Beta-Verteilung

Die Beta-Verteilung ist eine Familie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen über dem Intervall ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)}, parametrisiert durch zwei Parameter, die häufig als p und q – oder auch als α und β – bezeichnet werden. In der bayesschen Statistik ist die Beta-Verteilung die konjugierte a-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Bernoulli-, Binomial-, der negativen Binomial- und der geometrischen Verteilung.

Die Beta-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Beta} (p,q)}${\displaystyle \operatorname {Beta} (p,q)} ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (p,q)}}x^{p-1}(1-x)^{q-1}.}${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (p,q)}}x^{p-1}(1-x)^{q-1}.}

Außerhalb des Intervalls ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)} wird sie durch ${\displaystyle f(x)=0}${\displaystyle f(x)=0} fortgesetzt. Für ${\displaystyle p,q\geq 1}${\displaystyle p,q\geq 1} lässt sich ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)} durch ${\displaystyle [0,1]}${\displaystyle [0,1]} ersetzen. Die Beta-Verteilung besitzt die reellen Parameter ${\displaystyle p}${\displaystyle p} und ${\displaystyle q}${\displaystyle q} (in den nebenstehenden Grafiken ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } und ${\displaystyle \beta }${\displaystyle \beta }). Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird ${\displaystyle p,q>0}${\displaystyle p,q>0} (bzw. ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}${\displaystyle \alpha ,\beta >0}) gefordert.

Der Vorfaktor ${\displaystyle 1/\mathrm {B} (p,q)}${\displaystyle 1/\mathrm {B} (p,q)} dient der Normierung. Der Ausdruck

${\displaystyle \mathrm {B} (p,q)={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}=\int _{0}^{1}u^{p-1}(1-u)^{q-1},円\mathrm {d} u}${\displaystyle \mathrm {B} (p,q)={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}=\int _{0}^{1}u^{p-1}(1-u)^{q-1},円\mathrm {d} u}

steht für die Betafunktion, nach der die Verteilung benannt ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Gamma }${\displaystyle \Gamma } die Gammafunktion.

Die Verteilungsfunktion ist entsprechend

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{falls}}\;x\leq 0,\\I_{x}(p,q)&{\text{falls}}\;0<x\leq 1,\1円&{\text{falls}}\;x>1\\\end{cases}}}${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{falls}}\;x\leq 0,\\I_{x}(p,q)&{\text{falls}}\;0<x\leq 1,\1円&{\text{falls}}\;x>1\\\end{cases}}}

mit

${\displaystyle I_{x}(p,q):={\frac {1}{\mathrm {B} (p,q)}}\int _{0}^{x}u^{p-1}(1-u)^{q-1}\mathrm {d} u.}${\displaystyle I_{x}(p,q):={\frac {1}{\mathrm {B} (p,q)}}\int _{0}^{x}u^{p-1}(1-u)^{q-1}\mathrm {d} u.}

Die Funktion ${\displaystyle I_{x}(p,q)}${\displaystyle I_{x}(p,q)} heißt auch regularisierte unvollständige Betafunktion.

Der Erwartungswert berechnet sich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {p}{p+q}}}${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {p}{p+q}}}.

Der Modus, also die Maximalstelle der Dichtefunktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f}, ist für ${\displaystyle p>1}${\displaystyle p>1}, ${\displaystyle q>1}${\displaystyle q>1}

${\displaystyle \left(1+{\frac {q-1}{p-1}}\right)^{-1}={\frac {p-1}{p+q-2}}}${\displaystyle \left(1+{\frac {q-1}{p-1}}\right)^{-1}={\frac {p-1}{p+q-2}}}.

Die Varianz ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}}${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}}.

Für die Standardabweichung ergibt sich

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}}}${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}}}.

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {q}{p(p+q+1)}}}}${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {q}{p(p+q+1)}}}}.

Die Schiefe ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {2(q-p){\sqrt {p+q+1}}}{(p+q+2){\sqrt {pq}}}}}${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {2(q-p){\sqrt {p+q+1}}}{(p+q+2){\sqrt {pq}}}}}.

Aus der momenterzeugenden Funktion ergibt sich für die k-ten Momente

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})=\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {p+r}{p+q+r}}}${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})=\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {p+r}{p+q+r}}}.

Die Beta-Verteilung ist für ${\displaystyle p=q}${\displaystyle p=q} symmetrisch um ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}${\displaystyle x={\frac {1}{2}}} mit der Schiefe ${\displaystyle \operatorname {v} (X)=0}${\displaystyle \operatorname {v} (X)=0}.

Die momenterzeugende Funktion einer betaverteilten Zufallsgröße lautet

${\displaystyle M_{X}(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {p+k}{p+q+k}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}}${\displaystyle M_{X}(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {p+k}{p+q+k}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}}.

Mit der hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle _{1}F_{1}}${\displaystyle _{1}F_{1}} erhält man die Darstellung

${\displaystyle M_{X}(t)={}_{1}F_{1}(p;q;t)}${\displaystyle M_{X}(t)={}_{1}F_{1}(p;q;t)}.

Analog zur momenterzeugenden Funktion erhält man die charakteristische Funktion

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={}_{1}F_{1}(p;q;it)}${\displaystyle \varphi _{X}(t)={}_{1}F_{1}(p;q;it)}.

• Für ${\displaystyle p=q=1}${\displaystyle p=q=1} ergibt sich als Spezialfall die stetige Gleichverteilung.
• Für ${\displaystyle p=q={\frac {1}{2}}}${\displaystyle p=q={\frac {1}{2}}} ergibt sich als Spezialfall die Arcsin-Verteilung.

• Für ${\displaystyle p\rightarrow 0}${\displaystyle p\rightarrow 0} und konstantes ${\displaystyle q}${\displaystyle q} geht die Beta-Verteilung in eine Bernoulli-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Ber} \left(0\right)}${\displaystyle \operatorname {Ber} \left(0\right)} über (eine entsprechende Zufallsgröße hat dann fast sicher den Wert null). Dasselbe gilt für ${\displaystyle q\rightarrow \infty }${\displaystyle q\rightarrow \infty } bei konstantem ${\displaystyle p}${\displaystyle p}.
• Für ${\displaystyle q\rightarrow 0}${\displaystyle q\rightarrow 0} und konstantes ${\displaystyle p}${\displaystyle p} geht die Beta-Verteilung in eine Bernoulli-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Ber} \left(1\right)}${\displaystyle \operatorname {Ber} \left(1\right)} über (eine entsprechende Zufallsgröße hat dann fast sicher den Wert eins). Dasselbe gilt für ${\displaystyle p\rightarrow \infty }${\displaystyle p\rightarrow \infty } bei konstantem ${\displaystyle q}${\displaystyle q}.

Beides sieht man leicht durch entsprechende Grenzwertbildungen der Formeln für Erwartungswert und Varianz: Der Erwartungswert geht gegen null bzw. eins, die Varianz beide Male gegen null.

Wenn ${\displaystyle X\sim \gamma (p_{1},b)}${\displaystyle X\sim \gamma (p_{1},b)} und ${\displaystyle Y\sim \gamma (p_{2},b)}${\displaystyle Y\sim \gamma (p_{2},b)} unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern ${\displaystyle p_{1},b}${\displaystyle p_{1},b} bzw. ${\displaystyle p_{2},b}${\displaystyle p_{2},b}, dann ist die Größe ${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}}${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}} betaverteilt mit Parametern ${\displaystyle p_{1}}${\displaystyle p_{1}} und ${\displaystyle p_{2}}${\displaystyle p_{2}}, kurz

${\displaystyle \operatorname {Beta} (p_{1},p_{2})\sim {\frac {\gamma (p_{1},b)}{\gamma (p_{1},b)+\gamma (p_{2},b)}}.}${\displaystyle \operatorname {Beta} (p_{1},p_{2})\sim {\frac {\gamma (p_{1},b)}{\gamma (p_{1},b)+\gamma (p_{2},b)}}.}

Sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}} unabhängige auf ${\displaystyle [0,1]}${\displaystyle [0,1]} stetig gleich verteilte Zufallsvariable, dann sind die Ordnungsstatistiken ${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\dotsc ,X_{(n)}}${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\dotsc ,X_{(n)}} betaverteilt. Genauer gilt

${\displaystyle X_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n-k+1)}${\displaystyle X_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n-k+1)}

für ${\displaystyle k=1,\dotsc ,n}${\displaystyle k=1,\dotsc ,n}.

Eine Binomialverteilung, deren Parameter ${\displaystyle p}${\displaystyle p} betaverteilt ist, nennt man Beta-Binomialverteilung. Dies ist ein spezieller Fall einer Mischverteilung.

Die Beta-Verteilung kann aus zwei Gammaverteilungen bestimmt werden: Der Quotient ${\displaystyle X=U/(U+V)}${\displaystyle X=U/(U+V)} aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen ${\displaystyle U}${\displaystyle U} und ${\displaystyle V}${\displaystyle V}, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern ${\displaystyle b}${\displaystyle b} und ${\displaystyle p_{u}}${\displaystyle p_{u}} bzw. ${\displaystyle p_{v}}${\displaystyle p_{v}}, ist betaverteilt mit den Parametern ${\displaystyle p_{u}}${\displaystyle p_{u}} und ${\displaystyle p_{v}}${\displaystyle p_{v}}. ${\displaystyle U}${\displaystyle U} und ${\displaystyle V}${\displaystyle V} lassen sich als Chi-Quadrat-Verteilungen mit ${\displaystyle 2p_{u}}${\displaystyle 2p_{u}} bzw. ${\displaystyle 2p_{v}}${\displaystyle 2p_{v}} Freiheitsgraden interpretieren.

Mit Hilfe der linearen Regression wird eine geschätzte Regressionsgerade ${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i}}${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {\beta }}_{0}+{\hat {\beta }}_{1}x_{i}} durch eine „Punktwolke" mit ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Wertepaaren ${\displaystyle \{x_{i};y_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}${\displaystyle \{x_{i};y_{i}\}_{i=1,\dots ,n}} zweier statistischer Merkmale ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} gelegt, und zwar so, dass die Quadratsumme der senkrechten Abstände der ${\displaystyle y_{i}}${\displaystyle y_{i}}-Werte von der Geraden ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}${\displaystyle {\hat {y}}_{i}} minimiert wird.

Die Streuung der Schätzwerte ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}${\displaystyle {\hat {y}}_{i}} um ihren Mittelwert ${\displaystyle {\overline {\hat {y}}}={\overline {y}}}${\displaystyle {\overline {\hat {y}}}={\overline {y}}} kann durch ${\displaystyle \textstyle {\text{SSE}}\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}}${\displaystyle \textstyle {\text{SSE}}\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}} gemessen werden und die Streuung der Messwerte ${\displaystyle y_{i}}${\displaystyle y_{i}} um ihren Mittelwert kann durch ${\displaystyle \textstyle {\text{SST}}\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}${\displaystyle \textstyle {\text{SST}}\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}} gemessen werden. Erstere stellt die „(durch die Regression) erklärte Quadratsumme" (sum of squares explained, kurz: SSE) und letztere stellt die „totale Quadratsumme" (sum of squares total, kurz: SST) dar. Der Quotient dieser beiden Größen ist das Bestimmtheitsmaß:

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}\equiv {\frac {\text{SSE}}{\text{SST}}}}${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}\equiv {\frac {\text{SSE}}{\text{SST}}}}.

Die „(durch die Regression) nicht erklärte Quadratsumme" bzw. die „Residuenquadratsumme" (residual sum of squares, kurz SSR) ist durch ${\displaystyle \textstyle {\text{SSR}}\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}${\displaystyle \textstyle {\text{SSR}}\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}} gegeben. Durch die Quadratsummenzerlegung ${\displaystyle {\text{TSS}}={\text{ESS}}+{\text{RSS}}}${\displaystyle {\text{TSS}}={\text{ESS}}+{\text{RSS}}} lässt sich das Bestimmtheitsmaß auch darstellen als

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}={\frac {\text{SSE}}{{\text{SSE}}+{\text{SSR}}}}}${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}={\frac {\text{SSE}}{{\text{SSE}}+{\text{SSR}}}}}.

Es ist also betaverteilt. Da das Bestimmtheitsmaß das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von ${\displaystyle x}${\displaystyle x} und ${\displaystyle y}${\displaystyle y} darstellt (${\displaystyle R^{2}=r^{2}}${\displaystyle R^{2}=r^{2}}), ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt. Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmaßes beim globalen F-Test durch die F-Verteilung angegeben werden, die tabelliert vorliegt.

Die allgemeine Beta-Verteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{B(a,b,p,q)}}(x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1},}${\displaystyle f(x)={\frac {1}{B(a,b,p,q)}}(x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1},}

wobei ${\displaystyle a}${\displaystyle a} und ${\displaystyle b}${\displaystyle b} die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von ${\displaystyle B}${\displaystyle B} zu

${\displaystyle B(a,b,p,q)=\int _{a}^{b}(u-a)^{p-1}(b-u)^{q-1}\mathrm {d} u={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}(b-a)^{p+q-1}.}${\displaystyle B(a,b,p,q)=\int _{a}^{b}(u-a)^{p-1}(b-u)^{q-1}\mathrm {d} u={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}(b-a)^{p+q-1}.}

Ist ${\displaystyle X}${\displaystyle X} betaverteilt auf dem Intervall ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)} mit Parametern ${\displaystyle p}${\displaystyle p}, ${\displaystyle q}${\displaystyle q}, dann ist

${\displaystyle Y=(b-a)X+a}${\displaystyle Y=(b-a)X+a}

betaverteilt auf dem Intervall ${\displaystyle (a,b)}${\displaystyle (a,b)} mit den gleichen Parametern ${\displaystyle p}${\displaystyle p}, ${\displaystyle q}${\displaystyle q}. Ist umgekehrt ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} betaverteilt auf ${\displaystyle (a,b)}${\displaystyle (a,b)}, dann ist

${\displaystyle X={\frac {Y-a}{b-a}}}${\displaystyle X={\frac {Y-a}{b-a}}}

betaverteilt auf ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)}.

Im Dreieckstest werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet, wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt. Zwei der drei Proben gehören zum Produkt A und eine Probe gehört zum Produkt B oder umgekehrt. Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin, dasjenige Produkt zu finden, das nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten die richtige Antwort zu geben beträgt ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}.

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten variieren je nach sensorischen Fähigkeiten. Unter der Annahme, dass kein Proband absichtlich eine falsche Antwort gibt, liegt die Erfolgswahrscheinlichkeit bei niemandem unter ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}. Bei Feinschmeckern oder großen Geschmacksunterschieden kann diese theoretisch bis auf 100 % ansteigen. Im Folgenden wird für beliebige Rate-Erfolgswahrscheinlichkeiten ${\displaystyle c}${\displaystyle c} mit ${\displaystyle 0<c<1}${\displaystyle 0<c<1} die Beta-Verteilung auf ${\displaystyle (c,1)}${\displaystyle (c,1)} hergeleitet.^[1] Aus den eben genannten Gründen modelliert diese Wahrscheinlichkeitsdichte die Erfolgswahrscheinlichkeiten der Probanden realistischer als eine Beta-Verteilung auf ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)}.

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten ${\displaystyle \pi _{i}}${\displaystyle \pi _{i}} der einzelnen Probanden ${\displaystyle i=1,\dots ,n}${\displaystyle i=1,\dots ,n} seien zunächst betaverteilt auf ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)} mit Parametern ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } und ${\displaystyle \beta }${\displaystyle \beta }. Die korrigierten Erfolgswahrscheinlichkeiten auf ${\displaystyle (c,1)}${\displaystyle (c,1)} ergeben sich aus ${\displaystyle p_{i}=c+(1-c)\pi _{i}}${\displaystyle p_{i}=c+(1-c)\pi _{i}}. Die Wahrscheinlichkeitsdichte von ${\displaystyle p_{i}}${\displaystyle p_{i}} lässt sich über den Transformationssatz für Dichten bestimmen. Die Beta-Verteilung von ${\displaystyle \pi _{i}}${\displaystyle \pi _{i}} hat eine positive Dichte im Intervall ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)}. Die Transformation ${\displaystyle u\colon (0,1)\rightarrow (c,1)}${\displaystyle u\colon (0,1)\rightarrow (c,1)} mit ${\displaystyle u(\pi )=c+(1-c)\pi =p}${\displaystyle u(\pi )=c+(1-c)\pi =p} ist ein Diffeomorphismus. Daraus erhält man die Umkehrfunktion ${\displaystyle u^{-1}(p)={\frac {p-c}{1-c}}}${\displaystyle u^{-1}(p)={\frac {p-c}{1-c}}}. Für die gesuchte Dichtefunktion von ${\displaystyle p}${\displaystyle p} erhält man

${\displaystyle f_{p}(p)=f_{\pi }(u^{-1}(p))\left|{\frac {\partial }{\partial p}}u^{-1}(p)\right|=f_{\pi }\left({\frac {p-c}{1-c}}\right)\left|{\frac {1}{1-c}}\right|={\frac {1}{1-c}}f_{\pi }\left({\frac {p-c}{1-c}}|\alpha ,\beta \right)}${\displaystyle f_{p}(p)=f_{\pi }(u^{-1}(p))\left|{\frac {\partial }{\partial p}}u^{-1}(p)\right|=f_{\pi }\left({\frac {p-c}{1-c}}\right)\left|{\frac {1}{1-c}}\right|={\frac {1}{1-c}}f_{\pi }\left({\frac {p-c}{1-c}}|\alpha ,\beta \right)}.

Diese Wahrscheinlichkeitsdichte von ${\displaystyle p}${\displaystyle p} auf ${\displaystyle (c,1)}${\displaystyle (c,1)} wird in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsdichte von ${\displaystyle \pi }${\displaystyle \pi } auf ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)} dargestellt. In der nebenstehenden Grafik ist beispielhaft eine Beta-Verteilung auf ${\displaystyle ({\tfrac {1}{3}},1)}${\displaystyle ({\tfrac {1}{3}},1)} mit Parametern ${\displaystyle \alpha =0{,}5}${\displaystyle \alpha =0{,}5} und ${\displaystyle \beta =4}${\displaystyle \beta =4} eingezeichnet. Der Erwartungswert beträgt ${\displaystyle 40{,}7,円\%}${\displaystyle 40{,}7,円\%}. Die durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit liegt damit ${\displaystyle 7{,}4,円\%}${\displaystyle 7{,}4,円\%} über der Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von ${\displaystyle 33{,}3,円\%}${\displaystyle 33{,}3,円\%}.

1. ↑ Brockhoff, Per Bruun. "The statistical power of replications in difference tests." Food Quality and Preference 14.5 (2003): 405-417.

• Sigrid Markstein: Mathematische und rechentechnische Aufbereitung der Betaverteilung 1. Art für technologische Untersuchungen.

• Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung