Riesz-Raum

Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert^[1] und trägt deshalb heute seinen Namen.

Sei ${\displaystyle (X,+,\cdot )}${\displaystyle (X,+,\cdot )} ein ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} }-Vektorraum und ${\displaystyle (X,\leq )}${\displaystyle (X,\leq )} eine halbgeordnete Menge.

Dann heißt ${\displaystyle (X,+,\cdot ,\leq )}${\displaystyle (X,+,\cdot ,\leq )} ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:

1. Für alle ${\displaystyle f,g,h\in X}${\displaystyle f,g,h\in X} gilt: ${\displaystyle f\leq g\Rightarrow f+h\leq g+h}${\displaystyle f\leq g\Rightarrow f+h\leq g+h}.
2. Für alle ${\displaystyle f,g\in X}${\displaystyle f,g\in X} gilt: ${\displaystyle 0\leq a\in \mathbb {R} }${\displaystyle 0\leq a\in \mathbb {R} } und ${\displaystyle f\leq g\Rightarrow a\cdot f\leq a\cdot g}${\displaystyle f\leq g\Rightarrow a\cdot f\leq a\cdot g}.
3. ${\displaystyle (X,\leq )}${\displaystyle (X,\leq )} ist ein Verband.

Weiter notiert man ${\displaystyle x\vee y=\sup(x,y)}${\displaystyle x\vee y=\sup(x,y)} und ${\displaystyle x\wedge y=\inf(x,y)}${\displaystyle x\wedge y=\inf(x,y)}.

• Für eine Menge ${\displaystyle A\subset X}${\displaystyle A\subset X} ist ${\displaystyle \sup(A)=\bigvee _{x\in A}x=\sup\{x\colon x\in A\}}${\displaystyle \sup(A)=\bigvee _{x\in A}x=\sup\{x\colon x\in A\}} und ${\displaystyle \inf(A)=\bigwedge _{x\in A}x=\inf\{x\colon x\in A\}}${\displaystyle \inf(A)=\bigwedge _{x\in A}x=\inf\{x\colon x\in A\}}.
• Für ein Element ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X} definiert man den positiven und negative Teil ${\displaystyle x^{+}:=x\vee 0}${\displaystyle x^{+}:=x\vee 0} und ${\displaystyle x^{-}:=(-x)^{+}=-x\vee 0}${\displaystyle x^{-}:=(-x)^{+}=-x\vee 0}.
• Der Modulus von ${\displaystyle x}${\displaystyle x} ist definiert als ${\displaystyle |x|:=x\vee (-x)}${\displaystyle |x|:=x\vee (-x)}.
• Zwei Elemente ${\displaystyle x,y\in X}${\displaystyle x,y\in X} sind disjunkt ${\displaystyle x\perp y}${\displaystyle x\perp y} wenn für ihre Moduli ${\displaystyle |x|\wedge |y|=0}${\displaystyle |x|\wedge |y|=0} gilt.
• Sei ${\displaystyle M\subset X}${\displaystyle M\subset X} eine beliebige Menge und ${\displaystyle M\neq \emptyset }${\displaystyle M\neq \emptyset }, dann definieren wir ${\displaystyle M^{\perp }=\{x\in X\colon (\forall y\in M)\;x\perp y\}}${\displaystyle M^{\perp }=\{x\in X\colon (\forall y\in M)\;x\perp y\}}, das heißt die Menge der zu ${\displaystyle M}${\displaystyle M} disjunkten Elemente.
• Eine Teilmenge ${\displaystyle M\subset X}${\displaystyle M\subset X} ist vollständig wenn ${\displaystyle M\perp x}${\displaystyle M\perp x} impliziert das ${\displaystyle x=0}${\displaystyle x=0}, das heißt es gilt ${\displaystyle M^{\perp }=0}${\displaystyle M^{\perp }=0}.
• Eine Teilmenge ${\displaystyle M\subset X}${\displaystyle M\subset X} ist solide oder normal, falls für jedes ${\displaystyle x\in E}${\displaystyle x\in E} und ein beliebiges ${\displaystyle y\in M}${\displaystyle y\in M} mit ${\displaystyle |x|\leq |y|}${\displaystyle |x|\leq |y|} auch ${\displaystyle x\in M}${\displaystyle x\in M} gilt.
• Die Menge ${\displaystyle M^{\perp \perp }}${\displaystyle M^{\perp \perp }} nennt man das von ${\displaystyle M}${\displaystyle M} generierte Band. Für eine einelementige Menge ${\displaystyle \{x\}}${\displaystyle \{x\}} nennt man ${\displaystyle \{x\}^{\perp \perp }}${\displaystyle \{x\}^{\perp \perp }} das Prinzipalband.^[2]

• 1. und 2. bedeuten ${\displaystyle (X,+,\cdot ,\leq )}${\displaystyle (X,+,\cdot ,\leq )} ist ein geordneter Vektorraum.
• Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass ${\displaystyle \leq }${\displaystyle \leq } sich sowohl auf ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} }, als auch auf ${\displaystyle X}${\displaystyle X} bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird.
• 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung ${\displaystyle 0\leq a}${\displaystyle 0\leq a} und ${\displaystyle \mathbf {0} \leq f\Rightarrow \mathbf {0} \leq a\cdot f}${\displaystyle \mathbf {0} \leq f\Rightarrow \mathbf {0} \leq a\cdot f} ersetzen.
• Bezeichnen ${\displaystyle \land ,\lor }${\displaystyle \land ,\lor } die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass ${\displaystyle \land ,\lor }${\displaystyle \land ,\lor } stärker binden, als ${\displaystyle +,\cdot }${\displaystyle +,\cdot } (Klammerregel).

Für ${\displaystyle f,g,h\in X}${\displaystyle f,g,h\in X} und ${\displaystyle 0\leq a\in \mathbb {R} }${\displaystyle 0\leq a\in \mathbb {R} } gelten folgende Rechenregeln:

• ${\displaystyle (f+h)\lor (g+h)=(f\lor g)+h}${\displaystyle (f+h)\lor (g+h)=(f\lor g)+h} und ${\displaystyle (f+h)\land (g+h)=(f\land g)+h}${\displaystyle (f+h)\land (g+h)=(f\land g)+h}
• ${\displaystyle (af)\lor (ag)=a(f\lor g)}${\displaystyle (af)\lor (ag)=a(f\lor g)} und ${\displaystyle (af)\land (ag)=a(f\land g)}${\displaystyle (af)\land (ag)=a(f\land g)}
• ${\displaystyle (-f)\lor (-g)=-(f\land g)}${\displaystyle (-f)\lor (-g)=-(f\land g)} und ${\displaystyle (-f)\land (-g)=-(f\lor g)}${\displaystyle (-f)\land (-g)=-(f\lor g)}
• Sei ${\displaystyle |f|:=f\lor (-f)}${\displaystyle |f|:=f\lor (-f)} für ${\displaystyle f\in X}${\displaystyle f\in X}.

Dann gilt ${\displaystyle f\lor g={\tfrac {1}{2}}(f+g+|f-g|)}${\displaystyle f\lor g={\tfrac {1}{2}}(f+g+|f-g|)} und ${\displaystyle f\land g={\tfrac {1}{2}}(f+g-|f-g|)}${\displaystyle f\land g={\tfrac {1}{2}}(f+g-|f-g|)}.

• ${\displaystyle (f\lor g)+(f\land g)=f+g}${\displaystyle (f\lor g)+(f\land g)=f+g} und ${\displaystyle (f\lor g)-(f\land g)=|f-g|}${\displaystyle (f\lor g)-(f\land g)=|f-g|}
• ${\displaystyle (f\lor g)\land h=(f\land h)\lor (g\land h)}${\displaystyle (f\lor g)\land h=(f\land h)\lor (g\land h)} und ${\displaystyle (f\land g)\lor h=(f\lor h)\land (g\lor h)}${\displaystyle (f\land g)\lor h=(f\lor h)\land (g\lor h)}

Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein distributiver Verband.

• Die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } mit der üblichen Anordnung ${\displaystyle \leq }${\displaystyle \leq } bilden einen Riesz-Raum.
• Der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der reellen Zahlenfolgen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der reellen Nullfolgen ${\displaystyle c_{0}}${\displaystyle c_{0}} mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Für ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }${\displaystyle 1\leq p\leq \infty } ist ${\displaystyle l_{p}}${\displaystyle l_{p}} mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum.
• Die Menge der beschränkten reellen Folgen ${\displaystyle l_{\infty }}${\displaystyle l_{\infty }} mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
• Die Menge der stetigen Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {C}}[a,b]}${\displaystyle {\mathcal {C}}[a,b]} auf einem Intervall ${\displaystyle [a,b]}${\displaystyle [a,b]} bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum.
• Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}[a,b]}${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}[a,b]} auf einem Intervall ${\displaystyle [a,b]}${\displaystyle [a,b]} bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.

Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodým und die Poissonsche Summenformel für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.

1. ↑ Riesz, Frigyes: Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148
2. ↑ Martin R. Weber: Finite Elements in Vector Lattices. Hrsg.: De Gruyter, Deutschland. 2014, S. 8. 

• Luxemburg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264
• V. I. Sobolev: Riesz space. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

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