σ-Algebra der τ-Vergangenheit

Die σ-Algebra der τ-Vergangenheit,^[1] auch Vergangenheit von τ^[2] genannt, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein spezielles Mengensystem, genauer eine σ-Algebra. Sie entsteht durch Kombination einer Filtrierung mit einer Stoppzeit und findet meist Anwendung bei Aussagen über gestoppte Prozesse, also stochastische Prozesse, die an einem zufälligen Zeitpunkt angehalten werden. Zu diesen Aussagen gehören beispielsweise das Optional Stopping Theorem, das Optional Sampling Theorem und die Definition der starken Markow-Eigenschaft.

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} sowie eine Filtrierung ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}} bezüglich der Ober-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}${\displaystyle {\mathcal {A}}} und eine Stoppzeit ${\displaystyle \tau }${\displaystyle \tau } bezüglich ${\displaystyle \mathbb {F} }${\displaystyle \mathbb {F} }. Dann heißt

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }=\{A\in {\mathcal {A}},円|,円A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}{\text{ für alle }}t\in T\}}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }=\{A\in {\mathcal {A}},円|,円A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}{\text{ für alle }}t\in T\}}

die σ-Algebra der τ-Vergangenheit.

Sind ${\displaystyle \sigma ,\tau }${\displaystyle \sigma ,\tau } Stoppzeiten und ist ${\displaystyle \sigma \leq \tau }${\displaystyle \sigma \leq \tau }, so ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\sigma }\subset {\mathcal {F}}_{\tau }}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\sigma }\subset {\mathcal {F}}_{\tau }}.

Des Weiteren ist ${\displaystyle \tau }${\displaystyle \tau } immer ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}-messbar.

Ist ${\displaystyle \tau <\infty }${\displaystyle \tau <\infty }, so lässt sich zu einem stochastischen Prozess

${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}

eine „gesampelte" Zufallsvariable

${\displaystyle X_{\tau }\colon \omega \mapsto X_{\tau (\omega )}(\omega )}${\displaystyle X_{\tau }\colon \omega \mapsto X_{\tau (\omega )}(\omega )}

definieren. Ist zusätzlich ${\displaystyle T}${\displaystyle T} höchstens abzählbar und der stochastische Prozess adaptiert, so ist ${\displaystyle X_{\tau }}${\displaystyle X_{\tau }} immer ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}-messbar. Die Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\tau }}${\displaystyle X_{\tau }} sollte nicht mit dem gestoppten Prozess ${\displaystyle X^{\tau }}${\displaystyle X^{\tau }} verwechselt werden, insbesondere da die Notation in der Literatur nicht einheitlich ist.

Anschaulich besteht die Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\tau }}${\displaystyle X_{\tau }} im Falle der Indexmenge ${\displaystyle T=\mathbb {N} }${\displaystyle T=\mathbb {N} } auf der Menge ${\displaystyle \{\tau =0\}}${\displaystyle \{\tau =0\}} aus der Zufallsvariable ${\displaystyle X_{0}}${\displaystyle X_{0}}, auf der Menge ${\displaystyle \{\tau =1\}}${\displaystyle \{\tau =1\}} aus ${\displaystyle X_{1}}${\displaystyle X_{1}} etc. Damit ergibt sich in diesem Fall die alternative Definition

${\displaystyle X_{\tau }=\sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {1} _{\{\tau =n\}}X_{n}}${\displaystyle X_{\tau }=\sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {1} _{\{\tau =n\}}X_{n}}.

• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972 . 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3 . 
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8 . 

1. ↑ Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 197.
2. ↑ Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2009, S. 278.

• Σ-Algebra
• Stochastischer Prozess