Tu vois que tu peux associer à chaque entier naturel une paire d'entiers naturels, et réciproquement. C'est très contre intuitif, mais il existe une correspondance un à un entre les éléments d'un ensemble, et ceux d'un ensemble "plus gros". Pour te donner une image, si tu prend d'un coté une ficelle (en 1D donc) et un carrelage (en 2D) tu peux associer chaque carreaux une portion de ficelle si tu fait parcourir la ficelle sur les carreaux, ligne par ligne. Certes la ficelle sera beaucoup plus longue que le coté du carrelage, mais elle est infinie, ça marche.
La notion de successeur est aussi importante, qu'est-ce que le successeur d'un réel ? c'est celui qui vient juste après ? mais aussi près qu'on le prenne, on peut toujours en prendre un entre les deux.
Puis c'est d'autant plus trompeur, que l'ensemble des rationnels lui, est dénombrable. alors qu'il ressemble beaucoup à celui des réels dans l'intuition qu'on s'en fait.
[^] # Re: Des commentaires de chercheur ?
Posté par Zylabon . En réponse au journal P=NP démontré ?. Évalué à 9.
Dénombrable, pas finis.
Les entiers naturels tu peux les compter, ils se comptent tout seul, ils sont dénombrables, les paires d'entiers naturels aussi par exemple :
0 (0,0)
1 (1,0)
2 (0,1)
3 (2,0)
4 (1,1)
5 (0,2)
6 (3,0)
7 (2,1)
…
Tu vois que tu peux associer à chaque entier naturel une paire d'entiers naturels, et réciproquement. C'est très contre intuitif, mais il existe une correspondance un à un entre les éléments d'un ensemble, et ceux d'un ensemble "plus gros". Pour te donner une image, si tu prend d'un coté une ficelle (en 1D donc) et un carrelage (en 2D) tu peux associer chaque carreaux une portion de ficelle si tu fait parcourir la ficelle sur les carreaux, ligne par ligne. Certes la ficelle sera beaucoup plus longue que le coté du carrelage, mais elle est infinie, ça marche.
Pour les réels, ça ne marche pas, cf la fameuse diagonale de cantor
https://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor#La_non_d.C3.A9nombrabilit.C3.A9_des_r.C3.A9els
(jette un œil, c'est très accessible, et très « graphique » comme démonstration)
La notion de successeur est aussi importante, qu'est-ce que le successeur d'un réel ? c'est celui qui vient juste après ? mais aussi près qu'on le prenne, on peut toujours en prendre un entre les deux.
Puis c'est d'autant plus trompeur, que l'ensemble des rationnels lui, est dénombrable. alors qu'il ressemble beaucoup à celui des réels dans l'intuition qu'on s'en fait.
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