . . O . . O . . O O O O
O . . O O . . . . . O O . . O O O . . O . . O . O . . O . . O . . O . O
O . . O O . . . . O . O . . O O . O . . O . . O . O . . O . . O O . O .
O . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . O O . . . . . . O O O O O O
O . . . . O O . O . . . . O O O O . . O . O . . . O . . O O . . O O . .
O . . . . O O . O . . . O . O O . O O . O . . . O . O O . . . . . . O O
O . . . . . . O . O O . O O . O O . O . O O . . O . . . O . O O . . . .
O . . . . . . O . O O . O O O . . O . O . . O O . O O O . O . . . . . .
. O . O . O . . . O . . O . O . . . O . O O O . . O . O . . O . O O . .
. O . O . O . . . . O . . O . O . . O O . . O O O . O . O . . . O . O .
. O . O . . . O O . . . . O O . O O . . O . O . O . . . . O . O O . . O
. O . . O . O . . O . . O . . O . O . . . O O O O . . . O O . . . O . O
. O . . O . O . . . O . . O O . O . O . . O . O . O . O . . . O . . O O
. O . . O . . O O . . . O . O . O . . O O . . O . . O . O . O . . O O .
. O . . . O . O . O . O . . . O O O O O . . . . . . . O . O . O . O O .
. O . . . . O O . . O O . . . O . O . O O O . . . O O . . . O . O . . O
. . O O . . O . . O . . . O O . . O O O . . . . . . O . O . O O . O . O
. . O O . . O . . . O . O . . O O . . . O . . O . . O O . O . O O O . .
. . O O . . . O O . . . . O . O . O . . . O . O O O . O . . O . . O O .
. . O . O O . . . O . . . O . O O . . . O . O . . O O . . O O . . . O O
. . O . O O . . . . O . O . O . . O . O . O . . O . . . . O O O O . O .
. . O . O . . O O . . . O . . O . . O O . . O . . O . O O . . O O . . O
. . O . . O . O . O . O . . O . O . . . . O . O O . O O O . . . O . . O
. . O . . . O O . . O O . . O . . . O . O . O . O O . . O O . . . O O .
. . . O . O . . O . O O O . . . O O O . . . . O . O . . O O O . . . . O
. . . O . . O . O O . O O . . . O . . O . O O . O O O . . . . O . . O .
. . . . O O . . O . O O . O . . . O . . O O O . . . O O O . . O . O . .
. . . . O . O . O O . O . O . . . . O O O . . O O . . O . O O . O . . .

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier sind alle 16 Ovale maximaler Ordnung für Lösung 1 dieses Blockplans (in jeder Zeile ist ein Oval durch die Menge seiner Punkte dargestellt):

• Lösung 1 (sämtliche Ovale)

 8 17 26
 8 18 29 
 8 20 25 
 8 21 28 
 9 17 28 
 9 18 20 
 9 21 26 
 9 25 29
 12 17 21 
 12 18 25 
 12 20 29 
 12 26 28 
 19 24 34 
 19 31 35 
 24 30 35 
 30 31 34

• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2. 
• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9. 

1. ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.

• Blockplan