E(i)=1*P(i,1)+2*P(i,2)+3*P(i,3)+...
et
P(i,p)=(i/n)^(p-1)*(n-i)/n
donc
E(i)=(n-i)/n*\sum_{p=1}^\infty p.(i/n)^{p-1}
Si on pose f(x)=\sum_{p=1}^\infty p x^{p-1}, E(i)=(n-i)/n*f(i/n).
Reste à calculer f(x).
Attention, il faut justifier des trucs mais en agitant suffisamment les mains.
On pose F(x)=\sum_{p=1}^\infty x^p, On remarque que la dérivée de F(x) est f(x). Or F(x) est la somme d'une série géométrique et F(X)=x/(1-x). Donc f(x)=1/(1-x)2.
Si on remplace, on trouve E(i)=(n-i)/n*f(i/n)=(1-i/n)*1/(1-i/n)2=1/(1-i/n)=n/(n-i).
[^] # Re: attention, proba inside
Posté par fmaz fmaz . En réponse au journal Probabilités et sarkozysme. Évalué à 1.
E(i)=1*P(i,1)+2*P(i,2)+3*P(i,3)+...
et
P(i,p)=(i/n)^(p-1)*(n-i)/n
donc
E(i)=(n-i)/n*\sum_{p=1}^\infty p.(i/n)^{p-1}
Si on pose f(x)=\sum_{p=1}^\infty p x^{p-1}, E(i)=(n-i)/n*f(i/n).
Reste à calculer f(x).
Attention, il faut justifier des trucs mais en agitant suffisamment les mains.
On pose F(x)=\sum_{p=1}^\infty x^p, On remarque que la dérivée de F(x) est f(x). Or F(x) est la somme d'une série géométrique et F(X)=x/(1-x). Donc f(x)=1/(1-x)2.
Si on remplace, on trouve E(i)=(n-i)/n*f(i/n)=(1-i/n)*1/(1-i/n)2=1/(1-i/n)=n/(n-i).