"Cette phrase est vraie" est vraie parce qu'elle ne peut pas être fausse.
De façon générale les proposition qui se démontrent elles-même ne peuvent être ni vraies ni fausses. Elles sont naturellement idémontrables, dire "Si cette phrase est vraie, alors elle est vraie" est absurde. Comment puis-je partir du postulat qu'elle est soit vraie soit fausse alors que celà fait partie des choses que je dois justement démontrer.
Dans le cas qui nous interresse, supposons que l'on ait :
"Cette longue phrase est vraie" la phrase étant courte (ce qui est vérifiable en dehors de l'énoncé de la phrase elle même) alors on saurait que cette phrase est fausse, vu que la condition "longue" ne serait pas remplie.
Or dans la phrase "Cette phrase est vraie" il n' y a pas de condition vérifiables.
Supposons par exemple que je dise que la phrase "Cette phrase est vraie" est fausse, je peux a postériori vérifier qu'elle est bien fausse puiqu'elle dit qu'elle est vraie (ce qui dans mon hypothèse est faux et donc ca tend à prouver mon hypothèse).
Donc la phrase est valable si elle est vraie mais aussi valable si elle est fausse.
Le problème "découvert" par Gödel est lié à la démontrabilité des propositions, mais pas à leur vérité. Il a montré que dans tout système formel suffisamment puissant et cohérent, il existe des phrases vraies que l'on ne peut peut pas démontrer
Houlà, houlà. Gödel a fait trois travaux différents, tous liés et tous aussi important les uns que les autres :
- Il a tout d'abord démontré qu'une proposition peut être absurde, c'est à dire qu'une proposition peut (directement ou indirectement) chercher à se démontrer elle même. Si on a une chaine logique de type A-> B, B->C, C->D, D->A sans avoir aucun moyen extérieur à la chaine de savoir si A, B, C ou D sont vrais alors on peut balancer la chaine logique à la poubelle car elle ne prouve rien. A forciori une chaine logique de type A->A (typiquement "cette phrase est vraie") n'a aucune valeur. La proposition est dite non gödelienne.
Bien sur avant Gödel on avait l'intution que certaines choses ne tournaient pas rond quand on avait des proposition de type A->non(A) mais on avait du mal à saisir quoi.
De façon étendue une proposition est dite non Gödelienne si elle cherche à se prouver, à s'infirmer ou à se compléter elle même.
- Ensuite il a jeté les bases de la décidabilité. A savoir qu'il existe des proposition qui sont forcément soit vraies soit fausses (ie elles sont Gödeliennes) mais que dans le système de référence (ie l'ensemble algébrique dans lequel on est en train de travailler) on ne pourra jamais savoir laquelle des deux réponses est la bonne. C'est le cas par exemple de la droite d'Euclide. "Soit une droite du plan et un point du plan non confondu avec cette droite, alors il existe une droite et une seule parallèle à la première et passant par le point." Cette phrase est gödelienne, en effet la seconde droite est constatable en dehors de la proposition, seulement il est impossible de démontrer si la droite (qui existe) est effectivement unique. Elle est soit unique, soit pas, mais on peut pas dire.
- Pour finir il a sorti le théorème de l'incomplétude, qui a fait l'effet d'une bombe. Le théorème de l'incomplétude dit que si on veut monter une algèbre (quel qu'elle soit) on est obligé de se trimballer des axiomes et des cas indécidables. Pour résumer il n'existera jamais d'algèbre ou tout est démontré rigoureusement. (Par la suite il s'est servi de se théorème pour mettre en pièces un paquet de théorème de son époque et se faire pleins de nouveaux amis).
Généralement en logique on s'arrête à savoir si c'est gödelien ou pas (pour ce que j'en ai vu car ce n'est pas non plus mon domaine de prédilection).
[^] # Re: Codé en Brainfuck [0]...
Posté par Jerome Herman . En réponse au journal [Blogs] Maitre Eolas vs José Bové, deuxième épisode. Évalué à 3.
De façon générale les proposition qui se démontrent elles-même ne peuvent être ni vraies ni fausses. Elles sont naturellement idémontrables, dire "Si cette phrase est vraie, alors elle est vraie" est absurde. Comment puis-je partir du postulat qu'elle est soit vraie soit fausse alors que celà fait partie des choses que je dois justement démontrer.
Dans le cas qui nous interresse, supposons que l'on ait :
"Cette longue phrase est vraie" la phrase étant courte (ce qui est vérifiable en dehors de l'énoncé de la phrase elle même) alors on saurait que cette phrase est fausse, vu que la condition "longue" ne serait pas remplie.
Or dans la phrase "Cette phrase est vraie" il n' y a pas de condition vérifiables.
Supposons par exemple que je dise que la phrase "Cette phrase est vraie" est fausse, je peux a postériori vérifier qu'elle est bien fausse puiqu'elle dit qu'elle est vraie (ce qui dans mon hypothèse est faux et donc ca tend à prouver mon hypothèse).
Donc la phrase est valable si elle est vraie mais aussi valable si elle est fausse.
Le problème "découvert" par Gödel est lié à la démontrabilité des propositions, mais pas à leur vérité. Il a montré que dans tout système formel suffisamment puissant et cohérent, il existe des phrases vraies que l'on ne peut peut pas démontrer
Houlà, houlà. Gödel a fait trois travaux différents, tous liés et tous aussi important les uns que les autres :
- Il a tout d'abord démontré qu'une proposition peut être absurde, c'est à dire qu'une proposition peut (directement ou indirectement) chercher à se démontrer elle même. Si on a une chaine logique de type A-> B, B->C, C->D, D->A sans avoir aucun moyen extérieur à la chaine de savoir si A, B, C ou D sont vrais alors on peut balancer la chaine logique à la poubelle car elle ne prouve rien. A forciori une chaine logique de type A->A (typiquement "cette phrase est vraie") n'a aucune valeur. La proposition est dite non gödelienne.
Bien sur avant Gödel on avait l'intution que certaines choses ne tournaient pas rond quand on avait des proposition de type A->non(A) mais on avait du mal à saisir quoi.
De façon étendue une proposition est dite non Gödelienne si elle cherche à se prouver, à s'infirmer ou à se compléter elle même.
- Ensuite il a jeté les bases de la décidabilité. A savoir qu'il existe des proposition qui sont forcément soit vraies soit fausses (ie elles sont Gödeliennes) mais que dans le système de référence (ie l'ensemble algébrique dans lequel on est en train de travailler) on ne pourra jamais savoir laquelle des deux réponses est la bonne. C'est le cas par exemple de la droite d'Euclide. "Soit une droite du plan et un point du plan non confondu avec cette droite, alors il existe une droite et une seule parallèle à la première et passant par le point." Cette phrase est gödelienne, en effet la seconde droite est constatable en dehors de la proposition, seulement il est impossible de démontrer si la droite (qui existe) est effectivement unique. Elle est soit unique, soit pas, mais on peut pas dire.
- Pour finir il a sorti le théorème de l'incomplétude, qui a fait l'effet d'une bombe. Le théorème de l'incomplétude dit que si on veut monter une algèbre (quel qu'elle soit) on est obligé de se trimballer des axiomes et des cas indécidables. Pour résumer il n'existera jamais d'algèbre ou tout est démontré rigoureusement. (Par la suite il s'est servi de se théorème pour mettre en pièces un paquet de théorème de son époque et se faire pleins de nouveaux amis).
Généralement en logique on s'arrête à savoir si c'est gödelien ou pas (pour ce que j'en ai vu car ce n'est pas non plus mon domaine de prédilection).