Fundamentalsatz der Algebra

Der (Gauß-d’Alembertsche) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante Polynom im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle besitzt. Dabei können die Koeffizienten des Polynoms beliebige komplexe Zahlen sein – insbesondere sind Polynome mit ganzen oder reellen Koeffizienten mit eingeschlossen.

Wendet man den Satz zum Beispiel auf das Polynom ${\displaystyle z^{4}+15z^{2}+4}${\displaystyle z^{4}+15z^{2}+4} an, so folgt, dass die im Bereich der reellen Zahlen unlösbare Gleichung ${\displaystyle z^{4}+15z^{2}+4=0}${\displaystyle z^{4}+15z^{2}+4=0} im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Lösung besitzen muss.

Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass die komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen sind.

Sei

${\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot z^{k}}${\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot z^{k}}

ein nicht konstantes Polynom vom Grad ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }${\displaystyle n\in \mathbb {N} }, ${\displaystyle n\geq 1}${\displaystyle n\geq 1}, mit komplexen Koeffizienten ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {C} }${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {C} }. Dann hat das Polynom eine komplexe Nullstelle, d. h. es gibt eine Zahl ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }${\displaystyle z\in \mathbb {C} }, so dass ${\displaystyle P(z)=0}${\displaystyle P(z)=0} gilt. Genauer gilt sogar, dass die Anzahl der Nullstellen, wenn sie mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden, insgesamt gleich dem Grad des Polynoms ist.

Falls P ein Polynom über den reellen Zahlen ist, falls also alle Koeffizienten ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} }${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} } liegen, so sind die zugehörigen Nullstellen nicht notwendigerweise reell. Es gilt aber: Ist ${\displaystyle w}${\displaystyle w} eine nichtreelle Nullstelle von P, so ist auch ihr komplex Konjugiertes ${\displaystyle {\bar {w}}}${\displaystyle {\bar {w}}} eine Nullstelle von P. Ist ${\displaystyle w}${\displaystyle w} eine mehrfache Nullstelle von P, so hat ${\displaystyle {\bar {w}}}${\displaystyle {\bar {w}}} dieselbe Vielfachheit. In der faktorisierten Schreibweise des Polynoms lassen sich daher die zugehörigen Linearfaktoren immer zu einem quadratischen Faktor ${\displaystyle (z-w)(z-{\bar {w}})}${\displaystyle (z-w)(z-{\bar {w}})} zusammenfassen. Ausmultipliziert hat dieses Polynom zweiten Grades wieder rein reelle Koeffizienten:

${\displaystyle (z-w)(z-{\bar {w}})=z^{2}-(w+{\bar {w}})z+w\cdot {\bar {w}}=z^{2}-2\operatorname {Re} (w)\cdot z+|w|^{2}}${\displaystyle (z-w)(z-{\bar {w}})=z^{2}-(w+{\bar {w}})z+w\cdot {\bar {w}}=z^{2}-2\operatorname {Re} (w)\cdot z+|w|^{2}}

Daraus folgt im Umkehrschluss, dass jedes reelle Polynom sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen lässt. In dieser Form wurde der Satz 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Doktorarbeit formuliert, die dieses Ergebnis bereits in ihrem lateinischen Titel Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse verkündet (deutsch: Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale algebraische Funktion in einer Variablen in reelle Faktoren ersten oder zweiten Grades zerlegt werden kann.)

Die Polynomgleichung

${\displaystyle P(x)=x^{5}-5x^{4}+17x^{3}-13x^{2}=0}${\displaystyle P(x)=x^{5}-5x^{4}+17x^{3}-13x^{2}=0}

hat die Lösungen

${\displaystyle L=\{0^{(2)},1,2-3{\text{i}},2+3{\text{i}}\}}${\displaystyle L=\{0^{(2)},1,2-3{\text{i}},2+3{\text{i}}\}} ,

die natürlich die Nullstellen des Polynomes sind. Die Lösung 0 wird dabei doppelt gezählt, wie anhand der Faktorisierung des Polynoms ersichtlich ist:

${\displaystyle P(x)=x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x-2+3{\text{i}})\cdot (x-2-3{\text{i}})=x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x^{2}-4x+13)}${\displaystyle P(x)=x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x-2+3{\text{i}})\cdot (x-2-3{\text{i}})=x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x^{2}-4x+13)} .

Man verwendet auch die Sprechweise „0 tritt mit Vielfachheit 2 auf", alle anderen Nullstellen treten mit Vielfachheit 1 auf. Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Nullstellen im Allgemeinen nicht (alle) reell sind, selbst wenn das Polynom reelle Koeffizienten hat. Nichtreelle Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten treten aber immer paarweise komplex konjugiert auf (in unserem Beispiel ${\displaystyle 2\pm 3i}${\displaystyle 2\pm 3i}).

Von einem Polynom ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)} lässt sich der zu einer Nullstelle ${\displaystyle z_{0}}${\displaystyle z_{0}} mit ${\displaystyle f(z_{0})=0}${\displaystyle f(z_{0})=0} gehörende Linearfaktor ${\displaystyle (z-z_{0})}${\displaystyle (z-z_{0})} abspalten. (Dazu kann beispielsweise die Horner-Ruffini-Methode verwendet werden.) Durch die Abspaltung ergibt sich ein im Grad um eins reduziertes Polynom, für das man das Verfahren wiederholen kann. Deshalb zerfällt jedes nicht konstante Polynom über ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} } komplett in ein Produkt aus Linearfaktoren:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot z^{k}=a_{n}\cdot \prod _{i=1}^{n}(z-z_{i})}${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot z^{k}=a_{n}\cdot \prod _{i=1}^{n}(z-z_{i})} ,

wobei die ${\displaystyle z_{i}}${\displaystyle z_{i}} die Nullstellen des Polynoms sind.

Erste Formulierungen des Fundamentalsatzes finden sich im 17. Jahrhundert (Peter Roth, Albert Girard, René Descartes). Der erste veröffentlichte Beweis von Jean d’Alembert 1746 war von der Idee her korrekt, jedoch enthielt er Lücken, die erst mit den Methoden der Analysis des 19. Jahrhunderts geschlossen werden konnten. Eine vereinfachte und auch nach modernen Kriterien noch korrekte Version dieses Beweises wurde von Jean-Robert Argand 1806 angegeben.

Der erste vollständige Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben. Auch dieser Beweis enthält einige analytische Schwächen, die erst später beseitigt werden konnten. Der zweite Beweis, der von Gauß 1815 vorgestellt und ein Jahr später publiziert wurde, baut auf Ideen von Leonhard Euler auf und benutzt als analytische Grundlage, unbewiesen und ohne dass eine Beweisnotwendigkeit gesehen wurde, lediglich den Zwischenwertsatz der reellen Analysis, genauer den Spezialfall, dass jedes Polynom ungeraden Grades immer eine reelle Nullstelle hat.

Ein Beweis, der gleichzeitig ein effizientes Berechnungsverfahren beinhaltet, wurde 1859 (und nochmals 1891) von Karl Weierstraß veröffentlicht. Das darin enthaltene Verfahren wird heute als Durand-Kerner-Verfahren bezeichnet.

Inzwischen kennt man mehrere sehr unterschiedliche Beweise, die Begriffe und Ideen aus Analysis, Algebra oder Topologie beinhalten. Am kürzesten kann der Fundamentalsatz der Algebra nach Cauchy und Liouville mit Methoden der Funktionentheorie bewiesen werden.

Im Folgenden sei ${\displaystyle f(z)=a_{n}z^{n}+\dots +a_{1}z+a_{0}}${\displaystyle f(z)=a_{n}z^{n}+\dots +a_{1}z+a_{0}} stets ein nichtkonstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten und insbesondere ${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}. Dieses sei als Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } aufgefasst.

Dieser Beweis wurde 1746 von d’Alembert vorgeschlagen, jedoch erst 1806 von J.-R. Argand vervollständigt. Die zentrale Aussage dieses Beweises ist, dass zu jedem Punkt ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }${\displaystyle z\in \mathbb {C} }, der keine Nullstelle ist, ein Punkt ${\displaystyle z+w}${\displaystyle z+w} in der Umgebung angegeben werden kann, der eine Verkleinerung im Betrag des Funktionswerts ergibt, ${\displaystyle |f(z+w)|<|f(z)|}${\displaystyle |f(z+w)|<|f(z)|}. Hat der Betrag der Funktionswerte also einen Minimalpunkt, so muss dieser ein Nullpunkt sein. Da die Menge ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\;|f(z)|\leq |f(0)|\}}${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\;|f(z)|\leq |f(0)|\}} kompakt ist, und der Betrag verknüpft mit f stetig, gibt es immer einen solchen Minimalpunkt und damit eine Nullstelle.

Zur zentralen Aussage entwickle man f in z, d. h.,

${\displaystyle f(z+w)=b_{0}+b_{1}w+\dots +b_{n}w^{n}}${\displaystyle f(z+w)=b_{0}+b_{1}w+\dots +b_{n}w^{n}}.

Ist ${\displaystyle b_{0}=0}${\displaystyle b_{0}=0}, so ist z eine Nullstelle. Sonst wähle man das kleinste k>0 mit ${\displaystyle b_{k}\neq 0}${\displaystyle b_{k}\neq 0} und betrachte die beiden Ungleichungen für ${\displaystyle s\geq 0}${\displaystyle s\geq 0}

${\displaystyle |b_{0}|\geq |b_{k}|,円s^{k}}${\displaystyle |b_{0}|\geq |b_{k}|,円s^{k}} und ${\displaystyle |b_{k}|/2\geq |b_{k+1}|,円s+\dots +|b_{n}|,円s^{n-k}}${\displaystyle |b_{k}|/2\geq |b_{k+1}|,円s+\dots +|b_{n}|,円s^{n-k}} .

Beide Ungleichungen sind für ${\displaystyle s=0}${\displaystyle s=0} erfüllt, und es gibt ein endliches, größtes ${\displaystyle {\bar {s}}}${\displaystyle {\bar {s}}}, so dass sie auf dem gesamten Intervall ${\displaystyle s\in [0,{\bar {s}}]}${\displaystyle s\in [0,{\bar {s}}]} erfüllt sind. Für ein s aus diesem Intervall wähle man ein ${\displaystyle w\in \mathbb {C} }${\displaystyle w\in \mathbb {C} } mit ${\displaystyle |w|=s}${\displaystyle |w|=s} und so, dass mit einem reellen Faktor ${\displaystyle 1\geq c>0}${\displaystyle 1\geq c>0} die Beziehung ${\displaystyle b_{k}w^{k}=-c,円b_{0}}${\displaystyle b_{k}w^{k}=-c,円b_{0}} gilt. Für den interessierenden Betrag des Funktionswertes gilt nun nach Dreiecksungleichung

${\displaystyle {\begin{aligned}|f(z+w)|\leq &|b_{0}+b_{k}w^{k}|+\sum _{j>k}|b_{j}|,円|w|^{j}&=&(1-c)|b_{0}|+\sum _{j>k}|b_{j}|,円s^{j}\\[.3em]=&|b_{0}|-s^{k}\left(|b_{k}|-\sum _{j>k}|b_{j}|,円s^{j-k}\right)&\leq &|f(z)|-{\tfrac {1}{2}},円|b_{k}|,円s^{k}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}|f(z+w)|\leq &|b_{0}+b_{k}w^{k}|+\sum _{j>k}|b_{j}|,円|w|^{j}&=&(1-c)|b_{0}|+\sum _{j>k}|b_{j}|,円s^{j}\\[.3em]=&|b_{0}|-s^{k}\left(|b_{k}|-\sum _{j>k}|b_{j}|,円s^{j-k}\right)&\leq &|f(z)|-{\tfrac {1}{2}},円|b_{k}|,円s^{k}\end{aligned}}} .

Ein Beweis mit dieser Methode wurde 1799 von Gauß gegeben. Er zerlegte die Polynomfunktion in Real- und Imaginärteil, ${\displaystyle f(x+{\text{i}}y)=u(x,y)+{\text{i}}v(x,y)}${\displaystyle f(x+{\text{i}}y)=u(x,y)+{\text{i}}v(x,y)}. Die Nullstellenmengen von u und v sind aus einzelnen eindimensionalen Bögen zusammengesetzt, die eine endliche Anzahl von Knotenpunkten in der Ebene verbinden. Von jedem Knotenpunkt geht eine gerade Anzahl von Bögen aus. Auf keinen Fall kann ein Bogen in einem Punkt einfach enden. Auf jedem Kreis mit genügend großem Radius gibt es 2n Nullstellen von u und 2n Nullstellen von v, die sich abwechseln. Jeder zusammenhängende Teil des Nullstellengraphen von u hat auf einem großen Kreis eine gerade Anzahl von Schnittstellen, die eine ungerade Anzahl von Schnittstellen des Nullstellengraphen von v einschließen. Damit muss ein Bogen des Graphen von v aus dem zusammenhängenden Teilstück des Graphen von u herausragen. Dies geht nur, wenn die Graphen von u und v sich schneiden, der Schnittpunkt aber ist eine Nullstelle von f(z).

Moderne Versionen dieses Beweises benutzen den Begriff der Windungszahl. Es sei angenommen, dass das Polynom f(z) keine komplexen Nullstellen besitze. Dann kann für jedes s>0 eine geschlossene, stetige Kurve

${\displaystyle \gamma _{s}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C} }${\displaystyle \gamma _{s}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C} }, ${\displaystyle \gamma _{s}(t)=\min(1,s)^{-n},円f(s,円e^{{\text{i}}t})}${\displaystyle \gamma _{s}(t)=\min(1,s)^{-n},円f(s,円e^{{\text{i}}t})}

konstruiert werden, die die (skalierten) Funktionswerte des Polynoms auf dem Kreis mit Radius s durchläuft. Da kein Funktionswert Null ist, kann eine Windungszahl definiert werden. Da sich die Kurve bei Änderung des Parameters s stetig ändert, kann sich die Windungszahl nur ändern, wenn die sich ändernde Kurve den Nullpunkt überquert. Da nach Annahme die Funktion f(z) keine Nullstelle besitzt, ist eine solche Überquerung des Nullpunktes nicht möglich. Daher muss die Windungszahl für alle s > 0 dieselbe sein.

Für sehr große Werte von s wird die Kurve der entsprechenden Kurve der n-ten Potenz, genauer des Polynoms ${\displaystyle a_{n}z^{n}}${\displaystyle a_{n}z^{n}}, immer ähnlicher, die Windungszahl muss daher konstant n sein. Für sehr kleine Werte von s wird die Kurve der konstanten Kurve mit Wert ${\displaystyle a_{0}}${\displaystyle a_{0}} immer ähnlicher, also muss die – für alle s > 0 konstante – Windungszahl gleichzeitig den Wert 0 besitzen. Dies ist gleichzeitig nur möglich, wenn n = 0 gilt, das Polynom also konstant ist. Für Polynome höheren Grades führt dieses Argument zum Widerspruch, also muss es Nullstellen z mit f(z)=0 geben.

Ein solcher Beweis wurde 1815 von Gauß präsentiert. Es wird benutzt, dass nach dem Zwischenwertsatz jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat, sowie dass quadratische Gleichungen, auch mit komplexen Koeffizienten, elementar lösbar sind. Der Beweis erfolgt als vollständige Induktion über die Potenz des Faktors ${\displaystyle 2}${\displaystyle 2} im Grad des Polynoms.

Es sei zunächst ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)} quadratfrei und mit reellen Koeffizienten vorausgesetzt. Der Grad habe eine Faktorisierung ${\displaystyle n=k,2円^{m}}${\displaystyle n=k,2円^{m}} mit ${\displaystyle k}${\displaystyle k} ungerade. Der Beweis erfolgt als vollständige Induktion über die Potenz ${\displaystyle m}${\displaystyle m} des Faktors ${\displaystyle 2}${\displaystyle 2} im Grad des Polynoms. Ist ${\displaystyle m=0}${\displaystyle m=0}, so gibt es eine Nullstelle nach dem Zwischenwertsatz. Es sei nun im Induktionsschritt vorausgesetzt, dass alle Polynome mit Graden ${\displaystyle k',2円^{m-1}}${\displaystyle k',2円^{m-1}} mit ${\displaystyle k'}${\displaystyle k'} ungerade mindestens eine Nullstelle besitzen.

Es sei, der Einfachheit halber, ein (abstrakter) Zerfällungskörper ${\displaystyle \mathbb {K} \supset \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {K} \supset \mathbb {R} } des Polynoms ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)} konstruiert, in welchem es die paarweise verschiedenen (wiederum abstrakten) Nullstellen ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}} hat,

${\displaystyle f(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})}${\displaystyle f(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})} .

In ${\displaystyle \mathbb {K} \times \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} \times \mathbb {K} } sei die Menge der ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)} Punkte ${\displaystyle (z_{j}+z_{k},z_{j},円z_{k})}${\displaystyle (z_{j}+z_{k},z_{j},円z_{k})}, ${\displaystyle j<k}${\displaystyle j<k}, betrachtet. Da die abstrakten Nullstellen paarweise verschieden sind, gibt es nur eine endliche Anzahl von Geraden, die durch mindestens zwei dieser Punkte verlaufen, insbesondere auch nur eine endliche Anzahl reeller Anstiege ${\displaystyle m}${\displaystyle m} solcher Geraden, für welche die Differenz ${\displaystyle z_{j},円z_{k}-m,円(z_{j}+z_{k})}${\displaystyle z_{j},円z_{k}-m,円(z_{j}+z_{k})} zweimal denselben Wert annimmt. Für alle anderen Werte von ${\displaystyle m}${\displaystyle m} ist das Polynom

${\displaystyle g_{m}(x)=\prod _{j<k}(x-m,円(z_{j}+z_{k})+z_{j},円z_{k})}${\displaystyle g_{m}(x)=\prod _{j<k}(x-m,円(z_{j}+z_{k})+z_{j},円z_{k})}

ebenfalls quadratfrei und symmetrisch in den abstrakten Nullstellen ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}. Daher können die Koeffizienten von ${\displaystyle g_{m}(x)}${\displaystyle g_{m}(x)} als Polynome in ${\displaystyle m}${\displaystyle m} und den Koeffizienten von ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)} dargestellt werden, ${\displaystyle g_{m}(x)}${\displaystyle g_{m}(x)} ist also für jedes reelle ${\displaystyle m}${\displaystyle m} ein Polynom mit reellen Koeffizienten und kann mittels Resultanten aus ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)} bestimmt werden. Der Grad von ${\displaystyle g_{m}(x)}${\displaystyle g_{m}(x)} beträgt ${\displaystyle 2^{m-1},円k(n-1)}${\displaystyle 2^{m-1},円k(n-1)}, wobei k(n-1) eine ungerade Zahl ist. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es wenigstens eine komplexe Nullstelle ${\displaystyle x}${\displaystyle x} mit ${\displaystyle g_{m}(x)=0}${\displaystyle g_{m}(x)=0}. Aus den partiellen Ableitungen nach ${\displaystyle m}${\displaystyle m} und ${\displaystyle x}${\displaystyle x} in der Nullstelle können komplexe Zahlen ${\displaystyle p}${\displaystyle p} und ${\displaystyle q}${\displaystyle q} bestimmt werden, so dass mindestens eine der Nullstellen von ${\displaystyle z^{2}+p,円z+q=0}${\displaystyle z^{2}+p,円z+q=0} eine Nullstelle von ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)} ist.

Hat ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)} auch echt komplexe Koeffizienten, so hat ${\displaystyle {\tilde {f}}(z)={\bar {f}}(z),円f(z)}${\displaystyle {\tilde {f}}(z)={\bar {f}}(z),円f(z)} nur reelle Koeffizienten. Jede Nullstelle des Produkts ist Nullstelle eines Faktors, somit also selbst oder als komplex konjugierte Zahl eine Nullstelle von ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)}. Ist das nun reelle Polynom nicht quadratfrei, so kann mit Polynomarithmetik (u.a. euklidischer Algorithmus) eine Faktorisierung in (nichtkonstante) quadratfreie Faktoren gefunden werden, von denen jeder mindestens eine Nullstelle enthält.

Wegen ${\displaystyle \textstyle \lim _{s\to \infty }\inf _{|z|=s}\left|f(z)\right|=\infty }${\displaystyle \textstyle \lim _{s\to \infty }\inf _{|z|=s}\left|f(z)\right|=\infty } existiert ein ${\displaystyle R>0}${\displaystyle R>0},so dass ${\displaystyle \left|f(0)\right|\leq \left|f(z)\right|}${\displaystyle \left|f(0)\right|\leq \left|f(z)\right|} für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }${\displaystyle z\in \mathbb {C} } mit ${\displaystyle |z|>R}${\displaystyle |z|>R} gilt. Weil sowohl ${\displaystyle f}${\displaystyle f} und damit auch der Betrag ${\displaystyle |f|}${\displaystyle |f|} stetig sind, als auch die Kreisscheibe ${\displaystyle {\overline {U_{R}(0)}}}${\displaystyle {\overline {U_{R}(0)}}} kompakt ist, existiert nach dem Satz von Weierstrass eine Stelle ${\displaystyle z_{0}\in {\overline {U_{R}(0)}}}${\displaystyle z_{0}\in {\overline {U_{R}(0)}}} mit minimalem Betrag des Funktionswertes, ${\displaystyle C:=\left|f(z_{0})\right|\leq \left|f(z)\right|}${\displaystyle C:=\left|f(z_{0})\right|\leq \left|f(z)\right|} für alle ${\displaystyle z\in {\overline {U_{R}(0)}}}${\displaystyle z\in {\overline {U_{R}(0)}}}. Nach Konstruktion ist ${\displaystyle C=\left|f(z_{0})\right|}${\displaystyle C=\left|f(z_{0})\right|} sogar ein globales Minimum. Wäre ${\displaystyle C}${\displaystyle C} positiv, so wäre die reziproke Funktion ${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{f(z)}}}${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{f(z)}}} holomorph auf ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} } und durch ${\displaystyle {\tfrac {1}{C}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{C}}} beschränkt, also nach dem Satz von Liouville konstant. Somit wäre auch f(z) konstant, was der Voraussetzung widerspricht. Es gibt also eine Nullstelle (in ${\displaystyle z_{0}}${\displaystyle z_{0}}).

Der Fundamentalsatz der Algebra ist mit Hilfe elementarer Abschätzungen sogar direkt aus dem Cauchyschen Integralsatz ableitbar, und zwar wie folgt:^[1]

Das Polynom ${\displaystyle f}${\displaystyle f} lässt sich in der Form ${\displaystyle f(z)=z\cdot g(z)+a_{0}}${\displaystyle f(z)=z\cdot g(z)+a_{0}} darstellen, wobei ${\displaystyle g}${\displaystyle g} ein weiteres Polynom ist.

Nimmt man nun an,   ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)}   sei ohne Nullstelle, so lässt sich für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} stets schreiben:

${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}={\tfrac {f(z)}{z\cdot f(z)}}={\tfrac {g(z)}{f(z)}}+{\tfrac {a_{0}}{z\cdot f(z)}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}={\tfrac {f(z)}{z\cdot f(z)}}={\tfrac {g(z)}{f(z)}}+{\tfrac {a_{0}}{z\cdot f(z)}}}  .

Nun bildet man für jedes   ${\displaystyle R\in \mathbb {N} }${\displaystyle R\in \mathbb {N} }   das Wegintegral der auf   ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}   gebildeten Kehrwertfunktion   ${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{z}}}${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {1}{z}}}   über den Kreislinienweg   ${\displaystyle {\gamma _{R}}(t)=R\cdot \exp(i\cdot t)(t\in [0,2\pi ])}${\displaystyle {\gamma _{R}}(t)=R\cdot \exp(i\cdot t)(t\in [0,2\pi ])}   und erhält:

${\displaystyle 2\pi i=\int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {1}{z}},円\mathrm {d} z=\int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {g(z)}{f(z)}},円\mathrm {d} z+a_{0}\cdot \int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {1}{z\cdot f(z)}},円\mathrm {d} z}${\displaystyle 2\pi i=\int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {1}{z}},円\mathrm {d} z=\int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {g(z)}{f(z)}},円\mathrm {d} z+a_{0}\cdot \int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {1}{z\cdot f(z)}},円\mathrm {d} z}  .

Aufgrund der angenommenen Nullstellenfreiheit von   ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)}   ist

${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {g(z)}{f(z)}}}${\displaystyle z\mapsto {\tfrac {g(z)}{f(z)}}}

holomorph, womit sich infolge des Cauchyschen Integralsatzes weiter ergibt:

${\displaystyle 2\pi i=0+a_{0}\cdot \int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {1}{z\cdot f(z)}},円\mathrm {d} z}${\displaystyle 2\pi i=0+a_{0}\cdot \int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {1}{z\cdot f(z)}},円\mathrm {d} z}

und daraus:

${\displaystyle 2\pi \leq |a_{0}|\cdot \operatorname {L} ({\gamma _{R}})\cdot \max _{|z|=R}{\tfrac {1}{|z\cdot f(z)|}}=|a_{0}|\cdot 2\pi R\cdot \max _{|z|=R}{\tfrac {1}{|z|\cdot |f(z)|}}=|a_{0}|\cdot 2\pi \cdot \max _{|z|=R}{\tfrac {1}{|f(z)|}}}${\displaystyle 2\pi \leq |a_{0}|\cdot \operatorname {L} ({\gamma _{R}})\cdot \max _{|z|=R}{\tfrac {1}{|z\cdot f(z)|}}=|a_{0}|\cdot 2\pi R\cdot \max _{|z|=R}{\tfrac {1}{|z|\cdot |f(z)|}}=|a_{0}|\cdot 2\pi \cdot \max _{|z|=R}{\tfrac {1}{|f(z)|}}}  .

Dies gilt für jedes beliebige   ${\displaystyle R\in \mathbb {N} }${\displaystyle R\in \mathbb {N} }  .

Nun ist jedoch   ${\displaystyle \textstyle \lim _{|z|\to \infty }\ |f(z)|=\infty }${\displaystyle \textstyle \lim _{|z|\to \infty }\ |f(z)|=\infty }   und damit folgt aus der letzten Ungleichung unmittelbar:

${\displaystyle 2\pi \leq 0}${\displaystyle 2\pi \leq 0} ,

was sicher falsch ist.

Damit ist die angenommene Nullstellenfreiheit von   ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)}   zum Widerspruch geführt und   ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)}   muss eine Nullstelle haben.

Wir fassen ${\displaystyle f(z)}${\displaystyle f(z)} als Abbildung des komplex-projektiven Raums ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}\to \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}\to \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} auf, d. h. ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \mapsto f(z)\in \mathbb {C} }${\displaystyle z\in \mathbb {C} \mapsto f(z)\in \mathbb {C} }, ${\displaystyle \infty \mapsto \infty }${\displaystyle \infty \mapsto \infty }. Die so definierte Abbildung komplexer Mannigfaltigkeiten ist holomorph und damit offen (d. h. das Bild jeder offenen Teilmenge ist offen). Da ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} kompakt und ${\displaystyle f}${\displaystyle f} stetig ist, ist das Bild ${\displaystyle f(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1})}${\displaystyle f(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1})} auch kompakt, insbesondere abgeschlossen in ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}. Damit ist das Bild bereits ganz ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}, denn ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} ist zusammenhängend. Insbesondere gibt es ein ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }${\displaystyle z\in \mathbb {C} }, welches auf ${\displaystyle 0}${\displaystyle 0} abgebildet wird, d. h. eine Nullstelle von f.

Ähnlich wie im obigen Beweis aus der komplexen Geometrie fassen wir ${\displaystyle f}${\displaystyle f} als Selbstabbildung der Sphäre ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} auf. So ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {S} ^{2}}${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {S} ^{2}} (reell) differenzierbar und die Menge der kritischen Punkte ist als Nullstellenmenge der Ableitung endlich, womit die Menge der regulären Werte zusammenhängend ist. Die Kardinalität ${\displaystyle |f^{-1}(y)|}${\displaystyle |f^{-1}(y)|} des Urbilds eines regulären Wertes ${\displaystyle y\in \mathbb {S} ^{2}}${\displaystyle y\in \mathbb {S} ^{2}} ist außerdem lokal konstant als Funktion in ${\displaystyle y}${\displaystyle y} (${\displaystyle f}${\displaystyle f} ist injektiv auf Umgebungen von Punkten in ${\displaystyle f^{-1}(y)}${\displaystyle f^{-1}(y)}). Dies zeigt, dass ${\displaystyle f}${\displaystyle f} surjektiv ist, denn reguläre Werte werden somit stets angenommen und kritische Werte werden nach Definition angenommen.^[2]

Der Fundamentalsatz der Algebra lässt sich mit Hilfe topologischer Methoden unter Anwendung der Homotopietheorie und des Abbildungsgrades weiter verallgemeinern:^[3]

Jede stetige Funktion   ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }   , für die eine natürliche Zahl   ${\displaystyle n>0}${\displaystyle n>0}   und weiter eine komplexe Zahl   ${\displaystyle c\neq 0}${\displaystyle c\neq 0}   existieren derart, dass   ${\displaystyle \textstyle \lim _{z\to \infty }\ {\tfrac {f(z)}{z^{n}}}=c}${\displaystyle \textstyle \lim _{z\to \infty }\ {\tfrac {f(z)}{z^{n}}}=c}   erfüllt ist, hat eine Nullstelle.

Hieraus folgt der Fundamentalsatz, indem man zu einer komplexen Polynomfunktion   ${\displaystyle z\mapsto f(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}}${\displaystyle z\mapsto f(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}}     ${\displaystyle (z\in \mathbb {C} )}${\displaystyle (z\in \mathbb {C} )}   vom Grad   ${\displaystyle n>0}${\displaystyle n>0}   den Leitkoeffizienten als Konstante, also ${\displaystyle c=a_{n}}${\displaystyle c=a_{n}}   nimmt.

• Carl Friedrich Gauß: Methodvs nova integralivm valores per approximationem inveniendi. Dieterich, Göttingen 1815, (Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree (PDF; 190 kB). (engl. Übersetzung des Originals)).
• Karl Weierstraß: Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen. In: Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1891, S. 1085–1101, online.
• Saugata Basu, Richard Pollack, Marie-Françoise Roy: Algorithms in Real Algebraic Geometry (= Algorithms and Computation in Mathematics. Vol. 10). 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-33098-4.
• Eberhard Freitag und Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4. 
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X.  MR0533264

1. ↑ Freitag / Busam: S. 84. Fehler in Vorlage:Literatur – *** Pflichtparameter fehlt: Weder 'Titel' noch sonstiges Werk
2. ↑ John W. Milnor: Topology from the Differentiable Viewpoint. S. 8–9. 
3. ↑ Siehe Kap. 5, § 3 (Ein homotopietheoretischer Beweis des Gaußschen Fundamentalsatzes der Algebra) in: Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. S. 170 - 175. 

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