„Diskussion:Summe" – Versionsunterschied

Wie würde das Summenzeichen ausschauen wenn man die Zahlen 1 bis 10 addieren will ?

${\displaystyle Summe=\sum _{n=1}^{n=10}n=1$+たす2+たす3+たす4+たす5+たす6+たす7+たす8+たす9+たす10=わ55} {\displaystyle Summe=\sum _{n=1}^{n=10}n=1+たす2+たす3+たす4+たす5+たす6+たす7+たす8+たす9+たす10=わ55}

Ist das korrekt ?

${\displaystyle Summe=\sum _{n=1}^{n=10}n*n=1$+たす4+たす9+たす16+たす25+たす36+たす49+たす64+たす81+たす100=わ385} {\displaystyle Summe=\sum _{n=1}^{n=10}n*n=1+たす4+たす9+たす16+たす25+たす36+たす49+たす64+たす81+たす100=わ385}

Wie kann man das programmieren ?

• Siehe dazu: http://de.wikibooks.org/wiki/Gambas:_Rechnen#Das_Summenzeichen__programmieren [in Klammern Unterschrift]

Nein. Wie in diesem Artikel und auch hinter dem genannten Link erläutert, geht es nur so: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}n=1+2+\cdots +9+10=55}${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}n=1+2+\cdots +9+10=55} Man beachte die Angabe der oberen Grenze. 89.50.38.20 21:11, 9. Mär. 2007 (CET) Beantworten

Das Summenzeichen verhält sich als Element innerhalb von mathematischen Formeln häufig recht ungewöhnlich. Als Beispiel gebe ich hier die Berechnung des Mittelwertes des Messergebnisses, aus dem Themenkomplex Zufälliger Fehler an.

${\displaystyle {\bar {y}}={1 \over m}\cdot {1 \over k}\cdot \sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2})+{\delta f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2}) \over \delta x_{1}}\Delta x_{1j}+{\delta f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2}) \over \delta x_{2}}\Delta x_{2v})}${\displaystyle {\bar {y}}={1 \over m}\cdot {1 \over k}\cdot \sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2})+{\delta f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2}) \over \delta x_{1}}\Delta x_{1j}+{\delta f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2}) \over \delta x_{2}}\Delta x_{2v})}

Das vereinfacht sich zu

${\displaystyle {\bar {y}}=f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2})+{1 \over m}\cdot {\delta f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2}) \over \delta x_{1}}\sum _{j=1}^{m}\Delta x_{1j}+{1 \over k}\cdot {\delta f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2}) \over \delta x_{2}}\sum _{v=1}^{k}\Delta x_{2v}}${\displaystyle {\bar {y}}=f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2})+{1 \over m}\cdot {\delta f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2}) \over \delta x_{1}}\sum _{j=1}^{m}\Delta x_{1j}+{1 \over k}\cdot {\delta f({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2}) \over \delta x_{2}}\sum _{v=1}^{k}\Delta x_{2v}}

Ich schreib's nochmal mit einfacheren Koeffizienten:

${\displaystyle {\bar {y}}={1 \over m}\cdot {1 \over k}\cdot \sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(a+bx_{j}+cx_{v})=a+{1 \over m}b\sum _{j=1}^{m}x_{j}+{1 \over k}c\sum _{v=1}^{k}x_{v}}${\displaystyle {\bar {y}}={1 \over m}\cdot {1 \over k}\cdot \sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(a+bx_{j}+cx_{v})=a+{1 \over m}b\sum _{j=1}^{m}x_{j}+{1 \over k}c\sum _{v=1}^{k}x_{v}}

Ich find es komisch, wie das Summenzeichen hin- und hergeschoben werden kann, "wie's man gerade möchte". Zwei Summenzeichen sehen sich für mich wie zwei verschachtelte For-Schleifen aus.

Kann jemand auf die Rechenvorschriften bei Summenzeichen eingehen?

Danke, --Abdull 14:41, 13. Jul 2005 (CEST)

Wo ist jetzt der Unterschied zu zwei verschachtelten For-Schleifen? Mir ist Dein Problem nicht klar.--Gunther 14:45, 13. Jul 2005 (CEST)

Ah, ich bin jetzt selbst draufgekommen.

${\displaystyle {\bar {y}}={1 \over m}\cdot {1 \over k}\cdot \sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(a+bx_{j}+cx_{v})}${\displaystyle {\bar {y}}={1 \over m}\cdot {1 \over k}\cdot \sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(a+bx_{j}+cx_{v})}

${\displaystyle ={1 \over mk}\cdot (\sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(a)+\sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(bx_{j})+\sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(cx_{v}))}${\displaystyle ={1 \over mk}\cdot (\sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(a)+\sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(bx_{j})+\sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}(cx_{v}))}

das a in der ersten Summengruppe verhält sich gegenüber beiden Summenzeichen als Konstante. bx_j verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen ${\displaystyle \sum _{v=1}^{k}}${\displaystyle \sum _{v=1}^{k}}, cx_v verhält sich als Konstante gegenüber dem Summenzeichen ${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}}${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}}

${\displaystyle ={1 \over mk}\cdot (mk\cdot a+\sum _{j=1}^{m}(k\cdot bx_{j})+\sum _{v=1}^{k}(m\cdot cx_{v}))}${\displaystyle ={1 \over mk}\cdot (mk\cdot a+\sum _{j=1}^{m}(k\cdot bx_{j})+\sum _{v=1}^{k}(m\cdot cx_{v}))}

${\displaystyle ={1 \over mk}\cdot (mk\cdot a+k\cdot b\sum _{j=1}^{m}(x_{j})+m\cdot c\sum _{v=1}^{k}(x_{v}))}${\displaystyle ={1 \over mk}\cdot (mk\cdot a+k\cdot b\sum _{j=1}^{m}(x_{j})+m\cdot c\sum _{v=1}^{k}(x_{v}))}

ausgeklammert...

${\displaystyle =a+{1 \over m}b\sum _{j=1}^{m}x_{j}+{1 \over k}c\sum _{v=1}^{k}x_{v}}${\displaystyle =a+{1 \over m}b\sum _{j=1}^{m}x_{j}+{1 \over k}c\sum _{v=1}^{k}x_{v}}

... womit das die Lösung für mein anfängliches Problem wär'.

Problematisch sind aber immer noch Variablen, die zwei Indizes haben, ${\displaystyle x_{ij}}${\displaystyle x_{ij}}.

Bemerkenswert finde ich, dass gilt: ${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}=\sum _{v=1}^{k}\sum _{j=1}^{m}}${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}\sum _{v=1}^{k}=\sum _{v=1}^{k}\sum _{j=1}^{m}}

Gunther, zu meinem Vergleich mit For-Schleifen, da gilt: ${\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\sum _{v=1}^{3}(x_{jv})=x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{31}+x_{32}+x_{33}}${\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\sum _{v=1}^{3}(x_{jv})=x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{31}+x_{32}+x_{33}}

... hum, was wollte ich eigentlich mit den For-Schleifen andeuten... weiß es jetzt schon garnicht mehr... naja, jedenfalls finde ich es schwierig, zwei Summenzeichen auf Variablen mit zwei Indizes, eben wie ${\displaystyle x_{ij}}${\displaystyle x_{ij}} anzuwenden. Aber mir scheint, als würde in solchen Momenten eine Taylorreihe zur Hilfe kommen, da man so die Variable von ihren zwei Indizes befreit, und daraus zwei Variablen mit jeweils einem Index macht. Dann sagt man: Taylor-Entwicklung um einen Punkt im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, wobei man als n die Anzahl der Indizes (hier 2, i und j) nimmt. Siehe auch Taylorreihe#Taylor-Entwicklung um einen Punkt im.

;-) Kann mal einer eine einfache Annotation machen, was die Zeichen funktioniern:
^ > < Sum_ 

[Für jemanden, der in der Schule noch mit der Hand geschrieben hat!!! z.B. °= Grad ]

Muss in der Summe ${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}}${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}} Die Zahlen n und m natürlich sein? Im Text wird dort nur mit natürlichen Zahlen gerechnet, aber es wären für ${\displaystyle n\notin \mathbb {N} }${\displaystyle n\notin \mathbb {N} } und/oder ${\displaystyle m\notin \mathbb {N} }${\displaystyle m\notin \mathbb {N} } doch auch eine "Ausweichlösung" wie ${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}:=\sum _{k=\lfloor m\rfloor }^{\lfloor n\rfloor }a_{k}}${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}:=\sum _{k=\lfloor m\rfloor }^{\lfloor n\rfloor }a_{k}} ( ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }${\displaystyle \lfloor x\rfloor } ist die größte ganze Zahl kleiner als x) möglich...--217.250.250.137 16:48, 12. Feb. 2007 (CET) Beantworten

${\displaystyle \lfloor m\rfloor }${\displaystyle \lfloor m\rfloor } und ${\displaystyle \lfloor n\rfloor }${\displaystyle \lfloor n\rfloor } sind doch ganzzahlig und somit durch die übliche Notation erfasst.--Sigma^2 (Diskussion) 10:52, 10. Sep. 2024 (CEST) Beantworten

Gilt nicht auch das Cauchy-Produkt für Summen? Und sollte das dann nicht vielleicht auch noch in den Artikel?

${\displaystyle (\sum _{n=0}^{m}a_{n})(\sum _{n=0}^{i}b_{n})=\sum _{n=0}^{m}(\sum _{j=0}^{n}a_{j}b_{n-j})}${\displaystyle (\sum _{n=0}^{m}a_{n})(\sum _{n=0}^{i}b_{n})=\sum _{n=0}^{m}(\sum _{j=0}^{n}a_{j}b_{n-j})}

Allein, dass links die freie Variable ${\displaystyle i}${\displaystyle i} steht, die rechts nicht erscheint, zeigt schon, dass diese Formel falsch ist. Man kann ja mal versuchen, eine korrekte Formel zu finden. Das ist nicht so einfach. --Stefan Neumeier 19:51, 10. Mai 2009 (CEST) Beantworten

Leider fehlt im Artikeltext ein konkretes Beispiel mit Zahlenwerten für den Gebrauch des Summenzeichens, der Einsteigern in die Materie den Zugang erleichtern würde, so wie einige auf der Diskussionsseite oben zu finden sind. Doch nicht jeder schaut dorthin. --Wolfgang1018 19:16, 1. Mär. 2008 (CET) Beantworten

Ich war so frei, ein Beispiel von dieser Seite dort etwas modifiziert zu übernehmen. --Wolfgang1018 19:24, 1. Mär. 2008 (CET) Beantworten

Zitat aus dem Text:

Ferner hat es sich als nützlich erwiesen, für ${\displaystyle n=m-1}${\displaystyle n=m-1} eine leere Summe zu definieren:

${\displaystyle \sum _{k=m}^{m-1}a_{k}:=0}${\displaystyle \sum _{k=m}^{m-1}a_{k}:=0}

Man beachte, dass dieses der einzige Fall mit ${\displaystyle n<m}${\displaystyle n<m} ist, der sinnvoll definiert werden kann. Im Gegensatz zur Integralnotation bleibt die Summe für n<m in allen anderen Fällen undefiniert.

Wuerde ich nicht so schreiben, denn letztendlich bleibt es eine Definition, und es ist mir nicht klar, warum fuer n<m (allgemein fuer Summen ueber leere Indexmengen) ${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}=0}${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}=0} eine nicht sinnvolle Definition sein sollte. Wird auch oefters so definiert, siehe Beispielsweise hier oder hier

Falsch für n<m-1: ${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}1=n-(m-1)}${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}1=n-(m-1)}, ${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k}${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k} u.v.a.m.

Diese „Gegenbeispiele" sind Stuss, man kann diese Formeln eben nicht auf ganze ${\displaystyle n}${\displaystyle n} erweitern. (Die Fakultät erst recht nicht.) Die spezielle Definition sieht sowieso nach Marke Eigenbau aus und gibt nicht den allgemeinen Konsens wieder.

Auch bei leerer Indexmenge ist die Summe definiert und ist gleich dem Nullelement der Algebra, in der die Addition erklärt ist.

Man überlegt sich schon gut, wann man was in „Grenzfällen" definiert oder undefiniert lässt. Binomialkoeffizienten sind immer definiert: vgl. hier – ${\displaystyle 0^{0}}${\displaystyle 0^{0}} hingegen nicht.

Habs jetzt konventionsgemäß geändert. --Stefan Neumeier 16:58, 8. Mai 2009 (CEST) Beantworten

${\displaystyle Summe=\sum _{n=1}^{n=10}n=1$+たす2+たす3+たす4+たす5+たす6+たす7+たす8+たす9+たす10=わ55} {\displaystyle Summe=\sum _{n=1}^{n=10}n=1+たす2+たす3+たす4+たす5+たす6+たす7+たす8+たす9+たす10=わ55}

Könnte bitte noch Jemand etwas zur Aussprache des Summenzeichens schreiben. Danke.

Summe über n von eins bis zehn. Objections? --Henning |-|_,_/

Kann das bitte jemand beantworten? Tippe zwar auf 1, aber bin mir alles andre als sicher... Danke. -- 131.188.24.20 21:14, 7. Jun. 2009 (CEST) Beantworten

Die „Verwirrung" liegt auch an der Sprechweise. Man sagt nicht einfach „Summe von 3 bis 5", sondern etwa „Summe der natürlichen Zahlen von 3 bis 5". Die „Summe (der ganzen Zahlen) von 0 bis 0" ist gleich 0. (Diese Summe besteht nur aus einem Summanden, nämlich 0.) --Stefan Neumeier 00:33, 11. Jun. 2009 (CEST) Beantworten

Bevor wir lossprudeln, was wir zum Thema so alles wissen, gehört an den Beginn jedes Artikels die Defintion. Und zwar vor die erste Überschrift, so dass sie über dem Inhaltsverzeichnis erscheint. Ich schlage vor: Unter einer Summe versteht man das Ergebnis einer Addition, einen Geldbetrag oder die Gesamtheit aller Dinge, die ein gemeinsames Merkmal aufweisen.. Gleichzeitig schlage ich vor, die Überschrift Wortgeschichte und -bedeutungen in Wortgeschichte zu ändern und darunter folgende zwei Sätze zu löschen: 1.) Im weiteren Sinne bezeichnet Summe eine Gemeinheit oder einen Inbegriff. sowie 2.) In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag, unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist.. Einwände? --Henning |-|_,_/ 15:18, 10. Dez. 2009 (CET) Beantworten

Leider wird im Artikel (bzw. in der einleitenden Definition) nicht zwischen Summe und Summenwert unterschieden. Die Summe ist lediglich der Term, der durch Addition zweier (oder mehrerer) Summanden gebildet wird. Das "Ergebnis" des Terms ist dann der Summenwert bzw. der Wert der Summe. (nicht signierter Beitrag von 46.244.214.217 (Diskussion) 11:13, 18. Jan. 2015 (CET))Beantworten

Gibt es für Summen von Produkttermen einen speziellen Namen? Insbesondere folgende Summe:

${\displaystyle w(n):=1+n+[n\cdot (n-1)]+[n\cdot (n-1)\cdot (n-2)]+\ldots +[n!]}${\displaystyle w(n):=1+n+[n\cdot (n-1)]+[n\cdot (n-1)\cdot (n-2)]+\ldots +[n!]}

Ich habe versucht, das in Summen- und Produktschreibweise zu notieren. Mein erster Versuch sah so aus:

${\displaystyle w(n)=1+\sum _{k=0}^{n}\left(\prod _{m=n-k}^{n}m\right)}${\displaystyle w(n)=1+\sum _{k=0}^{n}\left(\prod _{m=n-k}^{n}m\right)}

Ob das so korrekt ist, weiß ich nicht, aber: Hat diese Summe w einen speziellen Namen? Irgendwie finde ich nix dazu in der WP. --RokerHRO 07:43, 9. Mär. 2011 (CET) Beantworten

Ja, ist korrekt, könnte man aber auch als

${\displaystyle w(n)=\sum _{k=-1}^{n}\left(\prod _{m=n-k}^{n}m\right)}${\displaystyle w(n)=\sum _{k=-1}^{n}\left(\prod _{m=n-k}^{n}m\right)}

oder als

${\displaystyle w(n)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!}}}${\displaystyle w(n)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!}}}

schreiben. Einen Namen hat meines Wissens weder w, noch das allgemeine Konzept Summe von Produkten. --Daniel5Ko 20:08, 9. Mär. 2011 (CET) Beantworten

Hey, der Bruch mit den beiden Fakultäten gefällt mir. Cool, danke! Aber trotzdem seltsam, dass es dafür keinen Namen gibt... --RokerHRO 22:26, 9. Mär. 2011 (CET) Beantworten

Die Summe hat keinen eigenen Namen, aber den Quotienten ${\displaystyle {\frac {w(n)}{n!}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\colon H_{n}}${\displaystyle {\frac {w(n)}{n!}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\colon H_{n}} nennt man „${\displaystyle n}${\displaystyle n}-te harmonische Zahl". --Franz 19:13, 31. Jul. 2014 (CEST) Beantworten

Hallo, fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks? – Metoc 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST) Beantworten

Hallo, fehlt nicht noch eine Erklärung zur Verschiebung des Laufindex' und diese Rechentricks? – Metoc 13:14, 18. Okt. 2011 (CEST) Beantworten

Hi,

Wo kann man die Formale Definition nachlesen? Es wäre nützlich am Ende noch Literaturhinweise zu nennen in denen z.B. die angeführte Definition der Summe zu finden sind. (nicht signierter Beitrag von 92.224.5.164 (Diskussion) 21:52, 11. Apr. 2014 (CEST))Beantworten

Im Artikel-Punkt "Summe als Ergebnis einer Addition" steht:

• "In dem mathematischen Term:${\displaystyle 2+3}${\displaystyle 2+3} heißen die Zahlen 2 und 3 Summanden. Der gesamte Term (gemeint muss sein: "${\displaystyle 2+3}${\displaystyle 2+3} - d. Verf.) wird als die „Summe von 2 und 3" bezeichnet."

Wenn diese beiden Aussagen stimmen, ist die Formulierung des Lemmas wohl "etwas schlampig" (umgangssprachlich). Hier steht:

• "Eine Summe ist in der Mathematik das Ergebnis einer Addition."

Exakt müsste es heißen (ganz in Übereinstimmung mit den eben zitierten Aussagen aus dem Artikelpunkt "Summe als Ergebnis einer Addition")

• Eine Summe ist in der Mathematik die Addition von Zahlen. Das Ergebnis einer Addition von Zahlen nennt man Summen-Wert.

Zwar wird umgangssprachlich (schulisch) gesagt: "Summand + Summand = Summe." Aber exakterweise wird der Ausdruck "Summand + Summand" zusammenfassend mit "Summe" bezeichnet, aber das Ergebnis einer Summe (eines additiven Terms, Summenterms) nennt man exakterweise nicht "Summe", sondern "Summenwert" (so lese ich es in mancher Literatur) - nur verkürzt spricht man hier von "Summe". Man könnte dann erläuternd etwa so weiterschreiben: Den ganzen Term aus Summe und Summen-Wert nennt man Summen-Aussage. Hingegen nennt man eine Summe einen Term (bzw. Summenterm). Denn "Aussage" meint in der Mathematik eine wahre oder eine falsche Äußerung (z. B. 3 + 4 = 12 Oder: 3 + 4 = 7). Aber die Äußerung "3 + 4" oder "3 + 4 =" kann weder wahr noch falsch genannt werden. Deshalb bezeichnet man z. B. "3 + 4" als Term, nicht als Aussagen.--Stefan B. Link (Diskussion) 09:48, 19. Apr. 2014 (CEST) Beantworten

In dem Text wird nirgends Bezug genommen, was eigentlich das i=1 unter dem Summenzeichen bedeutet. Das sollte man nicht als bekannt voraus setzen. (nicht signierter Beitrag von 88.64.7.59 (Diskussion) 17:18, 21. Sep. 2014 (CEST))Beantworten

Im Artikel sollte klar werden, wie weit der ${\displaystyle \sum }${\displaystyle \sum }-Operator wirkt. Z.B. ob ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i+1}${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i+1} dasselbe meint wie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(i+1)}${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(i+1)} oder dasselbe wie ${\displaystyle (\sum _{i=0}^{n}i)+1}${\displaystyle (\sum _{i=0}^{n}i)+1}. Im ersten Fall ist Reichweite laengst-, im zweiten kuerzestmoeglich.

Die Konvention sollte wiki-weit einheitlich sein und auch einheitlich mit der fuer Quantoren, Lambda-Terme, Integrale (und wo sonst noch Variablenbindungen erfolgen). - Jochen Burghardt (Diskussion) 10:12, 21. Feb. 2015 (CET) Beantworten

Bei der Operatornotation bindet der Operator normalerweise stärker als arithmetische Operationen, insofern ist

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i+1=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)+1}${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i+1=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)+1}.

Wir bräuchten mal einen eigenen Artikel Summenzeichen, wo auch die Notationsfragen geklärt werden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:13, 21. Feb. 2015 (CET) Beantworten

Beim letzten Beispiel, dass eine Summe mit Obergrenze unendlich keine Reihe sein muss, wird die Klammer [] als Gaußklammer identifiziert, aber in welche Richtung? die Gaußklammer ist oben oder unter offen, diese ist geschlossen wie eine ganz normale Eckigeklammer. (nicht signierter Beitrag von 141.2.169.197 (Diskussion) 18:24, 8. Jul. 2015‎ (CEST))Beantworten

Mit ${\displaystyle [x]}${\displaystyle [x]} ist die Abrundungsfunktion gemeint, siehe Gaußklammer, zweiter Satz. --Quartl (Diskussion) 18:51, 8. Jul. 2015 (CEST) Beantworten

Kommentar zu Sektion "Reihe":

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele Zahlen 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen ${\displaystyle ,円\sin(n^{-2})\ }${\displaystyle ,円\sin(n^{-2})\ }(n = 1,2,···) ,  gibts keiner (Analysis-)Methode um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht gefunden sondern durch nur die Teilsummenfolge definiert.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel ${\displaystyle \infty }${\displaystyle \infty } als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   unendlich viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

(Vorschlag 29 Mai 2021) Unendlich summieren

Wenn's um unendlich viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (${\displaystyle a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}}${\displaystyle a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}}) einer Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} konvergieren, nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n" .

Geschrieben:   ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},円}${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},円} (1)    oder   ${\displaystyle a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots ,円}${\displaystyle a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots ,円} (2)     oder   ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}),円}${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}),円} (3) .

Die Ausdrücke (Formen) (1) und (2) werden  Reihe  oder  unendliche Reihe  genannt.

(Ausdruck (2) bezeichnet auch die Folge ${\displaystyle ,円(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})_{n\geq 1}}${\displaystyle ,円(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})_{n\geq 1}}, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe"   <ref Konrad Knopp, H.v. Mangoldt's Einführung in die högere Mathematik, zweiter Band, 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref> <ref Konrad Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100; siehe snippet1, snippet2, snippet3 /ref>)

(Oft wird nicht unterschieden zwischen  ${\textstyle \sum _{i=1}a_{i},円}${\textstyle \sum _{i=1}a_{i},円}für die Folge der Teilsummen und  ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},円}${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},円} für ihre Grenzwert.)

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}})  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (${\textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\ }${\textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\ })  sind:

• Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

• Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

• Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

• Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

@Kmhkmh:, @Digamma:, @Googolplexian1221:, @Christian1985:, @Haraldmmueller:, @Sung Kyun Kwan:   Wer gibt hier mit inhaltlicher Argumente belegt Kommentar? --Hesselp (Diskussion) 23:25, 28. Mai 2021 (CEST) Beantworten

Zwei Ergänzungen

Einzelnachweise zu  <nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n">

Noch immer auch "Summe der Reihe".   "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in H.von Mangoldt - K.Knopp Einführung in die höhere Mathematik zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer unendliche Reihe heißte, wurde in der 6. (1932) Zahlenfolge.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl).

- Einzelnachweise zu  <Oft wird nicht unterschieden zwischen ...>

Dieser Unterschied wird explizit genennt in:   - Deutsches Institut für Normung e.V., DIN-Taschenbuch 202, 1994, Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22 Grenzwerte, Stetigkeit. Zeile 9.2 . --Hesselp (Diskussion) 10:02, 29. Mai 2021 (CEST) Beantworten

Und noch ein Dritter  unter <Oft wird nicht unterschieden ...>:

Mit  "Summe der Reihe ${\displaystyle ,円a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots ,円}${\displaystyle ,円a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots ,円}"  und  "Summe der Reihe ${\textstyle \sum _{i=1}a_{i}}${\textstyle \sum _{i=1}a_{i}}"  wird (nicht ganz logisch <ref sehe 'Fußnote' /ref>) nicht die Summe aber den Grenzwert der Teilsummenfolge der Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} gemeint.

'Fußnote':  K. Knopp, Infinite Sequences and Series, 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "The quite customery designation sum for the value s of a series is nevertheless unfortunate. For s is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..]" .

Personal reflection, Hesselp's POV.  I have a hypothesis on the origin of the 'unfortunate' use of "sum" instead of "limit"(Grenzwert). In the years/centuries before the introduction of the word "sequence"/"Folge" it was not at all unusual to use an expression with plusses: u₁+u₂+u₃+... instead of comma's (or semicolons or just spaces): u₁, u₂, u₃, ... . Both forms had the same meaning: series-in-traditional-sense (series^His) / Reihe-im-traditionellen-Sinne (Reihe^His). My collected documentation includes hundreds of copied pages showing examples. The language, English, French, German, (Dutch, Swedish) doesn't seem to make a difference on this point. More recent examples I showed here: Neun Quellen, numbers 2 - 10. The use of the plusses, and later on (less frequently) also the sigma-sign, is quite understandable when you realize that at that time the main (only?) purpose for this successions/progressions of numbers (or in extended form: power series / Taylor expansions) was: to describe irrational numbers. Not the convergence of terms was important but the convergence of sums. The notation of the series^His with plusses reflects that fact.

The most striking example of the equivalence of the commas-notation and the plusses-notation I saw in Niels Abel's Untersuchungen über die [binomial]Reihe (1826), footnote p. 9. There Abel refers to Cauchy's Cours d'Analyse p.131, and gives within quotation marks, an exact translation of one of Cauchy's theorems. With only the comma's in Cauchy's u₀, u₁, ... changed into plusses!

I'm aware that this hypothesis needs much more Begründung before it eventually can be included in WP. --Hesselp (Diskussion) 18:27, 4. Jun. 2021 (CEST) Beantworten

Das Konzept ist hier seit 28. Mai gezeigt. An sechs Benutzer ist persönlich gefragt um (inhaltlich) Kommentar zu geben: niemand hat Einwände erhoben. Also: 'Konsens'.  Die Bemerkung in Fußnote 1, ist an andere Stelle 'nicht falsch' und 'wichtig' bewertet. (Aber 'unangemessen' im ersten Satz.) --Hesselp (Diskussion) 21:02, 3. Jun. 2021 (CEST) Beantworten

Kommentar zu Sektion "Reihe" im Artikel "Summe":

- a. "Ausdrücke" können nicht summiert werden, nur Zahlen (oder Elemente einer Struktur mit Addition).

- b. Aber dennoch:  Auch wenn unendlich viele Zahlen 'summiert' werden, also zum Beispiel die Zahlen ${\displaystyle ,円\sin(n^{-2})\ }${\displaystyle ,円\sin(n^{-2})\ }(n = 1,2,···) ,  gibts keiner (Analysis-)Methode, um 'den entsprechenden Grenzwert' zu finden. (Dieser Grenzwert wird nicht gefunden sondern durch nur die Teilsummenfolge definiert.)

- c. Was ist hier mit "Eine solche Summe" gemeint?  Ein Ausdruck einer bestimmten Art? Welcher Art? Und welcher Begriff wird mit dem Ausdruck angezeigt/ausgedrückt? Der Grenzwert der Teilsummen?

- d. "Wichtige" und "beispielsweise" sehe ich hier nicht als sehr 'enzyklopedisch'.

- e. Zu "Es ist anzumerken ...".  Besitzen die beide Reihe-Ausdrücke im Beispiel ${\displaystyle \infty }${\displaystyle \infty } als Obergrenze?  Hat der Ausdruck   [5/1] + [5/2] + [5/3] + . . .   unendlich viel Summanden?  Man kann darüber philosophieren, aber ist das relevant hier? MMn nicht.

Vorschlag 9. Jun. 2021, anstatt die heutige Sektion "Reihe":

Unendlich summieren

Wenn's um unendlich viele Summanden geht, ist das normale Summieren nicht möglich. Es gibt aber ein Surrogat, nur für Summanden-Folgen besonderer Art. Wenn die Teilsummen (${\displaystyle a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}}${\displaystyle a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}}) einer Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} konvergieren, nennt man die Grenzwert dieser Teilsummen  "Summe der Folge a n",  "Summe der Reihe mit Glieder a n",  oder auch (ohne Präzisierung) "Summe der Reihe".  

<ref "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in H.von Mangoldt - K.Knopp Einführung in die höhere Mathematik zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer unendliche Reihe heißte, wurde in der 6. (1932) Zahlenfolge.   Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl). /ref>.

Geschrieben:   ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},円}${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},円} (1)    oder   ${\displaystyle a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots ,円}${\displaystyle a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots ,円} (2)     oder   ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}),円}${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}),円} (3) .

Die Ausdrücke (1) und (2) werden  Reihe  oder  unendliche Reihe  genannt.

Ausdruck (2) bezeichnet auch die Folge ${\displaystyle ,円(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})_{n\geq 1}}${\displaystyle ,円(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})_{n\geq 1}}, und heißt in dieser Bezeichnung auch "Reihe".  

<ref Konrad Knopp, H.v. Mangoldt's Einführung in die höhere Mathematik, zweiter Band, 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref>

<ref Konrad Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100. /ref>

Zuweilen wird unterschieden zwischen  ${\textstyle \sum _{i=1}a_{i},円}${\textstyle \sum _{i=1}a_{i},円} (ohne ∞) für die Folge der Teilsummen und  ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},円}${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},円} für ihre Grenzwert.

<ref Deutsches Institut für Normung e.V., DIN-Taschenbuch 202, 2. Aufl. 1994 (auch 3. Aufl. 2009), Mathematische Zeichen und Begriffe, S. 22, Zeile 9.2 . /ref>

Mit  "Summe der Reihe ${\displaystyle ,円a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots ,円}${\displaystyle ,円a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots ,円}"  und  "Summe der Reihe ${\textstyle \sum _{i=1}a_{i}}${\textstyle \sum _{i=1}a_{i}}"  wird (nicht ganz logisch

<ref K. Knopp, Infinite Sequences and Series, 1956 (keine deutsche Version veröffentlicht), S. 45:  "The quite customery designation sum for the value s of a series is nevertheless unfortunate. For s is no sum, but rather the limit of a sequence of sums [..] " . /ref>

) nicht die Summe, aber den Grenzwert der Teilsummenfolge der Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} gemeint.

Unterschiede zwischen der Reihe-Darstellung einer Zahl  (${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}})  und der Summe-Darstellung einer Zahl  (${\textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\ }${\textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\ })  sind:

• Der Wert einer Reihe ist nur für specielle (summierbare) Glieder-Folgen definiert.

• Der Wert einer Reihe kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen.

• Der Wert einer Reihe mit rationalen Summanden kann irrational sein.

• Der Wert einer Doppelreihe kann wechseln bei Vertauschung.

--Hesselp (Diskussion) 23:12, 9. Jun. 2021 (CEST) (Bis 1. Dez. 2021 gesperrt für ANR, 09:26, 5. Jun. 2021.  Wer will also die (etwas aus der) obigen Änderungen platzieren?)Beantworten

Satz 13 im Sektion "Summe einer Folge": Eine solche Folge von Partialsummen über die Anfangsglieder einer Folge wird als Reihe bezeichnet.

Weil es unbestritten ist , dass JEDE Zahlenfolge (s₁, s₂, s₃, ...) Partialsummenfolge einer Folge (nämlich s₁, s₂−s₁, s₃−s₂, ...) ist, hat das Prädikat "Reihe" hier keinen spezifizierenden Inhalt. (Ist die Folge der Quadratzahlen "eine solche" Folge, und deshalb eine Reihe?)  Also meiner Vorschlag (15. Jun. 2021): dieser Satz 13 auslassen. --Hesselp (Diskussion) 23:51, 15. Jun. 2021 (CEST) Beantworten

@1234qwer1234qwer4: Auf deiner Bemerkung im Portal Diskussion:Mathematik, 19. Jun. 2021, danke :

Die Bedeutung von "Prädikat" kann (ein wenig) variieren, scheint mir.  Bitte lese "hat das Prädikat "Reihe" " als:  "hat die Benennung (Bewertung) mit "Reihe" ". --Hesselp (Diskussion) 00:06, 20. Jun. 2021 (CEST) Beantworten

Bleiben meine Fragen:

Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 3/4, 7/8, ... 'als Reihe bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, 1/4, 1/8, ...).

Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, 1/4, 1/8, ... 'als Reihe bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -1/4, -1/8, ...).

Wird (kann? sollte?) die Folge 1/2, -1/4, -1/8, ... 'als Reihe bezeichnet' ?  (wegen: Partialsummenfolge der Folge 1/2, -3/4, 1/8, ...). Usw.

Oder ist es logischer Satz 13 einfach zu streichen? --Hesselp (Diskussion) 23:31, 20. Jun. 2021 (CEST) (gesperrt für ANR)Beantworten

Wie ist es mit "...wird als Reihe dieser Folge bezeichnet"? 1234qwer1234qwer4 (Diskussion☞·········🚪) 13:42, 21. Jun. 2021 (CEST) Beantworten

@1234qwer1234qwer4: Ja, das (oder etwas ähnliches) sieht man zuweilen. Mit das "eine solche Folge" etwas schärfer/expliziter formuliert, scheint mir z. B. geeignet: (Satz 13) "Die Folge ${\displaystyle (s_{n})}${\displaystyle (s_{n})}, die Partialsummenfolge der Folge ${\displaystyle (a_{n})}${\displaystyle (a_{n})}, wird zuweilen auch mit die Reihe der Folge (${\displaystyle a_{n}}${\displaystyle a_{n}}) bezeichnet." --Hesselp (Diskussion) 00:41, 22. Jun. 2021 (CEST) (gesperrt für ANR)Beantworten

Quellen, zu "Die Folge ${\displaystyle (s_{n})}${\displaystyle (s_{n})}, die Partialsummenfolge der Folge ${\displaystyle (a_{n})}${\displaystyle (a_{n})}, wird zuweilen auch mit die Reihe der Folge (${\displaystyle a_{n}}${\displaystyle a_{n}}) bezeichnet."

– E. Fisher, Intermediate real analysis, 1983, S. 151: "If ${\textstyle ,円\langle a_{n}\rangle ,円}${\textstyle ,円\langle a_{n}\rangle ,円} is a real sequence, then the sequence ${\textstyle ,円\langle S_{n}\rangle }${\textstyle ,円\langle S_{n}\rangle }, [...] is called the infinite series of terms of the sequence ${\textstyle ,円\langle a_{n}\rangle ,円}${\textstyle ,円\langle a_{n}\rangle ,円}."

– S. Haschler, schule 2005-06, S. 3 'Reihen': "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}${\textstyle (s_{k})} aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i}),円}${\textstyle (a_{i}),円} heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i}),円}${\textstyle (a_{i}),円}."

– R. Mayer, Infinite series, 2006 (Reed College), "${\displaystyle ,円\sum }${\displaystyle ,円\sum } is actually a function that maps complex sequences to complex sequences."

– M. Veraar, Wiskundige structuren (TU Delft), 2016, module 6.1: "Laat ${\textstyle ,円(a_{j})_{j\geq 0},円}${\textstyle ,円(a_{j})_{j\geq 0},円} een rij [= Folge] reële getallen zijn. [...] De rij van partiële sommen ${\textstyle ,円(s_{n})_{n\geq 0},円}${\textstyle ,円(s_{n})_{n\geq 0},円} wordt de reeks [= Reihe] van ${\textstyle ,円(a_{j})_{j\geq 0},円}${\textstyle ,円(a_{j})_{j\geq 0},円} genoemd ".

– B. Keller, Folgen und Reihen 2017 S. 4: "Die Folge ${\textstyle (s_{n}),円}${\textstyle (s_{n}),円} [...] nennen wir Reihe der Folge ${\textstyle (a_{n}),円}${\textstyle (a_{n}),円}."

– J. Leydold, Grundlagen 2017, S. 34: "Die Folge ${\textstyle (s_{k})}${\textstyle (s_{k})} aller Teilsummen einer Folge ${\textstyle (a_{i}),円}${\textstyle (a_{i}),円} heisst die Reihe der Folge ${\textstyle (a_{i}),円}${\textstyle (a_{i}),円}."

--Hesselp (Diskussion) 12:33, 22. Jun. 2021 (CEST) (gesperrt für ANR)Beantworten

Link der Quelle 'Fischer' verbessert. --Hesselp (Diskussion) 13:18, 22. Jun. 2021 (CEST) Beantworten

Satz 16 im Sektion "Summe einer Folge":  Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit ${\displaystyle s_{1}=1}${\displaystyle s_{1}=1}, ${\displaystyle s_{2}=5}${\displaystyle s_{2}=5}, ${\displaystyle s_{3}=14}${\displaystyle s_{3}=14}.

Oftmals ist "Die Reihe einer Folge" zu lesen als "Die Partialsummenfolge dieser Folge". Hier aber nicht. Verwirrend.   Also meiner Vorschlag (16. Jun. 2021): in Satz 16 nicht "Die Reihe der", aber modern "Die Folge der". --Hesselp (Diskussion) 16:05, 16. Jun. 2021 (CEST) Beantworten

"Reihe der Partialsummen" wäre eine Reihe von Reihen; das sollte in der Tat korrigiert werden. 1234qwer1234qwer4 (Diskussion☞·········🚪) 00:11, 20. Jun. 2021 (CEST) Beantworten