Koflächenformel

Die Koflächenformel ist ein Formel aus der geometrischen Maßtheorie, welche die Substitutionsregel der Integralrechnung für Lipschitz-stetige Funktionen ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} und ${\displaystyle m\geq n}${\displaystyle m\geq n} verallgemeinert. Ein Spezialfall der Koflächenformel ist der Satz von Fubini, diesen erhält man dann, wenn ${\displaystyle m>n}${\displaystyle m>n} und ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} eine orthogonale Projektion ist. Die analoge Formel für den Fall ${\displaystyle m\leq n}${\displaystyle m\leq n} heißt Flächenformel.

Die Koflächenformel wurde 1959 von Herbert Federer publiziert.^[1]

Notation:

• ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} },
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} ist eine Lipschitz-Funktion
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}} ist das ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionale Hausdorff-Maß
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {L}}^{m}} ist das ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionale Lebesgue-Maß
• ${\displaystyle J_{n}f}${\displaystyle J_{n}f} ist die verallgemeinerte ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionale Jacobi-Determinante von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}, sie ist im Fall ${\displaystyle m\geq n}${\displaystyle m\geq n} wie folgt definiert:

${\displaystyle J_{n}f(x)={\sqrt {\operatorname {det} \left[Df(x)Df(x)^{\mathsf {T}}\right]}}.}${\displaystyle J_{n}f(x)={\sqrt {\operatorname {det} \left[Df(x)Df(x)^{\mathsf {T}}\right]}}.}

Falls ${\displaystyle m\geq n}${\displaystyle m\geq n}, dann gilt

${\displaystyle \int _{A}J_{n}f(x)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {H}}^{m-n}\left(A\cap f^{-1}(y)\right)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}(y)}${\displaystyle \int _{A}J_{n}f(x)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {H}}^{m-n}\left(A\cap f^{-1}(y)\right)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}(y)}

für jede Lebesgue-messbare Menge ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{m}}.^[2]

Ein Korollar ist folgende Verallgemeinerung: Sei ${\displaystyle u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{m},{\mathcal {L}}^{m})}${\displaystyle u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{m},{\mathcal {L}}^{m})}, dann ist

${\displaystyle \int _{A}u(x)J_{n}f(x)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{A\cap f^{-1}(y)}u(x)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m-n}(x)\right)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}(y)}${\displaystyle \int _{A}u(x)J_{n}f(x)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{A\cap f^{-1}(y)}u(x)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m-n}(x)\right)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}(y)}

für jede Lebesgue-messbare Menge ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{m}}.^[3]

• Sei ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} } Lipschitz und ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{m}}, dann gilt

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{m}}|\nabla f(x)|\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(x)=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {H}}^{m-1}\left(A\cap f^{-1}(y)\right)\mathrm {d} y.}${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{m}}|\nabla f(x)|\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(x)=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {H}}^{m-1}\left(A\cap f^{-1}(y)\right)\mathrm {d} y.}

• (Satz von Fubini): Für ${\displaystyle m>n}${\displaystyle m>n} ist ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m-n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m-n}} und falls ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m-n}\to \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m-n}\to \mathbb {R} ^{n}} mit ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n}\dots ,x_{m})\mapsto (x_{1},\dots ,x_{n})}${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n}\dots ,x_{m})\mapsto (x_{1},\dots ,x_{n})} eine orthogonale Projektion auf die erste Komponente ist, dann wird die Koflächenformel gerade zum Satz von Fubini.^[4]

• L.C. Evans und R.F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. Hrsg.: CRC Press. 2015, ISBN 978-1-4822-4238-6. 
• Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0 . 

1. ↑ Herbert Federer: Curvature measures. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 93, 1959, S. 418–491. 
2. ↑ Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, S. 135, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0 . 
3. ↑ L.C. Evans und R.F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. Hrsg.: CRC Press. 2015, ISBN 978-1-4822-4238-6, S. 139. 
4. ↑ Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, S. 136, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0 . 

• Maßtheorie