Un groupe de Lie c'est avant tout un groupe, donc un ensemble d'éléments avec une loi produit dessus. "Comprendre" un groupe G c'est connaitre tous les produits a.b pour a et b dans G.
Si G est fini c'est faisable (ie. faisable en un temps fini avec une mémoire finie): il suffit de dresser une table de multiplication, mais si G est infini (c'est le cas de E8) il faut trouver autre chose.
Donc l'idée c'est de savoir comment G agit sur un ensemble donné, c'est à dire déterminer toutes les actions de G sur cet ensemble (et parmi ces actions on ne garde que celles qui vérifient certaines propriétés, on les appelle les représentations de G). Là encore il se peut qu'il y en ait un nombre infini, mais il se trouve qu'on peut décomposer chaque représentation comme "produit" de "briques élémentaires" (qu'on appelle les représentations irréductibles de G). Et ce qui nous sauve c'est qu'il y en a souvent (c'est le cas de E8) un nombre fini, donc stockable explicitement en machine.
Ce qui a été calculé c'est une table des représentations de E8.
Après pour savoir au niveau des applications que cela pourra avoir, il faut voir que E8 est un groupe de Lie simple (c'est à dire que c'est une des briques élémentaires qui permet de construire des groupes de Lie) et qu'il apparait aussi en physique théorique. Cette matrice est une représentation "concrète" qui va permettre de faire des calculs de manière relativement explicite, alors que jusqu'à présent on avait à notre disposition qu'une (en fait plusieurs) vues abstraites sur ce groupe. C'est donc une arme supplémentaire pour s'attaquer aux questions sur E8, rien encore ne nous dit qu'elle sera efficace (même si on peut raisonnablement le penser).
# En très gros...
Posté par Pierre Tramal (site web personnel) . En réponse au journal Y a-t-il un mathématicien dans la salle ?. Évalué à 10.
Si G est fini c'est faisable (ie. faisable en un temps fini avec une mémoire finie): il suffit de dresser une table de multiplication, mais si G est infini (c'est le cas de E8) il faut trouver autre chose.
Donc l'idée c'est de savoir comment G agit sur un ensemble donné, c'est à dire déterminer toutes les actions de G sur cet ensemble (et parmi ces actions on ne garde que celles qui vérifient certaines propriétés, on les appelle les représentations de G). Là encore il se peut qu'il y en ait un nombre infini, mais il se trouve qu'on peut décomposer chaque représentation comme "produit" de "briques élémentaires" (qu'on appelle les représentations irréductibles de G). Et ce qui nous sauve c'est qu'il y en a souvent (c'est le cas de E8) un nombre fini, donc stockable explicitement en machine.
Ce qui a été calculé c'est une table des représentations de E8.
Après pour savoir au niveau des applications que cela pourra avoir, il faut voir que E8 est un groupe de Lie simple (c'est à dire que c'est une des briques élémentaires qui permet de construire des groupes de Lie) et qu'il apparait aussi en physique théorique. Cette matrice est une représentation "concrète" qui va permettre de faire des calculs de manière relativement explicite, alors que jusqu'à présent on avait à notre disposition qu'une (en fait plusieurs) vues abstraites sur ce groupe. C'est donc une arme supplémentaire pour s'attaquer aux questions sur E8, rien encore ne nous dit qu'elle sera efficace (même si on peut raisonnablement le penser).